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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 3

Lição 1: Planos tangentes e aproximação linear
Matemática
Cálculo multivariável
Aplicações de derivadas das funções multivariáveis
Planos tangentes e aproximação linear
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Planos tangentes

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Assim como a derivada em relação a uma única variável pode ser usada para encontrar retas tangentes a uma curva, derivadas parciais podem ser usadas para encontrar o plano tangente a uma superfície.

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

  • Um plano tangente a uma função de duas variáveis f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é, bem, um plano que é tangente ao seu gráfico.
  • A equação do plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis em um ponto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se parece com isto:
    T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, y, end color #bc2612, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

A tarefa em mãos

Pense em uma função escalar com uma entrada de duas coordenadas, como esta:
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, minus, x, squared, minus, y, squared, plus, 3
Intuitivamente, é comum visualizar uma função como essa com seu gráfico tridimensional.
Lembre-se, você pode descrever esse gráfico de maneira mais técnica descrevendo-o como um certo conjunto de pontos em um espaço tridimensional. Especificamente, são todos os pontos definidos por:
left parenthesis, x, comma, y, comma, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, comma, y, comma, minus, x, squared, minus, y, squared, plus, 3, right parenthesis
Aqui, x e y podem variar ao longo de todos os números reais possíveis.
Um plano tangente a esse gráfico é um plano que é tangente ao gráfico. Hmmm, essa não é uma boa definição. É difícil de descrever com palavras, então vou apenas mostrar um vídeo com vários planos tangentes diferentes.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
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Questão chave: como você encontra uma equação que represente o plano tangente ao gráfico da função em um ponto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, no espaço tridimensional?

Representação de planos como gráficos

Bem, antes de mais nada, quais funções g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis têm gráficos que parecem planos?
Um plano que passa por (2, 2, 2)
Um plano que passa por (2, 2, 2)
A inclinação de um plano em qualquer sentido é constante para todos os valores de entrada, assim as duas derivadas parciais g, start subscript, x, end subscript e g, start subscript, y, end subscript teriam que ser constantes. As funções com derivadas parciais constantes se parecem com isso:
g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, a, x, plus, b, y, plus, c
Aqui, a, b, e c são constantes. Essas são chamadas de funções lineares. Bem, tecnicamente falando elas são funções afins já que funções lineares devem passar pela origem, mas é comum chamá-las de funções lineares de qualquer maneira.
Pergunta: como você pode garantir que o gráfico de uma função linear passa por um ponto particular left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis no espaço?
Uma forma simples de fazer isso é escrever a nossa função linear como
g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start color #11accd, a, end color #11accd, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, start color #e84d39, b, end color #e84d39, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, z, start subscript, 0, end subscript
Verificação de conceito: com g definido dessa forma, defina g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Escolha 1 resposta:

Escrever g, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis dessa forma torna mais claro que g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, z, start subscript, 0, end subscript. Isso garante que o gráfico de g deve passar por left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis:
left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, g, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
As outras constantes start color #11accd, a, end color #11accd e start color #e84d39, b, end color #e84d39 são livres para serem o que quisermos. Diferentes escolhas para start color #11accd, a, end color #11accd e start color #e84d39, b, end color #e84d39 resultam em diferentes planos passando pelo ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. O vídeo abaixo mostra como esses planos mudam conforme alteramos start color #11accd, a, end color #11accd e start color #e84d39, b, end color #e84d39:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
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Equação de um plano tangente

De volta à tarefa em mãos. Nós queremos uma função T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que represente um plano tangente ao gráfico de uma função f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis em um ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, então substituímos f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis por z, start subscript, 0, end subscript na equação geral para um plano.
T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start color #0d923f, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0d923f, plus, start color #0c7f99, a, end color #0c7f99, left parenthesis, x, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, start color #bc2612, b, end color #bc2612, left parenthesis, y, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis
Conforme você altera os valores de start color #0c7f99, a, end color #0c7f99 e start color #bc2612, b, end color #bc2612, essa equação dará diversos planos que passam pelo gráfico de f no ponto desejado, mas apenas um deles será um plano tangente.
De todos os planos que passam por left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, aquele tangente ao gráfico de f terá as mesmas derivadas parciais que f. Agradavelmente, as derivadas parciais de nossa função linear são dadas pelas constantes a e b.
  • Tente! Calcule as derivadas parciais da equação de T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis acima.
Portanto, definir start color #0c7f99, a, equals, f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #0c7f99 e start color #bc2612, b, equals, f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, end color #bc2612 garantirá que as derivadas parciais de nossa função linear T correspondem às derivadas parciais de f. Bem, pelo menos elas corresponderão à entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, mas esse é o único ponto que nos importa. Juntando tudo isso, temos uma fórmula utilizável para o plano tangente.
T(x,y)=f(x0,y0)+fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)\begin{aligned} \quad \large T(x, y) = \greenE{f(x_0, y_0)} + \blueE{f_x(x_0, y_0)}(x-x_0) + \redE{f_y(x_0, y_0)}(y-y_0) \end{aligned}

Exemplo: encontrar um plano tangente

Invólucro do vídeo da Khan Academy
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Problema:
Dada a função
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, cosine, left parenthesis, y, right parenthesis,
encontre a equação para um plano tangente ao gráfico de f acima do ponto left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis.
O plano tangente terá a forma
T(x,y)=fx(x0,y0)(x−x0)+fy(x0,y0)(y−y0)+f(x0,y0)\begin{aligned} \quad T(x, y) = {f_x(x_0, y_0)}(x-x_0) + {f_y(x_0, y_0)}(y-y_0) + f(x_0, y_0) \end{aligned}
Etapa 1: encontrar as duas derivadas parciais de f.
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Etapa 2: resolver a função f, assim como as duas derivadas parciais no ponto left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 6, end fraction, comma, start fraction, pi, divided by, 4, end fraction, right parenthesis:
f, left parenthesis, pi, slash, 6, comma, pi, slash, 4, right parenthesis, equals
f, start subscript, x, end subscript, left parenthesis, pi, slash, 6, comma, pi, slash, 4, right parenthesis, equals
f, start subscript, y, end subscript, left parenthesis, pi, slash, 6, comma, pi, slash, 4, right parenthesis, equals

Colocando esses três números na equação geral do plano tangente, você pode chegar à resposta final.
T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Resumo

  • Um plano tangente a uma função de duas variáveis f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é, bem, um plano que é tangente ao seu gráfico.
  • A equação do plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis em um ponto específico left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis se parece com isto:
T, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, minus, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, plus, f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, left parenthesis, start color #bc2612, y, end color #bc2612, minus, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

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