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A matriz hessiana

A matriz hessiana é uma forma de organizar todas as derivadas parciais de segunda ordem de uma função de múltiplas variáveis. Versão original criada por Grant Sanderson.

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RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Antes de falarmos de forma vetorial para aproximações quadráticas de funções multivariáveis, nós vamos falar a respeito de matriz hessiana. Basicamente, essa matriz guarda todas as informações das segundas derivadas de uma função. Como assim? Digamos que você tenha aqui uma função multivariável f(x,y) e que seja igual a eˣ/²sen(y). A matriz hessiana contém as segundas derivadas parciais desta função f(x,y). Neste primeiro componente, nós colocamos a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" em relação a "x" e na segunda linha e segunda coluna, nós colocamos a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" em relação a "y", e na segunda coluna nós colocamos a derivada parcial de "f" em relação a "y" em relação a "x" e a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y" duas vezes, e o que vamos fazer aqui é calcular a hessiana dessa função. Para isso, eu vou obter todas as segundas derivadas parciais primeiro. Bem, a derivada de primeira ordem de "f" em relação a "x" vai ser a mesma coisa que derivar esta função em relação a "x", e note que somente nesta parte aparece um termo "x", e a derivada de eˣ/² vai ser 1/2 que multiplica eˣ/², e multiplicamos isso pelo sen(y), já que estamos derivando com respeito a "x". E a derivada parcial de "f" em relação a "y", qual vai ser? eˣ/² vai ser uma constante, já que estamos derivando em relação a "y", e a derivada do sen(y) é cos(y). Claro, aqui eu estou utilizando a regra do produto, e se você não lembra como faz esse tipo de derivada, eu sugiro que você dê uma revisada. Agora sim, nós sabemos as derivadas parciais, podemos preencher a matriz. Na primeira coluna, neste primeiro termo, nós queremos saber a derivada de segunda ordem de "f" em relação "x" duas vezes. Nós já fizemos isso uma vez, então, temos que fazer de novo. E aí, se derivarmos em relação a "x" isso aqui, vamos aplicar a regra do produto e vamos ficar com 1/4 que multiplica eˣ/² vezes o sen(y). Aqui, nós queremos saber a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x", que já conhecemos, em relação a "y". Portanto, devemos derivar somente isto aqui em relação a "y", e aí vamos ficar com 1/2, que multiplica eˣ/² vezes a derivada do sen(y), que é cos(y), então, vezes o cos(y). E nessas duas aqui vamos fazer a mesma coisa. Devemos pegar a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y" em relação a "x", e já temos a derivada de "f" em relação a "y", portanto, devemos derivar somente em relação a "x", ficando com 1/2 vezes eˣ/² vezes cos(y), e a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y" em relação a "y", significa que temos que derivar esta função mais uma vez. E aí vamos ficar com eˣ/² (-sen(y)), já que estamos derivando em relação a "y". Ou seja, esta aqui é a matriz hessiana desta função. Você pode até colocar aqui um "f" para especificar que é esta função multivariável ali. O interessante disso é que você pode armazenar derivadas parciais de funções de várias variáveis. Como assim? Vamos dizer que você tenha uma função f(x,y,z). O que você deve fazer é seguir esse padrão. Se você quiser descobrir a hessiana dessa função, deixe-me colocar aqui embaixo, então, deixe-me descer aqui. Então, a nossa hessiana vai ser igual a esta mesma parte que já temos aqui, sendo que vamos ter mais uma linha e mais uma coluna. Na terceira linha, nós colocamos a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" em relação a "z", e na segunda coluna e terceira linha, colocamos a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y" em relação a "z", e colocamos uma terceira coluna que é a derivada de segunda ordem da função "f" em relação a "z" em relação a "x", e a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "z" em relação a "y", e por fim, a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "z" duas vezes. E, uma coisa interessante, note que aqui nós temos 3 variáveis, por isso nós temos uma matriz 3 por 3. Se tivermos por exemplo, 100 variáveis, nós vamos ter uma matriz 100 por 100. Na próxima aula, nós vamos ver o quanto esta hessiana nos ajuda a escrever melhor a aproximação quadrática de qualquer função multivariável. Enfim, eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!