Como controlar um plano no espaço

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Neste vídeo vamos falar sobre como encontrar o plano tangente ao gráfico e acredito que o primeiro passo para isso seja entender como controlar o plano em três dimensões. Então temos desenhado aqui um ponto vermelho, que representa o ponto em três dimensões. As coordenadas desse ponto são (1,2,3). A coordenada x é 1, a coordenada y é 2 e a coordenada z é 3. Depois, eu tenho um plano que atravessa isso. O objetivo deste vídeo é achar uma função, que neste caso eu vou chamar de L, que recebe uma entrada bidimensional (x,y) e essa função deve ter esse plano como seu gráfico. Agora, a primeira coisa para se notar é que tem diversos planos que poderiam estar passando por esse ponto e, neste momento, é um que tem esse tipo de ângulo e está indo em uma direção. Porém, você pode dar diferentes direções e conseguir outros diversos planos, e todos eles iriam passar por esse mesmo ponto. Então precisamos saber o jeito de distinguir o plano em que estamos olhando dos outros possíveis planos que poderiam atravessar. Conforme trabalhamos nisso, você vai ver como isso é feito em termos de derivadas parciais. Agora, enquanto pensamos em qual fórmula poderia ser, vamos ver as propriedades que isso tem. A primeira propriedade é que o gráfico realmente passa pelo ponto (1,2,3) e o que isso significa, em termos de funções, é que se você calcular isso no ponto (1,2), par de entrada, em que x é 1 e y é 2, isso seria igual a 3. Realmente deve ser igual a 3, porque isso está te dizendo que quando você for até x igual a 1 e y igual a 2 e perguntar a altura acima desse ponto, essa será a coordenada z. Esse é o primeiro fato que levamos em consideração. Depois pensamos o que cria esses planos, o que faz esses gráficos planos serem diferentes dos gráficos curvos que se encontram na função multivariável. Minha ideia aqui vai ser cruzar isso com outro plano, plano este que é constante e tem y igual a 2. Você pode pensar nisso como uma representação do que o movimento na direção x se parece. Conforme nos movemos na direção x, é como se tivesse uma inclinação aqui. Os dois planos se cruzam ao longo de uma linha. Uma das características cruciais de um plano é que se cruzá-lo com outro plano, você consegue uma linha reta, significando que a inclinação é constante conforme você move na direção. Porém, também é constante essa mesma inclinação caso fosse movida na direção y. Se tivéssemos pego um plano diferente, como y igual a 1, que parece com isso, teríamos uma linha com a mesma inclinação. Não importa qual o valor da constante de y você escolha, será sempre cruzando com esse plano. Agora, se você olhar lá atrás no vídeo de derivadas parciais, e, em particular, em como interpretar a derivada parcial de uma função em relação a seu gráfico, isso vai dizer para você que quando pegamos a derivada parcial de L em relação a x, porque y constante significa que você está movendo na direção x, isso significa que isso será um tipo de constante, um tipo de constante “a”. Eu vou deixar enfatizado que é uma constante aqui. Isso também vale para outras direções. Digamos que ao invés de cruzar isso com valores constantes de y, agora será x igual a 1. Neste caso, o que você consegue é uma outra linha reta, já que está cruzando isso com um plano. Os dois planos estão cruzando ao longo de uma linha reta, o que significa que, conforme você move na direção y, essa inclinação não irá mudar. Mas isso também na direção x, caso você imagine cortando isso em vários planos separados, representando diferentes valores constantes de x. E você também conseguiria uma linha com a mesma inclinação. Isso está nos dizendo um fato muito importante: agora, a derivada parcial de L em relação a y você está movendo na direção y e é igual a alguma outra constante, que eu vou chamar de “b”. Neste momento, tenha em mente que essas são afirmações muito importantes porque a derivada parcial de L em relação a x é uma função, uma função de x e y. Eu vou deixar isso enfatizado aqui também, que a derivada parcial de x em relação a y é algo que você calcula em um ponto no espaço bidimensional e que isso é igual a algum tipo de constante. Continuando, isso tudo é bem legal porque, basicamente, está nos dando o controle sobre a função em todos os possíveis pontos de entrada para o movimento em alguma direção especificada. O mesmo acontece aqui. Isso está nos dizendo que a função é constantemente igual a algum valor “b” e não sabemos qual é o valor de “b”, mas geometricamente podemos estimar o que isso seria. Então se tirar esse plano que representa o valor de constante de y, qual a inclinação? Veja: estamos movendo na direção x, temos um valor constante de y, mas qual é a inclinação em que este plano intercepta nosso gráfico? Eu iria estimar que seria em volta da inclinação de 2. Você move sobre 1 e sobe 2. Assim, o que isso vai te dizer é que isso é aproximadamente igual a 2. De forma semelhante, se olhar no valor constante x e disser que representa o movimento na direção y, perguntando a inclinação, para mim parece 1 como inclinação. Você move