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O Hessiano

O Hessiano é uma matriz que organiza todas as derivadas parciais de segunda ordem de uma função.

A matriz Hessiana

A "Matriz Hessiana" de uma função de várias variáveis f(x,y,z,), que diferentes autores escrevem como H(f), Hf, ou Hf, organiza todas as derivadas parciais de segunda ordem em uma matriz:
Hf=[2fx22fxy2fxz2fyx2fy22fyz2fzx2fzy2fz2]
Então, há duas coisas para se notar aqui:
  • Isso só faz sentido para uma função escalar.
  • Esse objeto Hf não é uma matriz ordinária; é uma matriz que tem funções como entradas. Em outras palavras, ela deve ser calculada em algum ponto (x0,y0,).
    Hf(x0,y0,)=[2fx2(x0,y0,)2fxy(x0,y0,)2fyx(x0,y0,)2fy2(x0,y0,)]
Assim, você poderia chamar esse objeto Hf de função "matricial". Legal, não é mesmo?
Mais uma coisa importante, a palavra "Hessiano" também pode se referir ao determinante dessa matriz, além da própria matriz.

Exemplo: cálculo de um Hessiano

Problema: calcule o Hessiano de f(x,y)=x32xyy6 no ponto (1,2):
Solução: em última análise, precisamos de todas as derivadas parciais de segunda ordem de f, então primeiro vamos calcular as duas derivadas parciais:
fx(x,y)=x(x32xyy6)=3x22yfy(x,y)=y(x32xyy6)=2x6y5
Com elas, conseguimos calcular todas as quatro derivadas parciais de segunda ordem:
fxx(x,y)=x(3x22y)=6xfxy(x,y)=y(3x22y)=2fyx(x,y)=x(2x6y5)=2fyy(x,y)=y(2x6y5)=30y4
A matriz hessiana nesse caso é uma matriz 2×2 com essas funções como entradas:
Hf(x,y)=[fxx(x,y)fyx(x,y)fxy(x,y)fyy(x,y)]=[6x2230y4]
Devemos calcular isso no ponto (x,y)=(1,2), então substituímos estes valores:
Hf(1,2)=[6(1)2230(2)4]=[622480]
Agora, o problema é ambíguo, já que "Hessiano" pode se referir tanto a esta matriz ou ao seu determinante. O que você quer vai depender do contexto. Por exemplo, na otimização de funções de várias variáveis, há algo chamado de "Teste da Derivada Parcial de Segunda Ordem", que usa o determinante Hessiano. Quando o Hessiano é usado para aproximar funções, você utiliza apenas a própria matriz.
Se é o determinante que queremos, é isso que temos:
det([622480])=6(480)(2)(2)=2884

Usos

Ao capturar todas as informações das derivadas parciais de segunda ordem de uma função de várias variáveis, a matriz hessiana frequentemente desempenha um papel análogo ao das derivadas de segunda ordem no cálculo de uma única variável. Notavelmente, ela aparece nesses dois casos:

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