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Intuição do teste da segunda derivada parcial

O teste da segunda derivada parcial é baseado em uma fórmula que parece vir do nada. Aqui, você pode ver um pouco mais da intuição do porque isso tem essa aparência. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Na aula passada, nós falamos a respeito do teste da segunda derivada parcial. Nós vimos que se você tem uma função de duas ou mais variáveis, neste caso, nós vimos somente com duas, quando você está procurando máximos ou mínimos locais, a primeira coisa que você tem que fazer é pegar o vetor gradiente desta função em um ponto (x₀, y₀) e igualar ao vetor zero, e com isso você encontra o que chamamos de pontos críticos. Isso é mesma coisa que dizer que todas as derivadas parciais devem ser iguais a zero. Agora, quando você encontra um ponto desse, você tem que testar e ver se você tem um máximo local, um mínimo local, ou um ponto de sela. Você consegue fazer isso sem visualizar no seu gráfico, depois, você tem que calcular isto aqui, que é onde nós pegamos todas as três derivadas parciais secundárias, que são a derivada de segunda ordem em relação a "x", a derivada de segunda ordem em relação a "y" e a derivada parcial mista, se você calcula neste ponto, você avalia cada uma delas em seu ponto crítico. E o que você faz depois? você multiplica estas duas derivadas parciais e depois subtrai pelo quadrado desta aqui, e quando esse "H" é maior que zero, significa que nós temos um ponto máximo ou um ponto mínimo. Para determinar qual temos, basta olhar para a concavidade em uma direção. Por exemplo: se a segunda derivada em relação a "x" é positiva, isso está indicando que a concavidade dessa parábola é para cima, e se for negativa, a concavidade é para baixo. Então, se a concavidade for para cima, nós temos um mínimo local, e se a concavidade for para baixo, nós temos um máximo local. Então, é isso que significa esse "H" ser maior que zero. Agora, se o "H" for menor que zero, nós temos um ponto de sela, e esse ponto não é máximo nem mínimo, meio que tem uma simetria em diferentes direções. E nós vimos também, que se o "H" é igual a zero, nós vamos ter algo indeterminado. Por que isso nos dá um teste para saber qual tipo de ponto crítico nós temos? Para entender isso, vamos olhar individualmente para cada um desses termos. Vamos começar pela segunda derivada parcial em relação a "x". Isso significa que você está olhando para esta função f(x, y) apenas com o "x" variando, como se o "y" fosse alguma constante, ou seja, como se você tivesse um movimento unicamente na direção "x". Então, em termos de gráfico, é como se você tivesse esta curva e pegasse um plano que representa o movimento na direção "x", e cortasse ela. Quando você faz isso, você vê que a curva começa a formar parábolas. Como eu falei, esta parábola aqui, tem concavidade para cima. Então, esta derivada de segunda ordem indica a concavidade "x", ou seja, é a concavidade com respeito à variável "x". E simetricamente, quando você pega a derivada parcial de "y" duas vezes, é como se você estivesse ignorando o "x", o "x" é tratado como uma constante. E aí, se eu colocar o plano que representa o movimento na direção "y", você vai ter este gráfico aqui e você pode ver que a parábola que passa pelo ponto também tem concavidade para cima, então, esta derivada parcial indica a concavidade "y". E observe que essas duas coisas são simétricas. Portanto, se isso representar algo positivo, isto aqui vai representar algo negativo, e ainda temos esta subtração. Claro, e eu ainda vou mostrar isso com calma, mas, por ora, você tem que pensar que é algo elevado ao quadrado, portanto, a resposta sempre vai ser positiva. E como temos este menos antes e esse mais aqui, esta parte vai ser negativa, e a multiplicação de um positivo por um negativo também vai dar algo negativo, portanto, esta expressão vai ser negativa. Com isso, o "H" com toda certeza vai ser negativo neste caso, o que significa que o "H" é menor que zero, e, portanto, ele é um ponto de sela. Isso faz sentido, não é? Porque se estamos andando na direção do "x" e o "y" tem uma concavidade simétrica, isso tem que ser um ponto de sela. Por exemplo, se eu tenho uma função f(x, y) = x² - y², que eu já tenho o gráfico preparado aqui, este é o gráfico da função, se eu olhar por aqui e movermos na direção "x", você vai ver que tem uma concavidade