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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 3

Lição 1: Planos tangentes e aproximação linear

Aproximação linear

Aprenda como generalizar a ideia de plano tangente em uma aproximação linear de funções escalares de múltiplas variáveis.

Conhecimentos prévios

O gradiente

O que estamos construindo

A aproximação linear generaliza a ideia de planos tangentes para qualquer função multivariável. Aqui, vou falar só sobre o caso de funções escalares de múltiplas variáveis.
A ideia é aproximar uma função na vizinhança de uma de suas entradas a uma função mais simples que tenha o mesmo valor para essa entrada, assim como os mesmos valores para as derivadas parciais.
Escrita com vetores, é assim que a função de aproximação fica:
$L_{f} (x) = \underset{Constante}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Vetor constante}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x é a variável}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍
Isso é chamado de aproximação linear de $f$ ‍ próximo de $x_{0}$ ‍.

Planos tangentes como aproximações

No artigo anterior, eu falei sobre como encontrar o plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis.

A equação do plano tangente acabou ficando assim:

\begin{array}{r} T (x, y) = f (x_{0}, y_{0}) + f_{x} (x_{0}, y_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}, y_{0}) (y - y_{0}) \end{array}

Esta função

T (x, y)

muitas vezes é designada por um nome diferente: A "aproximação linear" de

f

no ponto

(x_{0}, y_{0})

. Você pode pensar nela como a mais simples função que satisfaz duas propriedades:

Ela tem o mesmo valor de $f$ ‍ no ponto $(x_{0}, y_{0})$ ‍.
Ela tem as mesmas derivadas parciais que $f$ ‍ no ponto $(x_{0}, y_{0})$ ‍.

Como sempre acontece no cálculo multivariável, é interessante considerarmos um novo conceito, sem depender da intuição gráfica. Isso não quer dizer que você não deva tentar visualizar mentalmente. Talvez, em vez disso, pense exclusivamente sobre o espaço de entrada, ou pense na transformação relevante ao invés do gráfico.

Fundamentalmente, uma aproximação linear aproxima uma função na vizinhança de um ponto com base nas informações que você pode obter de sua(s) derivada(s) nesse ponto.

No caso de funções com uma entrada de duas variáveis e uma saída escalar (ou seja, não vetorial), isso pode ser visualizado como um plano tangente. Entretanto, para dimensões superiores, não temos esse luxo visual, então resta-nos pensar nisso apenas como uma aproximação.

Em aplicações reais do cálculo com múltiplas variáveis, você quase nunca se interessa por um plano real no espaço. Em vez disso, você pode ter alguma função complicada, como, não sei, a resistência do ar em um paraquedas em função da velocidade e da orientação. Lidar com a função real pode ser complicado ou computacionalmente caro, então é interessante aproximá-la de alguma coisa mais simples, como uma função linear.

O que eu quero dizer com "função linear"?

Considere uma função com uma entrada multidimensional.

$f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ ‍

Essa função é chamada de linear se, em sua definição, todas as coordenadas são multiplicadas apenas por constantes, e mais nada acontece com elas. Por exemplo, ela pode ficar parecida com isso:

$f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = 2 x_{1} + 3 x_{2} + \dots - 5 x_{n}$ ‍

A história completa da linearidade é mais profunda (daí a existência do campo "álgebra linear"), mas, por enquanto, essa definição basta. Normalmente, em vez de escrever todas as variáveis dessa forma, você trataria a entrada como um vetor:

$x = [\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ ⋮ \\ x_{n} \end{matrix}]$ ‍

E você definiria a função usando um produto escalar:

$f (x) = [\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ ⋮ \\ - 5 \end{matrix}] \cdot x$ ‍

Para os fins desse artigo, e mais geralmente quando você falar sobre aproximação linear, você pode adicionar uma constante a essa expressão:

$f (x) = \underset{Alguma constante}{\underset{⏟}{c}} + \overset{Algum vetor}{\overset{⏞}{v}} \cdot x$ ‍

Se você quiser ser exigente, essa já não é mais uma função linear. É o que se chama de função "afim". Entretanto, a maioria das pessoas diria "tanto faz, é basicamente linear".

Aproximação linear

Agora, suponha que sua função

f (x)

não tenha o luxo de ser linear. (O "

x

" em negrito ainda representa um vetor multidimensional). Ela pode ser definida por alguma expressão maluca bem mais complicada do que um produto escalar.

A ideia de uma aproximação linear é aproximar essa função na vizinhança de algum valor particular de entrada,

x_{0}

, com uma função que seja linear. Especificamente, é assim que essa nova função fica:

$L_{f} (x) = \underset{Constante}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Vetor constante}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x é a variável}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍

Observe que, inserindo $x = x_{0}$ ‍, você consegue ver que ambas as funções $f$ ‍ e $L_{f}$ ‍ terão o mesmo valor na entrada $x_{0}$ ‍.
O vetor cujo produto escalar é calculado pela variável $x$ ‍ é o gradiente de $f$ ‍ na entrada especificada, $\nabla f (x_{0})$ ‍. Isso assegura que ambas as funções $f$ ‍ e $L_{f}$ ‍ terão o mesmo gradiente na entrada especificada. Em outras palavras, todas as informações referentes às suas derivadas parciais serão as mesmas.

