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Expressando a forma quadrática com uma matriz

Como escrever uma expressão como ax^2 + bxy + cy^2 usando matrizes e vetores. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Antes de vermos a forma vetorial da aproximação quadrática, nós vamos ver na forma de uma matriz. Mas o que isso significa? Por exemplo, vamos dizer que nós temos aqui uma expressão do tipo "ax² + bxy + cy²", onde "a", "b'' e "c'' são constantes, esta é a forma quadrática. O que vamos fazer é transformá-la em uma matriz. Como podemos transformar isso em uma matriz? Simples. Vamos dizer que nós temos aqui uma forma linear que é do tipo "ax + by + cz". Para transformar isso em uma matriz, você cria um vetor com as constantes "a'', "b" e "c" e multiplica por um vetor contendo as variáveis "x'' ,"y'' e "z". E você pode representar isso por "v", que é o vetor que contém as constantes e multiplicar por "x'', que representa o vetor que contém as variáveis, e quando você escreve assim, você entende que você tem que multiplicar a constante pela variável. É como pegar um vetor constante e multiplicar por um vetor variável. E sabe qual é o interessante de escrever assim? É que esse "v" pode conter não somente 3 constantes, mas infinitas constantes. E com isso, ao invés de você escrever por exemplo, 100 variáveis aqui, você pode representar por um único vetor. Então, a questão dessa aula é: como podemos representar isso aqui em uma forma parecida? E isso, como você pode imaginar, vai facilitar bastante a nossa vida. Vamos dizer, por exemplo, que nós temos aqui mais uma variável "z", e aí a nossa forma quadrática seria "+exz + fz²". Ou seja, já deu algo bem grande. Se quisermos colocar outras variáveis, essa forma quadrática vai ficar ainda maior, portanto, escrever na forma de uma matriz vai ajudar bastante a simplificar a expressão. Mas nesta aula eu vou me concentrar somente em duas variáveis, tá? Agora, preste atenção em algo. Ao invés de pensarmos nisso como ''bxy", vamos pensar como 2bxy. Colocar esse 2 não vai alterar o valor desse "x" e desse "y", apenas vai mudar o que o "b" representa. Já já você vai ver por que eu quis representar dessa forma. Bem, a forma vetorial de escrever essa equação quadrática é colocar uma matriz com as constantes "a" e "c'' na diagonal principal e duas constantes "b" na diagonal secundária. E claro, nós pensamos nesta matriz como uma matriz simétrica. Se você refletir toda a matriz sobre essa linha, você vai ter o mesmo valor aqui e aqui, e você multiplica isso pela matriz contendo as variáveis "x" e "y". Do lado esquerdo, você multiplica pela transposta da matriz do lado direito, ou seja, multiplica pela matriz contendo "xy", só que agora com uma única linha. E a partir de agora, nós precisamos somente fazer essa multiplicação. E claro, se você não lembra como multiplicar matrizes, eu sugiro que você pause o vídeo e dê uma olhada nos vídeos a respeito de multiplicação de matrizes. E claro, eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá. Primeiro vamos fazer esta multiplicação. Para multiplicar matrizes, nós sempre pegamos a linha e multiplicamos pela coluna, ou seja, "a" vezes "x" vai dar "ax", mais "b" vezes "y", e fazemos a mesma coisa com a outra linha, multiplicamos pela coluna na segunda matriz, ficando com "b" vezes "x" mais "c" vezes "y". Mas claro, ainda falta multiplicarmos por essa matriz do lado esquerdo. Então, multiplicamos pela matriz "xy". Multiplicando isso, vamos pegar esta linha e multiplicar pela coluna, e aí vamos ficar com "x", que multiplica "ax + by" mais "y'' que multiplica "bx + cy''. E se aplicarmos a distributiva, nós vamos ficar com "x" que multiplica "ax", que vai dar ax² + "x" vezes "by", que vai vai dar bxy + "y" vezes "bx", que é a mesma coisa que "bxy", mais cy². Se ajeitarmos isso, vamos ficar com ax² + 2bxy + cy². Foi por isso que eu coloquei o "2b" aqui, porque acaba vindo naturalmente o "2b''. Ou seja, quando multiplicamos essas matrizes, nós acabamos chegando nesta forma quadrática. E o interessante de colocar desse jeito é que você pode escrevê-la em uma forma mais abstrata, ou seja, ao invés de escrevermos esta multiplicação, você pode colocar ''M'' que representa a matriz dos coeficientes e multiplicar por esse vetor que podemos colocar como "x", e no lado esquerdo, multiplicamos pela sua transposta. Escrever dessa forma é bastante conveniente, porque por exemplo, nós poderíamos escrever uma forma quadrática com 100 ou mais coeficientes e 100 ou mais variáveis. Iria ficar algo bem grande, então, representar dessa forma, iria facilitar bastante, né. Por exemplo, deixa eu descer aqui. Vamos dizer que nós temos três variáveis. Então, nós vamos ter nossa matriz, que multiplica a matriz das variáveis do lado direito e do lado esquerdo a sua transposta. Isso significa que nós vamos ter a matriz das variáveis "x'', "y'' e "z", que multiplica a matriz dos coeficientes constantes, ou seja, "a", "b", "c" "d", "e" e "f", e claro, essa matriz é simétrica, o que significa que cada termo daqui tem que ser igual ao daqui. Isso porque quando você passa a diagonal principal, a matriz tem que ser simétrica em ambos os lados, então, aqui tem que ser "c'' e aqui tem que ser "e", e multiplicamos isso pela matriz com os elementos ''x", "y" e "z". Ou seja, esta é a matriz e essa é a sua transposta. Claro, eu não vou fazer isso neste vídeo, mas se você fizer essa multiplicação, você vai ter uma forma quadrática com três variáveis. A questão aqui é que realizar esta multiplicação, ou até com mais variáveis, acaba se tornando algo muito complicado, por isso, o melhor é representar assim. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!