Treine para o teste da segunda derivada parcial

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos introduzir alguns conceitos que nos ajudarão a entender o teste da segunda derivada parcial. Para isso, vamos relembrar algumas coisas. No cálculo de uma variável, se você tem uma função f(x), para encontrar o máximo ou o mínimo dela, você deve pegar a derivada de primeira ordem e igualar a zero. E como podemos interpretar isso graficamente? Bem, se eu tenho um plano cartesiano aqui e tenho uma função desse tipo, se a derivada dessa função é igual a zero, significa que nós vamos procurar pontos nesta função onde a reta tangente não tem inclinação, ou seja, a inclinação é zero. E, neste gráfico, você pode ver que encontramos 2, ou seja, aqui eu tenho um x₁, que é a solução dessa derivada igual a zero e aqui um x₂, e aí eu te pergunto: será que um desses pontos é máximo? Ou mínimo? Sim, para isso, basta você olhar para o gráfico. Este aqui é o máximo local enquanto esse aqui é o mínimo local. Mas se você não tivesse o gráfico? Como você responderia à minha pergunta? Você deveria pegar a derivada de segunda ordem e, neste caso, como a concavidade está voltada para baixo, esta derivada de segunda ordem deve ser menor do que zero. E neste caso, como a concavidade está voltada para cima, a derivada de segunda ordem tem que ser maior do que zero. Portanto, obtendo a informação da concavidade da parábola, você sabe dizer se está em um máximo local ou em um mínimo local. E o que acontece quando a derivada de segunda ordem é igual a zero? Nós não sabemos. Por isso, dizemos que é indeterminada. E com as funções multivariáveis, a situação é muito semelhante. Eu já até falei disso nas aulas passadas. Se você tem uma função f(x,y) por exemplo, em vez de procurar a derivada de segunda ordem igual a zero, você deve dizer que o seu vetor gradiente é igual ao vetor zero, e isso é mesma coisa que encontrar planos tangentes com a inclinação igual a zero. E claro, se você não lembra disso, eu sugiro que você dê uma relembrada nas aulas passadas. Nesta aula, nós vamos tentar encontrar algo análogo a essas derivadas de segunda ordem, só que para funções multivariáveis. Isso vai te ajudar a ver quando você tem um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela, que vimos na aula anterior. O teste que vamos fazer é chamado de segundo teste de derivada parcial, mas eu vou falar a respeito disso bem para o final do vídeo. Ok, por ora eu vou focar em encontrar o gradiente de uma função igual a zero, e neste caso vai ser a função do gráfico que temos à esquerda, que tem lei de definição igual a x⁴ - 4x² + y². Então, para encontrar o plano tangente à esta função, o que temos que determinar é este vetor gradiente igual a zero. Então, o que queremos é que ∂f/∂x em um ponto (x,y) seja igual a zero e que ∂f/∂y nesse mesmo ponto (x, y) seja igual a zero. Quando resolvermos isso, vamos encontrar um sistema de equações, e a partir dele encontramos "x" e "y". Então, deixe-me apagar este zero e vamos resolver a derivada da função em relação a "x". Derivando em relação a "x", nós temos que levar esta parte aqui, e aí, a derivada de x⁴ vai ser 4x³, enquanto que a derivada de -4x² vai ser -8x, e como estamos derivando em relação a "x", esse y² funciona como uma constante, e a derivada de toda a constante é igual a zero, portanto, ficamos só com isso aqui. Portanto, 4x² - 8x tem que ser igual a zero. Agora, deixe-me apagar aqui, e vamos derivar a função em relação a "y", e, portanto, toda essa parte é tida como uma constante, e devemos derivar somente y², que é 2y, e igualamos isso a zero. E claro, esta função que escolhi foi fácil, mas nem sempre isso acontece, às vezes tem funções bastante complicadas que você tem que resolver com muita calma. Mas este não é o caso. De cara, você sabe que para 2y ser igual a zero, o "y" tem que ser igual a zero. Agora, esta equação aqui, nós podemos resolver fatorando, colocando o 4x em evidência, e ele vai multiplicar (x² - 2), e isso tem que ser igual a zero, e se duas coisas estão se multiplicando, e o resultado dá zero, uma delas tem que ser zero. Para 4x ser igual a zero, o "x" tem que ser igual a zero. E se eu resolver "x² - 2 = 0", nós vamos encontrar um "x = ±√2". Esta aqui é a solução para o sistema de equações, ou seja, para que "y" seja igual a zero, o "x" tem que ser igual a zero ou igual a ±√2. Então, as minhas soluções são: , isso porque quando "x" vale zero, o "y" vai valer zero, também temos √2 e zero, e por fim, -√2 e zero. Ou seja, esses são os pontos que satisfazem estas duas igualdades. O que isso significa graficamente? Bem, se olharmos para o nosso gráfico aqui, nós podemos ver três entradas diferentes