Acho que a melhor maneira de entender essa fórmula é basicamente derivá-la você mesmo no contexto de uma função específica.

Exemplo 1: como encontrar uma aproximação linear.

Problema: considere uma função:

$f (x, y, z) = z e^{x^{2} - y^{3}}$ ‍

Encontre uma função linear

L_{f} (x, y, z)

tal que os valores de

L_{f}

e de todas as suas derivadas parciais correspondam aos de

f

no seguinte ponto:

$(x_{0}, y_{0}, z_{0}) = (8, 4, 3)$ ‍

Etapa 1: resolva

f

no ponto escolhido

$f (8, 4, 3) =$ ‍

[Resposta]

Etapa 2: use isso para começar a escrever sua função. Qual das seguintes funções será garantidamente igual a

f

na entrada

(x, y, z) = (8, 4, 3)

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$L_{f} (x, y, z) = 3 + 8 a x + 4 b y + 3 c z$ ‍
(Escolha B)
$L_{f} (x, y, z) = 3 + a (x - 8) + b (y - 4) + c (z - 3)$ ‍
Em ambos os casos, $a$ ‍, $b$ ‍ e $c$ ‍ são todas constantes arbitrárias.

[Resposta]

As derivadas parciais de

L_{f}

, tal como você as escreveu até o momento, são justamente essas constantes

a

b

c

. Então, para forçar nossa função a ter as mesmas informações referentes às derivadas parciais que

f

no ponto

(8, 4, 3)

, nós só precisamos igualar essas constantes às derivadas parciais de

f

correspondentes neste ponto.

Etapa 3: calcule cada derivada parcial de

f (x, y, z) = z e^{x^{2} - y^{3}}

$f_{x} (x, y, z) =$ ‍
$f_{y} (x, y, z) =$ ‍
$f_{z} (x, y, z) =$ ‍

[Resposta]

Agora, calculamos cada uma delas em

(8, 4, 3)

$f_{x} (8, 4, 3) =$ ‍
$f_{y} (8, 4, 3) =$ ‍
$f_{z} (8, 4, 3) =$ ‍

[Resposta]

Etapa 4: ao substituir as constantes

a

b

c

na expressão de

L_{f}

por esses valores de derivadas parciais, o que você obtém?

$L_{f} (x, y, z) =$ ‍

[Resposta]

Agora, observe como ela fica se você a escrever com notação vetorial.

[Mostrar como fica]

É apenas uma forma específica da fórmula geral mostrada acima.

$L_{f} (x) = \underset{Constante}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Vetor constante}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x é a variável}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍

Exemplo 2: como usar a aproximação linear para estimativas

O que se segue não é uma aplicação prática, mas trabalhar sobre isso vai ajudar a dar uma ideia do que faz a aproximação linear.

Problema: suponha que você esteja em uma ilha deserta sem uma calculadora, e precise estimar o valor de

\sqrt{2, 01 + \sqrt{0, 99 + \sqrt{9, 01}}}

. Como você faria isso?

Solução:

Nós podemos encarar esse problema como o cálculo de uma determinada função de três variáveis no ponto

(2, 01; 0, 99; 9, 01)

, a saber

f (x, y, z) = \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}

Eu não sei quanto a você, mas eu não sei calcular raízes quadradas à mão. Se ao menos essa função fosse linear! Então, fazendo manualmente envolveria somente adição e multiplicação de números. O que podemos fazer é encontrar a aproximação linear em um ponto nas proximidades em que calcular

f

é mais fácil. Em seguida, podemos chegar bem perto da resposta correta calculando a aproximação no ponto

(2, 01; 0, 99; 9, 01)

O ponto que nos interessa está muito próximo do ponto bem mais simples

(2, 1, 9)

, então vamos encontrar a aproximação linear de

f

na vizinhança desse ponto. Como anteriormente, nós precisamos encontrar

$f (2, 1, 9)$ ‍
Todas as derivadas parciais de $f$ ‍ em $(2, 1, 9)$ ‍

O primeiro desses é

\begin{aligned} f (2, 1, 9) & = \sqrt{2 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}} \\ = \sqrt{2 + \sqrt{1 + 3}} \\ = \sqrt{2 + \sqrt{4}} \\ = \sqrt{2 + 2} \\ = \sqrt{4} \\ = 2 \end{aligned}

Parece que alguém escolheu alguns valores de entrada convenientes, hein?

