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Forma vetorial da aproximação quadrática de múltiplas variáveis

Esta é a forma mais geral de uma aproximação quadrática para uma função escalar de múltiplas variáveis. É análoga a um polinômio quadrático de Taylor no universo de uma variável. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos ver a forma vetorial de uma aproximação quadrática. Em aulas passadas, nós vimos a fórmula de uma aproximação quadrática, onde "f" é a função que estamos tentando aproximar e (x₀, y₀) é o ponto do qual estamos nos aproximando. Mas como eu disse, nós já falamos disso em vídeos passados, e se você não lembra disso, eu sugiro que você dê uma olhada. Mas só lembrando rápido, este aqui é o termo constante, isso tudo aqui é o termo linear, isso porque eu sempre estou pegando uma variável e multiplicando por uma constante. E em toda essa parte, tem duas variáveis se multiplicando. E nessa parte vai aparecer um x² e um y², ou seja, é o termo quadrático. O que vamos fazer nesta aula é transformar tudo isso em vetores. Mas como podemos fazer isso? Inicialmente, vamos escrever esta matriz, que contém as variáveis "x" e "y", ou seja, a matriz que representa a entrada [x, y], e temos uma matriz, ou um vetor, assim por dizer, que representa as entradas [x₀, y₀]. O termo constante vai ser a mesma coisa que avaliar esta função em x₀. Agora, este termo linear se parece com um produto escalar. Se expandirmos esse produto escalar, vai parecer que estamos tomando a derivada parcial em relação a "x" e a derivada parcial em relação a "y". Ambas as derivadas, estamos avaliando em x₀, e cada uma dessas variáveis é multiplicada pela variável menos as entradas, que são constantes. Então, vezes [x - x₀, y - y₀]. Nós podemos escrever isso como o vetor gradiente de "f" (∇f), que é o vetor que contém essas derivadas parciais, e avaliamos isso em x₀ e multiplicamos pelo vetor (x - x₀). Então, esta expressão vetoriza este termo linear, e agora temos que pensar nesta parte que é mais difícil. Como podemos vetorizar esse termo quadrático? No vídeo passado, nós vimos como fazer isso. Nós escrevemos uma matriz com os termos constantes, e o primeiro é 1/2, que multiplica a segunda derivada em relação a "x", então, 1/2 que multiplica a segunda derivada em relação a "x". E claro, fica subentendido que estamos avaliando isso no ponto (x₀, y₀). Na outra parte da diagonal, nós colocamos a derivada de segunda ordem em relação a "y", então, multiplicamos por esta constante, mas meio que este termo se separa em dois componentes diferentes. Se você lembrar da aula anterior, nós vemos algo parecido com 1a, 2b, e 1c, e quando resolvermos, vamos ficar com o 1/2 que multiplica a derivada em relação a "y" em relação a "x" e aqui também. E multiplicamos isso pelo quê? Bem, no primeiro componente, nós queremos que apareça um quadrado aqui, e para isso, temos que colocar um [x - x₀], e no segundo termo, temos que colocar [y - y₀], então, [y - y₀]. E ainda temos que multiplicar essa matriz pela transposta desta aqui, ou seja, deixe-me apagar essa parte e colocar a transposta aqui. Então, nossa transposta vai ser [x - x₀, y - y₀]. Agora só tem uma linha. Se você fizer esse produto de matrizes, você vai ter esta forma quadrática. Se você não lembra como faz isso, eu sugiro que você dê uma olhada na aula onde transformamos uma aproximação quadrática em uma matriz. E claro, você também pode dar uma olhada nos textos da Khan Academy. E olha que interessante. Esta matriz é parecida com a matriz hessiana. Só não é ela porque tem esse 1/2 multiplicando aqui. O que eu posso fazer? Eu posso colocar este escalar para frente da matriz, e em vez de eu escrever tudo isso, eu coloco um h(f), que é a representação da matriz hessiana. E lembre-se, cada um desses termos está avaliado em (x₀, y₀), que eu não escrevi, lembra? Então, eu posso colocar aqui, avaliado em x₀, já que o x₀ vai dar um valor de y₀. E ainda temos que colocar o lado direito, que podemos representar como x - x₀. Temos a mesma coisa aqui à esquerda. Deixe-me apagar esse 1/2 e colocar aqui. Então, 1/2 que multiplica (x - x₀). Claro, lembrando que essa aqui é a transposta, tá? Portanto, este aqui é o termo quadrático, e podemos representar a aproximação quadrática como o quê? De uma função "f" tendo como entrada vetorial, que é igual à função sendo avaliada em x₀ mais o vetor gradiente da função em x₀, que multiplica (x - x₀), ou seja, um produto vetorial, mais 1/2 que multiplica (x - x₀), ou seja, a transposta de uma matriz, e multiplica a hessiana da função em x₀(x - x₀). Esta aqui é a forma vetorial da aproximação quadrática. O interessante é que agora só precisamos de uma entrada, isso porque se trata de um vetor. E aí pode ter 1, 2, 3, 4, 100 variáveis, mas fica muito mais fácil representar assim. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!