Como calcular um plano tangente

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Na aula passada nós vimos como definir uma função cujo gráfico passa por um ponto específico e a orientação você pode especificar de alguma forma. Para fazer isso, nós precisamos das derivadas parciais. Então deixe-me colocar de novo isso aqui, mas agora eu vou colocar em termos mais abstratos. Isso porque eu já coloquei um exemplo bem específico na aula passada. Então, basicamente, se você quer uma função de um plano que passa por um certo ponto, vamos dizer que esse ponto seja (x₀,y₀,z₀), que é um único ponto no espaço, então essa função vai ser igual a “a” que multiplica (x menos x₀). Esse x é dessa variável e esse x₀ é do ponto, e somamos isso com “b”, que multiplica (y menos y₀), e você soma isso com z₀. Basicamente, essa aqui é a função de um plano tangente a um ponto e nessa função nós temos cinco constantes, “a”, “b” e esse z₀. Quando estamos falando de derivadas parciais, quando estamos derivando em relação a x, esse termo vai virar uma constante, e quando derivamos em relação a y, esse aqui também. Se você colocar x igual a x₀, essa parte vai virar zero e se você colocar y igual a y₀, essa aqui vai virar zero, ou seja, quando x₀ é igual x e y₀ é igual a y, tudo isso vai dar zero e sobrar somente z₀. Agora vamos pensar em como encontrar esse plano tangente, mas antes disso, vamos pensar sobre o que é esse ponto, ou seja, como especificar esse ponto. Em vez de especificar quaisquer três números no espaço, você especifica dois, porque tem que ter certeza de que o ponto tem que estar em algum lugar do gráfico. Basicamente, você só precisa especificar a coordenada x, que eu vou colocar como 1, o y, que se você olhar no gráfico parece que é -2, então -2, e a coordenada z obrigatoriamente vai depender de x e de y, portanto ela está em função de 1 e -2. Eu não coloquei aqui, mas a função f(x,y) é igual a 3 menos ⅓x² menos y², e basta você substituir esse ponto na função que terá o ponto no espaço tridimensional que está procurando. Então a função do plano vai ser igual a “a”, que multiplica (x menos x₀), que é 1, então -1, mais “b” que multiplica (y menos y₀), que nesse caso é -2, então menos -2, e ainda precisamos de z₀, e podemos fazer isso substituindo esse ponto nessa função. Fazendo isso, vamos ficar com 3 menos ⅓ que multiplica 1² menos (-2)². Ao resolvermos isso, vamos ficar com -4/3. Então colocamos z₀ aqui, que é -4/3. Nós já temos a nossa função, mas ainda falta descobrir quem é “a” e quem é “b”. O interessante do plano tangente é que a derivada parcial em relação a x deve corresponder ao [plano] da função original. Se olharmos para o gráfico e começarmos a pensar nas derivadas parciais, para descobrir a derivada parcial em relação a x, você deve imaginar o plano se movendo puramente na direção x. Observe que esse plano corta o gráfico em um tipo de curva e qual é a derivada parcial em relação a x nesse ponto? É a inclinação da reta tangente em relação a ele, então é a inclinação da reta tangente a esse ponto aqui. Essa é a derivada parcial em relação a x. Quando observa o plano tangente, você consegue ver que ele tem a mesma inclinação, ou seja, a mesma inclinação dessa reta tangente. Então, para achar a constante “a”, basta você encontrar a derivada da função em relação a x no ponto (1,-2) e para encontrar a constante “b”, como podemos fazer? Deixe-me mostrar isso aqui no gráfico. Deixe-me apagar essa linha, e vamos ver como é o movimento na direção y. Note que parece uma inclinação muito íngreme à direita, isso porque a reta tangente a esse ponto está bem inclinada, e então esse plano tangente deve cruzar com o plano quando x é constante. Mas, basicamente, a reta tangente cruza esses dois planos. Enfim, eu não vou entrar em muitos detalhes agora, mas o que eu quero que você saiba é que “b” é a mesma coisa que a derivada parcial de f em relação a y no ponto (1,-2). Então, mãos à obra, vamos calcular essas derivadas parciais. Deixe-me descer aqui um pouco e vamos começar pela derivada de f em relação a x. Com isso, todo o termo que não tiver x vai ser tratado como constante e a derivada de constante é zero, portanto a derivada de 3 vai ser zero e a derivada de y² também vai ser zero, o que nos diz que só precisamos derivar esse -⅓ vezes x². Fazendo isso com a regra da potência nós vamos ficar com -⅔ vezes x. Substituindo esse ponto, nós vamos precisar somente do x, ou seja, vamos considerar x igual a 1 e ficar com -⅔ vezes 1, que é igual a -⅔. Para calcular “b”, precisamos da derivada de f em relação a y. Isso significa que qualquer termo que não tiver y vai ser tratado como constante. Então isso aqui vai ser zero, isso aqui também e a derivada de -y² é igual a -2y. Substituindo esse ponto, vamos considerar y igual a -2 e vamos ficar com -2 que multiplica -2, que é igual a 4, ou seja, a derivada parcial de f em relação a x é igual a -⅔ e a derivada parcial de f em relação a y é igual a 4. Ou seja, o “a” é igual a -⅔ e "b" é igual a 4. Pronto, conseguimos a lei de definição completa para o plano tangente. Enfim, isso parece bem complicado, mas com o tempo você vai se acostumando. Se olharmos no nosso gráfico, veremos que isso até faz sentido, porque cada um desses termos tem um significado real. -2 está nos dizendo a entrada e nos ajuda a encontrar a coordenada z, que nos dá o gráfico correspondente a esse ponto. Para obter esse plano tangente, você vai precisar das derivadas parciais, e isso vai mostrar como o gráfico deve ser orientado. Quando você começa a pensar geometricamente nessas coisas, cada um desses cinco números que temos que inserir na função parecem mais claros, ou seja, olhar geometricamente para a função faz você pensar "Espere, cada um desses termos tem a sua importância, não é?" Mas, enfim. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!