sobre uma unidade e sobe uma unidade. Então direi aqui embaixo que o valor constante da derivada parcial em relação a y é aproximadamente 1. Temos aqui três diferentes fatos: o valor da função no ponto (1,2), o valor da sua derivada parcial em relação a x em todas as partes e a derivada parcial em relação a y e também em todas as partes. Essa informação vai ser o suficiente para nos dizer qual a função como um todo. Agora, especificadamente, essa ideia em que a derivada parcial em relação a x é constante, ela nos diz que a função de L(x,y) será igual a 2 vezes x mais algo que não tem x, algo que, no que diz respeito a x, é constante, porque a única coisa cuja derivada é em relação a x é a constante 2, igual acontece aqui. Se a parcial em relação a y é uma constante, toda a função parece com uma constante, pelo menos do que diz respeito a y. Uma vez que trazemos y será 1 vez y, mais algo que é constante quando se refere a y. Essa parte já é constante no que diz respeito a y, então qualquer coisa que eu vá colocar aqui precisa ser uma constante quando diz respeito a x e y. Assim, essa parte vai ser literalmente uma constante, então eu vou por “c” representando isso. Você pode ver que isso é uma propriedade bem restritiva na nossa função porque o único lugar em que nosso x pode aparecer é nesse termo linear e isso também vale para y. Quando eu uso a palavra "linear", você pode interpretar dizendo que o termo x aparece sem o expoente ou há algo peculiar acontecendo com ele. É somente x vezes uma constante. Isso é ao que me refiro quando digo linear. Existem denominações mais precisas em outros contextos, mas sobre essa situação você pode pensar como variável vezes uma constante. Continuando, a questão aqui é o que esse “c” deveria ser. Você pode imaginar que, baseado nessa propriedade e no ponto (1,2), podemos, de forma única, determinar o “c”. Você pode colocar x igual a 1 e y igual a 2. Sabendo que isso é igual a 3, resolvemos sobre “c”. Podemos resolver isso desse jeito, mas eu vou fazer isso de um jeito um pouco mais conveniente. Eu vou fazer como que uma mudança onde as constantes aparecem e vou dizer que toda a função deve ser igual a 2 vezes uma constante, que eu vou pôr como x. E ainda vou dizer que é x menos 1. Farei a mesma coisa com y, só que será mais 1. Aqui está a derivada parcial em relação a y, y menos 2. Veja que isso não muda a informação de derivada parcial. Se pegar a derivada parcial em relação a x, ainda seria 2, e para y ainda seria 1. Porém, a razão de eu colocar isso aqui é porque vamos calcular isso no ponto (1,2), então quero fazer com que isso pareça o mais fácil possível de se calcular. Daí, a partir daqui, vou adicionar uma outra constante. Então ao invés de “c”, já que será um pouco diferente, será “k”. A ideia é que só estou movendo ao redor das constantes, e caso tenha pensado em distribuir a multiplicação por aqui, ficando com 2 vezes -1 e 1 vezes -2, você só iria mudar o que a constante no final seria. Agora, a parte importante do porquê de eu estar escrevendo desse jeito, que é o único um pouquinho diferente, é porque, quando eu calcular isso pelo L(1,2), toda essa primeira parte se cancela pois colocar x igual a 1 significa que toda essa parte é zero. O mesmo com a segunda parte, já que quando colocar y igual a 2, essa parte vai a zero. Assim, essa constante que está no final vai especificar para nós o que acontece quando calculo isso no ponto (1,2). E claro, queremos que seja assim. Quando calculamos em (1,2), conseguimos 3. Isso me diz que essa constante k deve ser igual a 3. Note que o jeito que escrevi essa função é bem útil. Temos muito controle sobre tudo e esse termo 2 está dizendo a inclinação em relação a x. Então, quando você move puramente na direção x, como está ilustrado aqui, isso diz para nós a inclinação em relação a x. Depois, esse termo 1 está nos dizendo a inclinação em relação a y. Então, quando movemos puramente na direção y, ele irá nos dizer a inclinação. Podemos simplesmente virar tudo se mudarmos 2 e 1. Isso vai permitir que nós mudemos as inclinações do plano. Eu digo "inclinações", no plural, porque é em relação à direção (ax,y). Isso dá o controle de várias planos diferentes que atravessam. Então, se eu estou olhando neste aqui, o movimento na direção y é bem superficial. Então seria tornar isso menor. Portanto, ao invés de 1, talvez seria o ponto (0,1). E se eu estiver olhando o movimento na direção x, Isso seria aparentemente negativo, então seria algum tipo de número negativo. Podemos simplesmente ficar mexendo nesses lugares, e isso muda os diversos planos que atravessam o mesmo ponto. E assim esse 1, 2, 3 dirá para nós qual ponto estamos especificando. Estamos, basicamente, falando aqui que quando a sua entrada x é igual a 1 e sua entrada y é igual a 2, tudo isso será igual a 3. Quero que você lembre disso no próximo vídeo, dessa ideia de escrever as coisas desse jeito, onde você específica o ponto que está sendo atravessado com as coordenadas (x,y,z) e então você vai conseguir mexer na inclinação utilizando esses coeficientes. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!