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Fórmula da aproximação quadrática - Parte 2

Uma continuação do vídeo anterior, levando à fórmula completa para a aproximação quadrática de uma função de duas variáveis. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Na aula passada, nós montamos uma fórmula para aproximação quadrática que chamamos de "Q". Nós vimos, também, que esta primeira parte era a mesma coisa da fórmula de linearização local, e esses outros termos são as partes quadráticas. Basicamente, nós temos um "a" que multiplica um x², só que no lugar do x² eu coloquei essa diferença, mais um "b", que multiplica "x vezes y", sendo que "x'' é essa diferença e "y" é essa aqui, somamos isso com "c" vezes y², sendo que "y" é igual a essa diferença. Se você não lembra disso, eu sugiro que você dê uma revisada na aula passada antes de continuar. Nesta aula, vamos continuar desta parte e vamos ver se podemos substituir algo a essas constantes. Para isso, o nosso objetivo é achar a derivada de segunda ordem dessa aproximação quadrática em relação a "x" duas vezes seguidas, mas nós queremos avaliar isso no ponto (x₀, y₀). Isso vai ser a mesma coisa que pegarmos a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" duas vezes seguidas no ponto (x₀, y₀). E claro, nós queremos que isso seja verdade não somente para derivadas de segunda ordem em relação a "x", mas em relação a outras variáveis. Ou seja, podemos descobrir também a derivada de segunda ordem da aproximação quadrática em relação a ''y" em relação a "x'' no ponto (x₀, y₀), e isso é a mesma coisa que a derivada de segunda ordem de "f'' em relação a "x" em relação a "y", e claro, avaliamos isso no ponto (x₀, y₀). Lembre-se, toda vez que você vai tomar a derivada de segunda ordem de uma função e você mistura duas variáveis, não importa a ordem que você pega, você pode pegar primeiro e derivar em relação a "x" e depois derivar em relação a "y", ou então, derivar primeiro em relação a "y" e depois em relação a ''x". Essas duas coisas são iguais, mas existem algumas funções para as quais isso não é verdade. Mas nesta aula, vamos supor que estamos lidando com funções nas quais isso é verdade. Uma última coisa que devemos considerar é que quando pegamos a derivada de segunda ordem desta aproximação quadrática em relação a "y" duas vezes neste ponto (x, y), isso é a mesma coisa que a derivada de segunda ordem da função "f" em relação a "y" duas vezes nesse ponto (x₀, y₀). Basicamente, o que eu estou dizendo aqui é que a derivada de segunda ordem de "Q" é a mesma de "f". Ok, então, vamos olhar para a nossa função e pensar nas suas derivadas parciais, ou seja, quais são as derivadas de primeira e segunda ordem. Para isso, eu posso apagar esta parte aqui e deixar somente as derivadas parciais. Bem, a derivada de segunda ordem de "Q" em relação a "x" duas vezes é igual à derivada em relação a "x'' da aproximação quadrática. Mas nós devemos considerar um termo de cada vez. Este primeiro é uma constante, e a derivada de uma constante é zero, então, esta parte dá zero, esse segundo termo contém essa variável "x", e quando tomamos a sua derivada, isso vai ser um termo linear, e portanto, vamos ficar com essa constante na frente dele. Então, ficamos com a derivada parcial da função em relação a "x" no ponto (x₀, y₀), mais esta parte aqui que não contém "x", portanto, a derivada vai ser zero, e quando derivamos esta parte em relação a "x", esse 2 vem para frente do "a'', e aí vamos ficar com 2a(x - x₀). Esse termo também tem um "x", mas é um termo linear e que quando derivamos vai dar 1, e com isso ficamos somente com "b" vezes esta parte que é tratada como constante, então +b(y -y₀). Nesse último termo não tem "x'', e como estamos derivando em relação a "x", essa parte vai ser zero. E podemos continuar tomando de novo a derivada em relação a "x" disso aqui. A derivada parcial disso vai ser uma constante, portanto, vai dar zero, a derivada disso aqui em relação a "x" vai ser 1, e aí vamos ficar apenas com 2a, e esse último termo não tem "x", então, vai ser zero. Portanto, ∂²Q/∂²x duas vezes é a mesma coisa que duas vezes essa constante "a". Nosso objetivo é que este 2a seja igual à derivada parcial de "F" em relação a "x" em relação a "x", e claro, eu estou usando uma notação diferente dessa aqui, que é a notação de Leibniz, mas nós queremos avaliar essa derivada parcial em (x₀, y₀). Para que isso seja verdade, o "a" tem que ser igual 1/2 vezes a derivada parcial da função "f" em relação a "x" em relação a "x" no ponto (x₀, y₀). Basicamente, eu igualei essas duas coisas e isolei esse "a". Com isso, nós achamos a constante "a". Podemos determinar as outras também. Para achar o "b", nós podemos utilizar esta derivada parcial em relação a "x" em relação a "y". Isso é a mesma coisa que pegar a derivada da função em relação a "y" disso tudo aqui em relação a "x'', e eu posso selecionar e repetir ali. Então, quando derivamos isso aqui em relação a "y", esta parte vai ser uma constante, essa aqui também, já que estamos fazendo isso em relação a "y" e não tem nenhum "y" nessas duas partes, e a derivada disso acaba sendo "b''. Com isso, o resultado vai ser igual a "b". Não tem mais um 2 multiplicando a constante. E aí, neste caso, o nosso objetivo vai ser a derivada em relação a "x" em relação a "y" no ponto (x₀, y₀), ou seja, primeiro você deriva em relação a "x" e em seguida em relação a "y". E de novo, você iguala "b" a essa parte e avalia nesse ponto, ou seja, o "b'' vai ser igual à derivada parcial de "f" em relação "x" em relação a "y" no ponto (x₀, y₀). Só falta encontrar a constante "c". É parecido com o que já fizemos, a diferença é que utilizamos esta derivada parcial em relação a "y'' em relação a "y". E claro, eu nem vou resolver aqui, eu sugiro que você faça isso sozinho para ver se você entendeu tudo certinho. Mas, basicamente, você vai chegar à mesma conclusão da constante "a", e, com isso, o "c" vai ser igual a 1/2, que multiplica a derivada parcial da função em relação a "y'' em relação a "y" no ponto (x₀, y₀). Depois de descobrir essas três constantes, você pode substituir aqui para achar a aproximação quadrática. Note que temos 6 termos separados. Este corresponde ao termo constante, esses dois são os termos lineares e esses três correspondem aos termos quadráticos. Mas enfim, embora tenha bastante informação aqui, eu quero que você visualize o gráfico dessa função. Deixe-me colocar aqui. Então, se você está aproximando uma função quadrática de um ponto específico, essa aproximação quadrática vai se parecer com uma curva que chamamos de parábola, e é isso que essa fórmula nos dá, essa aproximação quadrática. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!