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Exemplos: teste da segunda derivada parcial

Treine usando o teste da segunda derivada parcial

Conhecimentos prévios

Prepare-se para trabalhar duro

Eu tenho um desafio para você.
Nesse artigo, você pode estudar dois exemplos de como encontrar máximos e mínimos em funções com múltiplas variáveis. Em aplicações modernas, a maior parte dos passos envolvidos em resolver esses tipos de problema seria feita por um computador. Porém, o único jeito de testar se você realmente entende como o teste da segunda derivada parcial é usado é resolvendo o problema você mesmo, pelo menos uma vez.
Afinal, algum dia você talvez precise escrever o programa para dizer a um computador como fazer isso, o que requer um certo conhecimento profundo de todos os passos envolvidos. Além do mais, é um bom jeito de ficar mais fluente em derivadas parciais.
Então, meu desafio para você é esse: tente inserir a resposta para cada passo conforme avança no artigo para testar seu próprio entendimento.

O significado do teste da segunda derivada parcial (para sua referência)

Comece encontrando um ponto (x0,y0) em que ambas as derivadas parciais de f são 0.
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0
O teste da segunda derivada parcial nos diz como determinar se (x0,y0) é um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. Comece calculando esse termo:
H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)(fxy(x0,y0))2
em que fxx, fyy e fxy são as segundas derivadas parciais de f.
  • Se H<0, então f não tem nem um mínimo nem um máximo em (x0,y0), mas sim um ponto de sela.
  • Se H>0, então f definitivamente tem ou um mínimo ou um máximo em (x0,y0), e nós devemos examinar o sinal de fxx(x0,y0) para determinar qual deles.
    • Se fxx(x0,y0)>0, então, f tem um mínimo local.
    • Se fxx(x0,y0)<0, então f tem um máximo local.
  • Se H=0, as segundas derivadas sozinhas não podem nos dizer se f tem um mínimo ou um máximo local.

Exemplo 1: todos os pontos estacionários!

Problema: encontre todos os pontos estacionários (também chamados de pontos críticos) da função
x44x2+y2
E determine se cada um nos dá um máximo local, um mínimo local, ou um ponto de sela.

Etapa 1: encontre todos os pontos estacionários

Os pontos estacionários são todos os pares (x0,y0) em que ambas as derivadas parciais são iguais a 0. Primeiro, calcule cada derivada parcial.
fx(x,y)=
fy(x,y)=

Depois, encontre todos os pontos (x0,y0) em que ambas as derivadas parciais são iguais a 0, ou seja, resolva o sistema de equações.
fx(x0,y0)=0fy(x0,y0)=0
Qual dos seguintes pares satisfaz o sistema de equações?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Etapa 2: aplique o teste da segunda derivada

Para começar, encontre todas as três derivadas parciais de f(x,y)=x44x2+y2
fxx(x,y)=
fyy(x,y)=
fxy(x,y)=

A expressão de que precisamos para o teste da segunda derivada parcial é
fxx(x,y)fyy(x,y)(fxy(x,y))2
Se nós aplicarmos as segundas derivadas que acabamos de encontrar, no que essa equação se transforma (em função de x e y)?
fxx(x,y)fyy(x,y)(fxy(x,y))2=

Para aplicar o teste da segunda derivada, nós inserimos cada um de nossos pontos estacionários na expressão e vemos se ela fica positiva ou negativa.
  • Ponto estacionário 1:
    Em (x,y)=(0,0), a expressão é calculada como
    24x216=24(0)216=16
    Isso é negativo, então, de acordo com o teste da segunda derivada parcial, o ponto (0,0) é um
Escolha 1 resposta:

  • Ponto estacionário 2: Em (x0,y0)=(2,0), a expressão torna-se
    24x216=24(2)216=4816=32
    Isso é positivo. Além disso,
    fxx(2,0)=12(2)28=248=16
Portanto, o ponto (2,0) deve ser um
Escolha 1 resposta:

  • Ponto estacionário 3: Nós poderíamos inserir o ponto (2,0) assim como fizemos com os outros pontos estacionários, mas poderíamos também notar que a função f(x,y)=x44x2+y2 é simétrica, o que significa que, ao substituir x por x, teremos a mesma expressão:
    (x)44(x)2+y2=x44x2+y2.
    Portanto, o ponto (2,0) terá precisamente o mesmo comportamento de (2,0)
Aqui temos um vídeo do gráfico f(x,y) girando, no qual os dois mínimos locais estão claros, e podemos ver que o ponto na origem é realmente um ponto de sela.
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Exemplo 2: Complicando mais

Não vamos adoçar as coisas; problemas de otimização podem ser longos. Muito longos.
Problema: encontre todos os pontos estacionários (também chamados de pontos críticos) da função.
f(x,y)=x2yy2xx2y2
E determine se cada um nos dá um máximo local, um mínimo local, ou um ponto de sela.