e todas elas têm planos tangentes, planos, se assim eu posso dizer, ou seja, a inclinação desse plano tangente a esses três pontos é zero. Só você olhar aqui, o primeiro ponto (0, 0). Se olharmos por cima, parece até que estamos dentro do gráfico, o (0, 0) está aqui na origem, e olhando para o gráfico, nós podemos ver que este é o ponto de sela. Lembra, ele não é nem o máximo nem o mínimo local, ele só é um ponto onde o plano tangente que passa por ele tem inclinação igual a zero. Ele não parece nem com um pico ou nem com um vale, né. E nós temos dois pontos conforme caminhamos ao longo do eixo "x". Este primeiro aqui, como você pode adivinhar, é o ponto onde "x = √2" positiva e este aqui que é outro mínimo é o ponto onde "x = -√2". Olhando apenas o gráfico, nós não iriamos conseguir descobrir esses pontos, mas nós aprendemos a calcular, não é? E claro, esses dois pontos são mínimos locais, mas isso só foi possível graças ao gráfico. A minha dúvida é: como podemos descobrir isso apenas olhando para eles? Olhando para o gráfico, nós podemos ver que este é o ponto de sela e esses outros dois são mínimos locais. Nós podemos fazer o teste da segunda derivada. Como fazemos isso? O que você deve fazer é pegar as segundas derivadas parciais da nossa função e ver como isso pode influenciar na concavidade. Por exemplo, se pegarmos a segunda derivada da função em relação a "x", isso significa que nós estamos derivando a função "f" duas vezes. E como esta é a primeira derivada, nós só precisamos derivá-la. Se fizermos isso, vamos ficar com 12x² - 8. E o que isso significa graficamente? Significa que se andarmos na direção "x", ou seja, o valor de "y" é constante, essa função vai ser cortada, e vamos olhar para esta fatia. A segunda derivada nos diz a concavidade em cada ponto determinado, portanto, estes dois pontos correspondem mais ou menos a √2. Portanto, se pegarmos o "x = √2" e colocarmos nesta função, vamos descobrir o valor de "y". Então, fazendo isso, vamos ficar com 12√2², e √2² vai ser igual a 2, então, 12 vezes 2 - 8, e 12 vezes 2 dá 24, menos 8 vai dar 16, e é o que está neste ponto. E é um número positivo, por isso, você tem a concavidade em cada um desses pontos para cima. E por causa dessa concavidade para cima, ambos os pontos são mínimos locais. Agora, se você colocar um "x" igual a zero aqui, você vai ficar com 12 vezes zero, menos 8, que é igual a -8. Por dar um valor negativo, significa que a concavidade da parábola que passa por esse ponto é voltada para baixo, portanto a origem parece um máximo local. Ok, vamos escrever isso aqui para ficar melhor. Então, com respeito a "x", esse ponto (0, 0) é um máximo local, enquanto esses outros dois pontos são mínimos locais. E na variável "y"? O que acontece? Nós podemos fazer algo semelhante com a derivada de segunda ordem em relação a "y". Deixe-me apagar isto aqui, e vamos calcular ∂²f/∂y². A derivada de 2y vai ser igual a 2. E como deu um número positivo, significa que a concavidade da parábola é positiva em todos os lugares. O que significa isso no gráfico? Significa que você está olhando as coisas como se um plano fizesse algum tipo de corte com o valor de "x" constante e você veria o movimento somente na direção "y". E quando você faz isso, a parábola sempre vai ter concavidade para cima. Este plano que eu coloquei é um plano onde "x" é constante e igual a zero. Mas se você quiser, você pode colocar outros planos e você sempre vai obter uma concavidade para cima, e com isso, nós sempre vamos ter um mínimo local. Portanto, em termos de "y", sempre vamos ter mínimos, então, mínimo, mínimo e mínimo. E nessa parte, provavelmente você fala: pronto, encontrei o que eu queria. Porque, se você perceber, as direções "x" e "y" são simétricas, uma encontra o máximo e a outra encontra o mínimo, e é por isso que temos algo no gráfico que se parece com uma sela, e aí eles ficam exatamente iguais nos outros dois pontos, ambos encontram o mínimo local, ou seja, nós encontramos esses dois pontos que são mínimos locais. Mas calma, isso ainda não é suficiente para responder à nossa pergunta. Existem casos onde, se você fizer essa análise, você pode tirar algumas conclusões erradas, ou seja, você poderia concluir que um ponto é mínimo local quando, na verdade, é um ponto de sela. E a razão para isso está nessa outra derivada parcial de segunda ordem, porque quando estamos falando de cálculo multivariável, nós podemos pegar a derivada de segunda ordem de uma função em relação a "x" e depois em relação a "y", e você deve tomar esta derivada também para tirar as conclusões completas. Mas claro, eu vou falar disso nos próximos vídeos. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!