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Conteúdo principal

Teste da segunda derivada parcial

Aprenda como testar se uma função com duas entradas tem um máximo ou um mínimo local.

Conhecimentos prévios

Não é estritamente necessário, mas é usado em uma seção:
Além disso, se você está um pouco enferrujado no teste da segunda derivada do cálculo de uma única variável, você pode querer revisar rapidamente isso aqui já que ele é bem similar ao teste da segunda derivada parcial.

A afirmativa do teste da segunda derivada parcial

Se você está procurando por um ponto de máximo/mínimo local de uma função de duas variáveis f(x,y), a primeira etapa a seguir é encontrar os pontos de entrada (x0,y0) nos quais o gradiente seja o vetor 0.
f(x0,y0)=0
Basicamente, estes são pontos no qual o plano tangente ao gráfico de f é plano.
O teste da segunda derivada parcial nos mostra como verificar se o ponto estacionário é um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. Especificamente, você começa calculando essa grandeza:
H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
Então, o teste da segunda derivada parcial segue da seguinte maneira:
  • Se H<0, então (x0,y0) é um ponto de sela.
  • Se H>0, então (x0,y0) pode ser um ponto de máximo ou um ponto de mínimo, e então você se faz mais uma pergunta:
    • Se fxx(x0,y0)<0, (x0,y0) é um ponto de máximo local.
    • Se fxx(x0,y0)>0, (x0,y0) é um ponto de mínimo local.
    (Você também pode usar fyy(x0,y0) ao invés de fxx(x0,y0); isso, na verdade, não importa)
  • Se H=0, não temos informações suficientes para tirar uma conclusão.

Intuição ampla

fxx(x0,y0)Concavidadena direção xfyy(x0,y0)Concavidadena direção yPositiva apenas quando as direções de x e y são iguais às direções da concavidadefxy(x0,y0)2Quanto f parececom g(x,y)=xy
Olhe primeiro para esse termo:
fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)
Você pode pensar nele como uma maneira inteligente de codificar se a concavidade do gráfico de f é a mesma em ambas as direções x e y.
Por exemplo, observe a função
f(x,y)=x2y2
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Essa função tem um ponto de sela em (x,y)=(0,0). A derivada parcial de segunda ordem com relação a x é uma constante positiva:
fxx(x,y)=xx(x2y2)=x2x=2>0
Em particular, fxx(0,0)=2>0, e o fato de ela ser é positiva quer dizer que f(x,y) parece ter uma concavidade voltada para cima conforme nos movemos na direção x. Por outro lado, a derivada parcial de segunda ordem com relação a y é uma constante negativa:
fyy(x,y)=yy(x2y2)=y2y=2<0
Isto indica concavidade voltada para baixo conforme nos movemos na direção y. Esta incompatibilidade quer dizer que devemos ter um ponto de sela, e ele é codificado como o produto das derivadas parciais de segunda ordem:
fxx(0,0)fyy(0,0)=(2)(2)=4<0
Como fxy(0,0)2 só pode ser positiva, subtraí-la fará somente com que a expressão inteira fique ainda mais negativa.
fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
Por outro lado, quando o sinal de fxx(x0,y0) e o sinal de fyy(y0,y0) são ambos positivos ou ambos negativos, as direções x e y concordam sobre qual deve ser a concavidade de f. Em qualquer um desses casos, o termo fxx(x0,y0)fyy(x0,y0) será positivo.
Mas isto não é suficiente!

O termo fxy2

Considere a função
f(x,y)=x2+y2+pxy
em que p é uma constante.
Verificação de conceito: com essa definição de f, calcule suas segundas derivadas:
fxx(x,y)=
fyy(x,y)=
fxy(x,y)=

Uma vez que as segundas derivadas fxx(0,0) e fyy(0,0) são ambas positivas, o gráfico parecerá ter concavidade voltada para cima conforme nos movemos somente na direção x ou somente na direção y (independentemente do valor de p).
Entretanto, assista ao vídeo a seguir no qual mostramos como esse gráfico se altera conforme permitimos a constante p variar de 1 para 3, e depois variar de volta para 1:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
O que está acontecendo aqui? Como o gráfico pode ter um ponto de sela se a concavidade está voltada para cima em ambas as direções x e y? A resposta mais rápida é que outras direções também são importantes e, nesse caso, elas são capturadas pelo termo pxy.
Por exemplo, se isolarmos o termo xy e olharmos para o gráfico g(x,y)=xy, ele ficará assim:
O gráfico de g(x, y) = xy. Muito parecido com o gráfico de x² - y², mas rotacionado 45° e um pouco expandido.
Ele tem um ponto de sela em (0,0). Isso não ocorre porque as direções x e y discordam quanto à concavidade, mas, ao invés disso, porque a concavidade parece positiva ao longo da direção diagonal [11] e negativa na direção [11].
Vamos ver o que o teste da segunda derivada nos informa sobre a função f(x,y)=x2+y2+pxy. Usando os valores das segundas derivadas foi pedido para calcular o que está acima. Obtemos o seguinte:
fxx(0,0)fyy(0,0)fxy(0,0)2=(2)(2)p2
Quando p>2, a expressão é negativa, então f tem um ponto de sela. Quando p<2, a expressão é positiva, então f tem um ponto de mínimo local.
Você pode pensar na grandeza fxy(x0,y0) como uma medida de como a função f se parece com o gráfico de g(x,y)=xy próxima do ponto (x0,y0).
Considerando quantas direções devem concordar umas com as outras, é realmente surpreendente que só precisemos considerar três valores, fxx(0,0), fyy(0,0) e fxy(0,0).
O próximo artigo apresenta um raciocínio mais detalhado do que está por trás do teste da segunda derivada parcial.

Resumo

  • Depois de encontrar um ponto no qual o gradiente de uma função multivariável seja um vetor nulo, o que significa que o plano tangente ao gráfico é plano nesse ponto, o teste da segunda derivada parcial será uma forma de dizer se esse ponto é um ponto de máximo local, um ponto de mínimo local ou um ponto de sela.
  • O termo-chave para o teste da segunda derivada parcial é o seguinte:
H=fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)fxy(x0,y0)2
  • Se H>0, a função definitivamente terá um ponto de máximo/mínimo local no ponto (x0,y0).
    • Se fxx(x0,y0)>0, será um ponto de mínimo.
    • Se fxx(x0,y0)<0, será um ponto de máximo.
  • Se H<0, a função definitivamente terá um ponto de sela em (x0,y0).
  • Se H=0, não haverá informação suficiente para tirar uma conclusão.

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