Exemplo de aproximação quadrática

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nessa aula nós vamos fazer a aproximação quadrática de uma função de duas variáveis, ou seja, vamos ver um exemplo. Na aula passada, nós vimos a aproximação quadrática de uma função f(x,y), lembrando que esse aqui é o termo constante e esses aqui são o que chamamos de termo linear, porque se quiser saber como as variáveis x e y surgem, você vai ver que x está sendo multiplicado por essa constante enquanto y está sendo multiplicado por essa, e essa parte é que tem toda a essência de uma aproximação quadrática, que é onde você começa a ter um quadrado e obtém x vezes y, que é o que chamamos de termo quadrático. Sabendo disso, vamos fazer um exemplo aqui. Digamos que eu tenha a função f(x,y) que é igual a “e” elevado a (x/2) que multiplica seno de y e digamos que eu queira aproximar essa função ao ponto (0, π/2). Já que eu tenho um seno, vai ficar mais fácil de achar as suas derivadas. A primeira coisa que temos que fazer é achar todos esses termos. Para isso, vamos precisar das derivadas parciais de primeira e segunda ordem. Então começando com a derivada da função em relação a x e derivando-a em relação a x, nós utilizamos a regra da cadeia e a regra do produto. Supondo que você já tenha visto essa aula, eu vou adiantar aqui. Pegamos a derivada dessa função em relação a x, que é a mesma coisa que ½ vezes “e” elevado a x/2 e multiplicamos por essa função em relação a x, que nesse caso trabalhamos como se fosse uma constante, então vezes seno de y. Agora, a derivada parcial de f em relação a y, de (x,y), vai ser a mesma coisa que pegar esse “e” elevado a x/2 e repetir, já que estamos derivando em relação a y, e multiplicamos pela derivada do seno de y, que é cosseno de y, então vezes o cosseno de y. Agora nós começamos a olhar para a derivada de segunda ordem. Isso é mesma coisa que derivar essa função em relação a x, e com isso você deriva somente essa parte em relação a x, que vai ser a mesma coisa que ¼ vezes “e” elevado a x/2 e multiplicamos isso pelo seno de y, já que estamos derivando em relação a x. Então, vezes seno de y. Deixe-me descer aqui para ter mais espaço. Ainda precisamos fazer a derivada parcial mista, ou seja, você pode fazer primeiro em relação a x e depois em relação a y, ou o contrário, tanto faz, vai dar a mesma coisa. Então o que eu vou fazer é pegar a derivada em relação a x e derivar em relação a y. Assim consideramos esse ½ vezes “e” elevado a x/2 como constante e derivamos somente o seno de y, que é cosseno de y. Por fim, nós precisamos da derivada em relação a y em relação a y, ou seja, uma derivada de segunda ordem. Isso significa que nós temos que derivar essa função em relação a y. Note que essa é a única parte que aparece y. A derivada do cosseno de y é -seno de y, e essa parte fica como uma constante. Então vou colocar o "menos" do seno aqui e colocar “e” elevado a x/2, que multiplica seno de y. Agora precisamos substituir todos esses termos avaliados nesse ponto (deixe-me subir um pouco) nesta expressão. Eu começo substituindo esse ponto na função e nas derivadas parciais. Se substituir aqui, eu vou ficar com “e” elevado a 0/2, que vai dar e⁰, e todo número elevado a zero é 1, então isso aqui vai dar 1 e multiplicamos por seno de π/2, que também é 1, ou seja, f(0, π/2) é igual a 1. Agora, essa derivada parcial, essa parte, de novo, vai ser 1 e o seno de π/2 também vai ser 1. A diferença é que tem ½ multiplicando. Então tudo isso vai ser igual a ½. Agora, se olharmos para a derivada parcial de y, nós vamos ter que calcular cosseno de π/2, que é zero, portanto essa multiplicação vai ser zero. Agora, na segunda derivada em relação a x, Nós vamos ter que “e” elevado a 0/2 vai ser 1 e seno de π/2 também é 1, só que tem ¼ aqui, e essa multiplicação vai ser igual a ¼. Aqui vai ser 1 e aqui vai ser zero, já que o cosseno de π/2 é zero, portanto essa multiplicação vai ser igual a zero. Por fim, a derivada de segunda ordem em relação a y. Aqui vai ser 1 e aqui também vai ser 1, mas tem um "menos" aqui, portanto vamos ficar com -1. Agora, sim, nós podemos substituir esses termos na aproximação quadrática. Então, na aproximação quadrática de (x,y), o primeiro o termo vai ser a constante, que nesse caso é 1, então 1 mais ½, que é a derivada da função em relação a x que multiplica x menos x₀, que nesse caso é zero, mais y menos y₀, que nesse caso é π/2, e multiplicamos isso pela derivada parcial da função em relação a y (deixe-me colocar esse mais para cá para colocar isso na frente), então mais zero, que é essa derivada aqui, e somamos isso com a derivada de segunda ordem em relação a x, que é ¼, e multiplicamos por (x menos zero)² mais a derivada de x em relação a y, que é zero, que multiplica (x menos zero) menos (y menos π/2). E claro, eu esqueci de colocar aqui, mas ainda tem esse ½ e esse aqui, então ¼ é multiplicado por ½. Então mais ½ vezes ¼. Agora somo com ½, que multiplica -1, que é a derivada de segunda ordem em relação a y, e multiplicado por (y menos π/2)². E claro, se simplificar tudo isso, você vai ficar com 1 mais x/2 mais x²/8 mais (-½), que multiplica (y menos π/2)². Claro, você ainda pode ajeitar esse sinal aqui, mas o que eu quero que você perceba é que isso parece com uma função quadrática, e nem é tão difícil de calcular valores nela. E claro, trabalhar com esse polinômio ajuda você a tirar algumas conclusões. Por exemplo, nós utilizamos isso para trabalhar com algo chamado de "segundo teste de derivada parcial", mas para entender bem o que isso significa, vamos olhar alguns gráficos de algumas funções importantes. Veja bem: esse é o gráfico da função “e” elevado a x/2 vezes seno de y e o ponto no qual estamos nos aproximando é esse aqui, que é x igual a zero e y igual a π/2, ou seja, quando x é zero, y é π/2. A aproximação quadrática, quando você conecta tudo, tem um gráfico que se parece com isso, com essa superfície branca que coloquei aqui. Eu posso até tirar o gráfico original e você vai ver que estamos aproximando a função para perto desse ponto. É uma coisa bastante interessante, porque mesmo que a superfície original esteja longe do ponto, você pode ver que estamos conseguindo ficar mais próximos do ponto. Note que a natureza oscilante dessa função é por causa da função seno e esse aqui é o componente exponencial, que é o que faz a função crescer mais rápido se comparada à aproximação quadrática. Então essa aqui é a aproximação quadrática e mais à frente nós vamos ver o quanto isso é útil para obtemos características qualitativas da forma do gráfico. Você pode ver que ele, inclusive, se parece com uma sela, o que vai ser muito importante em certos contextos. Mas, enfim, nas próximas aulas nós vamos ver outras formas de generalizar essa aproximação quadrática. Vamos ver, por exemplo, uma forma vetorial de escrevê-la, e isso vai nos ajudar a obter aproximações quadráticas de funções de mais variáveis. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês e até a próxima, pessoal!