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Conteúdo principal

Planos tangentes

Assim como a derivada em relação a uma única variável pode ser usada para encontrar retas tangentes a uma curva, derivadas parciais podem ser usadas para encontrar o plano tangente a uma superfície.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

  • Um plano tangente a uma função de duas variáveis f(x,y) é, bem, um plano que é tangente ao seu gráfico.
  • A equação do plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) em um ponto específico (x0,y0) se parece com isto:
    T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)

A tarefa em mãos

Pense em uma função escalar com uma entrada de duas coordenadas, como esta:
f(x,y)=x2y2+3
Intuitivamente, é comum visualizar uma função como essa com seu gráfico tridimensional.
Lembre-se, você pode descrever esse gráfico de maneira mais técnica descrevendo-o como um certo conjunto de pontos em um espaço tridimensional. Especificamente, são todos os pontos definidos por:
(x,y,f(x,y))=(x,y,x2y2+3)
Aqui, x e y podem variar ao longo de todos os números reais possíveis.
Um plano tangente a esse gráfico é um plano que é tangente ao gráfico. Hmmm, essa não é uma boa definição. É difícil de descrever com palavras, então vou apenas mostrar um vídeo com vários planos tangentes diferentes.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Questão chave: como você encontra uma equação que represente o plano tangente ao gráfico da função em um ponto específico (x0,y0,f(x0,y0)), no espaço tridimensional?

Representação de planos como gráficos

Bem, antes de mais nada, quais funções g(x,y) têm gráficos que parecem planos?
Um plano que passa por (2, 2, 2)
Um plano que passa por (2, 2, 2)
A inclinação de um plano em qualquer sentido é constante para todos os valores de entrada, assim as duas derivadas parciais gx e gy teriam que ser constantes. As funções com derivadas parciais constantes se parecem com isso:
g(x,y)=ax+by+c
Aqui, a, b, e c são constantes. Essas são chamadas de funções lineares. Bem, tecnicamente falando elas são funções afins já que funções lineares devem passar pela origem, mas é comum chamá-las de funções lineares de qualquer maneira.
Pergunta: como você pode garantir que o gráfico de uma função linear passa por um ponto particular (x0,y0,z0) no espaço?
Uma forma simples de fazer isso é escrever a nossa função linear como
g(x,y)=a(xx0)+b(yy0)+z0
Verificação de conceito: com g definido dessa forma, defina g(x0,y0).
Escolha 1 resposta:

Escrever g(x,y) dessa forma torna mais claro que g(x0,y0)=z0. Isso garante que o gráfico de g deve passar por (x0,y0,z0):
(x0,y0,g(x0,y0))=(x0,y0,z0)
As outras constantes a e b são livres para serem o que quisermos. Diferentes escolhas para a e b resultam em diferentes planos passando pelo ponto (x0,y0,z0). O vídeo abaixo mostra como esses planos mudam conforme alteramos a e b:
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Equação de um plano tangente

De volta à tarefa em mãos. Nós queremos uma função T(x,y) que represente um plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) em um ponto (x0,y0,f(x0,y0)), então substituímos f(x0,y0) por z0 na equação geral para um plano.
T(x,y)=f(x0,y0)+a(xx0)+b(yy0)
Conforme você altera os valores de a e b, essa equação dará diversos planos que passam pelo gráfico de f no ponto desejado, mas apenas um deles será um plano tangente.
De todos os planos que passam por (x0,y0,f(x0,y0)), aquele tangente ao gráfico de f terá as mesmas derivadas parciais que f. Agradavelmente, as derivadas parciais de nossa função linear são dadas pelas constantes a e b.
  • Tente! Calcule as derivadas parciais da equação de T(x,y) acima.
Portanto, definir a=fx(x0,y0) e b=fy(x0,y0) garantirá que as derivadas parciais de nossa função linear T correspondem às derivadas parciais de f. Bem, pelo menos elas corresponderão à entrada (x0,y0), mas esse é o único ponto que nos importa. Juntando tudo isso, temos uma fórmula utilizável para o plano tangente.
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)

Exemplo: encontrar um plano tangente

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Problema:
Dada a função
f(x,y)=sen(x)cos(y),
encontre a equação para um plano tangente ao gráfico de f acima do ponto (π6,π4).

O plano tangente terá a forma
T(x,y)=fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)+f(x0,y0)
Etapa 1: encontrar as duas derivadas parciais de f.
fx(x,y)=
fy(x,y)=

Etapa 2: resolver a função f, assim como as duas derivadas parciais no ponto (π6,π4):
f(π/6,π/4)=
fx(π/6,π/4)=
fy(π/6,π/4)=

Colocando esses três números na equação geral do plano tangente, você pode chegar à resposta final.
T(x,y)=

Resumo

  • Um plano tangente a uma função de duas variáveis f(x,y) é, bem, um plano que é tangente ao seu gráfico.
  • A equação do plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis f(x,y) em um ponto específico (x0,y0) se parece com isto:
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(xx0)+fy(x0,y0)(yy0)

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