positiva que corresponde ao positivo na frente do x². Na direção do "y'' parece que tem uma concavidade negativa, uma concavidade simétrica. Isso corresponde ao sinal de negativo antes do y². Então, quando tem essa simetria, o teste nos garante que nós temos um ponto de sela. Agora, se for o caso onde ambas as concavidades estão voltadas para cima? O que significa que ambas as derivadas de segunda ordem são positivas. Ainda tem o caso onde ambas são negativas. Neste caso, ambas derivadas parciais de segunda ordem são positivas e neste aqui são negativas. Mas se você fizer a multiplicação em ambos os casos, a resposta vai dar positiva, mas em ambos os casos, você está subtraindo por um valor positivo, portanto, nós precisamos saber o que está acontecendo com esses dois termos e com este aqui também. Se este valor for maior do que o produto desses dois, então, "H" vai ser negativo, mas se ele for menor do que o produto de ambos, então, o "H" vai ser positivo. Mas eu vou te dar uma ideia do porquê esse termo misto faz com que o gráfico se torne uma sela. Para isso, vamos olhar uma função bem fácil aqui, que é a função "f(x,y) = xy". O gráfico da função está plotado aqui. Parece que temos um ponto de sela. Para ter certeza disso, vamos olhar as suas derivadas parciais. Vamos calcular primeiro a derivada parcial em relação a "x'' e a derivada parcial em relação a "y". Quando você deriva isso em relação a "y" utilizando a regra do produto, você vai encontrar "y", e quando você deriva em relação a "y", você tem "x". Se você não se lembra de derivadas parciais, eu sugiro que você dê uma olhada nos vídeos da Khan Academy. Agora, se eu quiser saber a derivada de segunda ordem de "x", eu tenho que derivar isto aqui, que é a mesma coisa que zero, já que nós estamos tratando o "y" como constante. Se eu quiser descobrir a derivada de segunda ordem em relação a "y", eu tenho que derivar esse "x", que também vai ser igual a zero. Agora, a derivada parcial de "x" em relação a "y", você pode pegar esta derivada aqui e derivar em relação a "y", que vai ser igual a 1, vou pegar esta aqui e derivar em relação a "x", que também vai ser 1, portanto, não importa a ordem que você escrever aqui. E claro, olhar para essa função é muito importante. Quanto maior o coeficiente que ela tiver aqui, maior vai ser essa derivada parcial. Ok, então, olhando para o gráfico, observe a razão pela qual isso se parece com uma sela. Não é porque as direções "x'' e "y" são simétricas. Se você olhar o movimento do plano na direção ''x", parece uma constante, ou seja, a altura do gráfico ao longo deste plano parece uma constante, e isso corresponde às derivadas parciais que calculamos. A mesma coisa acontece se você representar o valor "x" por uma constante, o que significa que você está movimentando o plano apenas na direção "y". A altura do gráfico não muda, é constantemente zero, o que corresponde com a derivada de segunda ordem em relação a "y". A razão pela qual o gráfico se parece com uma sela é porque quando você o corta com um plano diagonal, bem aqui, parece que tem uma concavidade para baixo, mas, se você cortar em outra direção, parece que tem uma concavidade para cima. Então, esse "xy" indica se temos uma simetria nas direções diagonais ou não. E o interessante é que você só precisa de uma dessas derivadas parciais para determinar todas as informações sobre as direções diagonais, porque veja, talvez tenha uma simetria entre o movimento ao longo de um determinado vetor e o movimento ao longo de outro, e você teria que explicar infinitas direções, mas essa derivada mista te ajuda bastante nisso, Isso porque, se você olhar somente para as derivadas parciais e as derivadas parciais de segunda ordem, isso pode te levar para infinitas conclusões. Se você quiser entender mais a fundo o porquê desse teste funcionar, aqui na Khan Academy tem um texto bastante explicativo a respeito desse tema. Mas uma ideia intuitiva é que essa derivada mista está dizendo o quanto o gráfico de f(x) se parece com "yx", e o gráfico mostra as simetrias diagonais. E aí, este termo misto está entre essas duas direções, e aí, este produto fica infinitamente positivo. Com isso, você tem que subtrair para ficar negativo de novo. É isso que vai te dar um ponto de sela. Se você não puxar com força o suficiente, então, nós vamos ter um máximo ou um mínimo. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!