Partimos para as derivadas parciais (suspiro pesado). Como as raízes quadradas são frequentes, vamos escrever nós mesmos a derivada de

\sqrt{x}

\begin{aligned} \frac{d}{d x} \sqrt{x} & = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \end{aligned}

Está bem, aqui vamos nós. A derivada parcial mais simples é

f_{x}

\begin{aligned} f_{x} & = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \end{aligned}

Como

y

está localizado ali,

f_{y}

requer alguma ação da regra da cadeia:

\begin{aligned} f_{y} & = \frac{\partial}{\partial y} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} \end{aligned}

Localizado ainda mais profundamente, aquele

z

complicado exigirá duas repetições da regra da cadeia:

\begin{aligned} f_{z} & = \frac{\partial}{\partial z} \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}} = \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{z}} \end{aligned}

Em seguida, calcule cada um desses em

(2, 1, 9)

. Isto pode parecer muita coisa, mas eles são todos feitos dos mesmos três componentes básicos:

\begin{aligned} \frac{1}{2 \sqrt{x + \sqrt{y + \sqrt{z}}}} & = \frac{1}{2 \sqrt{2 + \sqrt{1 + \sqrt{9}}}} = \frac{1}{2 \sqrt{2 + 2}} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \sqrt{y + \sqrt{z}}} & = \frac{1}{2 \sqrt{1 + \sqrt{9}}} = \frac{1}{2 \sqrt{4}} = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2 \sqrt{z}} & = \frac{1}{2 \sqrt{9}} = \frac{1}{6} \end{aligned}

Ao inserirmos esses valores em nossas expressões para as derivadas parciais, temos

\begin{aligned} f_{x} (2, 1, 9) & = \frac{1}{4} \\ f_{y} (2, 1, 9) & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16} \\ f_{z} (2, 1, 9) & = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{96} \end{aligned}

Ao decompormos a fórmula da aproximação linear, teremos

\begin{aligned} L_{f} (x) & = f (x_{0}) + \nabla f (x_{0}) \cdot (x - x_{0}) \\ = f (x_{0}) + f_{x} (x_{0}) (x - x_{0}) + f_{y} (x_{0}) (y - y_{0}) + f_{z} (x_{0}) (z - z_{0}) \\ = 2 + \frac{1}{4} (x - 2) + \frac{1}{16} (y - 1) + \frac{1}{96} (z - 9) \end{aligned}

Finalmente, depois de todo esse trabalho, podemos inserir

(x, y, z) = (2, 01; 0, 99; 9, 01)

para calcular nossa aproximação

\begin{aligned} 2 + \frac{1}{4} (2, 01 - 2) + \frac{1}{16} (0, 99 - 1) + \frac{1}{96} (9, 01 - 9) \\ = 2 + \frac{0, 01}{4} + \frac{- 0, 01}{16} + \frac{0, 01}{96} \end{aligned}

Calcular isso à mão continua não sendo fácil, mas, pelo menos, é factível. Quando você a resolve, a resposta final é

2,001 979

Se nós tivéssemos simplesmente usado uma calculadora, a resposta seria

\sqrt{2, 01 + \sqrt{0, 99 + \sqrt{9, 01}}} \approx 2,001 978

Então nossa aproximação é muito boa!

Por que nos importamos?

Embora não seja comum se ver estimando raízes quadradas em uma ilha deserta (pelo menos não de onde eu venho), o que é comum nos contextos da matemática e da engenharia é se ver lidando com funções complicadas, mas deriváveis. A frase "apenas aproxime" é tão comum que não saber o que isso significa pode parecer estranho.

Lembre-se: a aproximação linear aproxima uma função perto de um ponto com base na informação que você pode conseguir a partir de sua(s) derivada(s) naquele ponto. Mesmo que você possa usar um computador para calcular funções, isso nem sempre é suficiente.

Poderá ser necessário calculá-la milhares de vezes por segundo, e resolvê-la por completo levará muito tempo.
Talvez você nem tenha a função explicitamente escrita, e tenha somente algumas medidas perto de um ponto que você deseja extrapolar.
Às vezes o que importa é a função inversa, o que pode ser difícil ou até mesmo impossível de encontrar para a função como um todo, enquanto que inverter funções lineares é relativamente simples.

Resumo

A aproximação linear generaliza a ideia de planos tangentes para qualquer função multivariável.
A ideia é aproximar uma função na vizinhança de uma de suas entradas a uma função mais simples que tenha o mesmo valor para essa entrada, assim como os mesmos valores para as derivadas parciais.
Escrita com vetores, é assim que a função de aproximação fica:
$L_{f} (x) = \underset{Constante}{\underset{⏟}{f (x_{0})}} + \underset{Vetor constante}{\underset{⏟}{\nabla f (x_{0})}} \cdot \overset{x é a variável}{\overset{⏞}{(x - x_{0})}}$ ‍
Isso é chamado de aproximação linear de $f$ ‍ próximo de $x_{0}$ ‍.

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