Etapa 1: encontre os pontos estacionários

Como precisamos descobrir onde ambas as derivadas parciais são zero, comece encontrando ambas as derivadas parciais de f(x,y)=x2yy2xx2y2
fx(x,y)=
fy(x,y)=

Então, devemos resolver o sistema de equações
2xyy22x=0x22xy2y=0
No mundo real, quando você se depara com um sistema de equações, é quase sempre melhor usar um computador para resolvê-lo. Porém, com o objetivo de praticar e para ver que problemas de otimização não são sempre tão simples, vamos fazer uma loucura e realmente resolvê-lo nós mesmos.
Em geral, a maneira de abordar isso seria algo assim:
  • Resolva uma equação para obter y em função de x.
  • Insira isso na outra expressão para obter uma equação com apenas x.
  • Encontre o valor de x.
  • Introduza cada solução de x em ambas as equações e encontre o valor de y.
  • Verifique quais pares resultantes de (x,y) realmente resolvem a expressão.
Isso pode se tornar uma verdadeira bagunça, pois você talvez tenha que usar a fórmula de Bhaskara para resolver y considerando que x é uma constante, e ainda inserir essa expressão difícil em outro lugar. Caso contrário, talvez você tenha que resolver uma equação de 4º grau que, além de ser complicada, fornece várias soluções a ser inseridas.
Neste sistema específico, as equações parecem ser muito simétricas, o que é uma indicação de que somá-las ou subtraí-las pode tornar as coisas mais simples. Com efeito, se somarmos uma à outra, teremos
2xyy22x=0+x22xy2y=0x2y22(x+y)=0(x+y)(xy)2(x+y)=0(x+y)(xy2)=0
O que essa equação nos diz sobre a relação entre x e y? (Expresse cada resposta como uma equação envolvendo as variáveis x e y)
Ou
ou

Cada uma dessas possibilidades nos permite escrever x em função de y, o que, por sua vez, nos permite escrever uma das nossas equações puramente em função de y.
Por exemplo, se você inserir a relação x=y na primeira expressão 2xyy22x, você pode obter uma expressão quadrática puramente em função de y. Quais são as raízes dessa expressão?
e

Uma vez que isso resultou de pressupormos que x=y, os valores correspondentes de x são x=0 e x=23, respectivamente. Isso nos fornece nossos dois primeiros pares de solução:
(x,y)=(0,0),
(x,y)=(23,23)
Como alternativa, podemos considerar o caso em que x=y+2. Mais uma vez, quando substituímos essa relação na expressão 2xyy22x, temos uma expressão quadrática puramente em função de y. Quais são as raízes dessa expressão?
e

Como encontramos esses valores pressupondo que x=y+2, os valores correspondentes de x são
x=21+5=1+5
x=215=15
Isso nos fornece mais dois pares de solução:
(x,y)=(1+5,1+5)
(x,y)=(15,15).
Agora esgotamos todas as possibilidades, uma vez que inicialmente encontramos x=y ou x=y+2, e resolvemos completamente as equações resultantes de cada suposição.

Etapa 2: aplique o teste da segunda derivada

Cara, isso já foi muito trabalhoso para um exemplo e nós não estamos nem na metade! Agora temos que aplicar o teste da segunda derivada a cada um desses casos. Primeiramente, encontre todas as segundas derivadas de nossa função
f(x,y)=x2yy2xx2y2
fxx(x,y)=
fyy(x,y)=
fxy(x,y)=

De acordo com o teste da segunda derivada, para determinar se cada um dos nossos pontos estacionários é um mínimo ou um máximo local, nós os substituímos na expressão
fxx(x,y)fyy(x,y)(fxy(x,y))2
O que essa expressão se torna quando aplicamos as segundas derivadas que você acabou de encontrar?

Uma vez que só nos interessa se essa expressão é positiva ou negativa, podemos dividir tudo por 4 para deixar as coisas um pouco mais simples.
(y1)(x1)(xy)2Expressão chave
Agora vamos ver qual é o sinal dessa expressão para cada um dos nossos pontos estacionários.
  • Ponto estacionário (0,0):
    No ponto (x,y)=(0,0), a expressão acima vale
    . Com isso podemos concluir que (0,0) é
    Escolha 1 resposta:
    Agora,
    Escolha 1 resposta:

  • Ponto estacionário (23,23):
    No ponto (x,y)=(23,23), a expressão acima vale
    . Com isso, podemos concluir que (23,23) é
    Escolha 1 resposta:
    Agora,
    Escolha 1 resposta:

  • Ponto estacionário (1+5,1+5):
    No ponto (x,y)=(1+5,1+5), a expressão acima vale
    . Com isso concluímos que (1+5,1+5) é
    Escolha 1 resposta:
    Agora,
    Escolha 1 resposta:

  • Ponto estacionário (15,15):
    A aritmética aqui é quase idêntica à do caso anterior.
Temos aqui um curto clipe do gráfico de f(x,y)=x2yy2xx2y2 girando, em que você pode ver os três pontos de sela e o único mínimo local na origem.
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Parabéns! Bom trabalho

Estes problemas são bastante longos, então, se você conseguiu resolver todos eles, é hora de se parabenizar!

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