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Fórmula da aproximação quadrática - Parte 1

Como criar uma função quadrática que se aproxima de uma função arbitrária de duas variáveis. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos construir uma fórmula para uma aproximação quadrática. Para isso, nós temos uma função de duas variáveis, que tem uma saída escalar. O objetivo é fazer uma aproximação perto do ponto (x₀,y₀). Quando eu falei de linearização, nós vimos essa fórmula aqui, que era a linearização local completa. Claro, parece algo complicado, mas quando você separa, que é o que nós vamos fazer, verá que não é algo tão complicado assim. É estender essa fórmula, adicionando algumas coisas para obter uma aproximação quadrática. Isso significa que estamos usando termos como x², xy e y², o que significa que algum momento você vai ter dois x multiplicando-se, o que vai dar um x², aqui você vai ter um x multiplicado por y, e aqui um y². Então vamos dar uma olhada nessa linearização local, ou seja, vamos analisar termo por termo. Nesta parte você está avaliando a função nesse ponto de entrada específico, o que vai dar um valor constante, já que você tem a derivada parcial de f em relação a x nesse ponto, o que significa que a função está recebendo outro número. A mesma coisa acontece aqui, mas dessa vez é uma função parcial em relação a y. O motivo de ficarmos com essa forma é por causa das propriedades que essa linearização tem. Deixe-me apagar isso aqui para você entender melhor. O que eu quero fazer primeiro é entender algumas propriedades dessa linearização, isso porque elas também vão ser propriedades da aproximação quadrática. A primeira delas é: quando você vai analisar essa função em um ponto específico (x₀,y₀),o que você recebe? Isso aqui é constante, então não vai influenciar. Portanto, você só coloca f(x₀,y₀). Agora, nessa parte, o que acontece? Se colocar x₀ aqui, você ficará com x₀ menos x₀, o que significa que tudo isso vai dar zero. A mesma coisa acontece com essa parte aqui. Se você substituir esse ponto, aqui vamos ficar com y₀ menos y₀, que vai dar zero. Portanto, essa parte também vai dar zero. Com isso, você vai ficar somente com f(x₀,y₀) do lado direito. Essa é uma propriedade muito importante. Se você quiser saber a linearização para a aproximação perto de (x₀,y₀), isso vai ser igual ao valor da função naquele ponto. Mas claro, tem outras coisas importantes. O que acontece se pegar a derivada parcial dessa linearização em relação a x? Se você olhar para a função, a derivada desse termo constante vai ser igual a zero, essa parte parece que tem algo constante vezes uma subtração e se você derivar isso em relação a x, o que você terá vai ser esse termo constante. Então, mais o termo constante no ponto (x₀,y₀). E nessa parte não tem x, por isso consideramos como constante, e a derivada disso vai ser zero. Portanto, a derivada parcial da nossa linearização em relação a x vai ser igual à derivada parcial da função em relação a x no ponto (x₀,y₀). Mas preste atenção: isso não está dizendo que a derivada parcial da nossa linearização tem a mesma derivada em todos os pontos do domínio. Está apenas dizendo que a sua derivada parcial passa a ser uma constante, e a constante é o valor da derivada parcial em relação a x no ponto (x₀,y₀). A mesma coisa vale para a derivada parcial da linearização em relação a y, que é uma constante, igual à derivada parcial da função com respeito a y no ponto (x₀,y₀). Então temos três coisas importantes: a primeira é a própria linearização, a segunda é que o valor da linearização no ponto (x₀,y₀) é igual ao valor da função nesse mesmo ponto, ou seja, em um ponto específico, e o terceiro são os valores das suas derivadas parciais. Agora, o que vamos fazer para descobrir a aproximação quadrática é pegar essa mesma fórmula e adicionar isso aqui. Deixe-me colocar de novo a fórmula de linearização aqui. A diferença é que vamos apagar esse L e colocar um Q, de aproximação quadrática, e então eu tenho que adicionar mais ax² mais bxy mais cy². O único problema de colocarmos isso é que vai bagunçar na hora de resolvermos, ou seja, esses termos podem dificultar a conta. O ideal é fazermos o mesmo que fizemos com a linearização. Toda vez que tivermos um x vamos colocar (x menos x₀). A mesma coisa acontece com y. Onde tiver y, vamos colocar (y menos y₀). Ou seja, vamos ficar com “a”, que multiplica (x menos x₀)², mais “b”, que multiplica (x menos x₀) que multiplica (y menos y₀), mais “c”, que multiplica (y menos y₀)². Bem, isso aqui parece bem confuso, mas note que nós já temos três constantes. Quando você coloca o ponto (x₀,y₀) na função, significa que você vai colocar x₀ no lugar do x e y₀ no lugar y. Isso, isso, isso e isso vão dar zero, ou seja, toda essa parte vai sumir e também, quando tomamos as derivadas parciais, essa parte também vai sumir, mas é algo que vamos ver nas próximas aulas. Enfim, eu vou ficando por aqui e vamos continuar falando a respeito disso no próximo vídeo. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!