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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 3
Lição 1: Planos tangentes e aproximação linearAproximação linear
Uma "linearização local" é a generalização de funções de plano tangente. Uma que pode ser aplicada a funções de múltiplas variáveis com qualquer número de entradas. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nas aulas passadas nós vimos
uma função com duas entradas e vimos como encontrar
o plano tangente ao seu gráfico. Para isso, você encontra
algum tipo de ponto de entrada, que podemos colocar como x₀ e y₀, e precisa encontrar uma nova função,
uma função chamamos de L(f). Você quer encontrar o gráfico dessa função
para ser um plano tangente ao gráfico. Essa função é chamada
de linearização local. O que isso significa? Local significa que você está olhando
para um ponto de entrada específico. Nesse caso, o ponto de entrada
específico é x₀ e y₀. E o que significa linearização? Significa que você está se aproximando da função
com algo mais simples, com algo mais linear. Eu já vou explicar melhor
essa ideia de linearização. Mas o que eu quero mostrar aqui é que isso ajuda a representar
uma função muito complicada, ajuda a simplificar. Basicamente, nós utilizamos derivadas parciais
constantes para representar essa função. Nesta aula eu vou mostrar como escrever
essa função na forma vetorial, que é algo mais
ácil de se lembrar, porque você só vai utilizar
essas duas variáveis como entrada. Lembrando das aulas passadas, a fórmula de linearização local era a derivada
parcial em relação a x no ponto (x₀,y₀) que multiplica (x menos x₀) e você soma isso com a derivada de f
em relação a y no ponto (x₀,y₀) e multiplica por (y menos y₀)
e soma isso com f(x₀,y₀). Uma coisa importante: quando substitui
esse ponto aqui na função, você vai ter x₀ menos x₀,
que vai dar zero, e vai ter y₀ menos y₀,
que vai dar zero. Portanto, esse termo vai sumir
e esse aqui também, e vamos ficar com f(x₀,y₀). É isso que garante
a sua linearização. Na verdade, é a própria função f
no ponto específico. O que eu quero dizer é que cada vez mais
que você estiver se aproximando desse ponto, isso aqui vai se aproximar de zero
e isso aqui também. E o que significa a palavra linear? A palavra linear tem um
significado muito importante, principalmente se estivermos
falando de álgebra linear. Basicamente, o termo linear vem porque não tem
nada de especial acontecendo com esse x, ou seja, ele está sendo multiplicado
por uma constante e nesse y também: não tem um quadrado,
não tem uma raiz quadrada, ele é um termo linear. Claro que tem uma explicação
mais técnica para a palavra linear, mas nesse momento vamos ficar
com essa ideia intuitiva. Cada uma dessas variáveis está
sendo multiplicada por uma constante e não tem nenhum termo
especial nelas, por isso elas são lineares. OK, agora vamos aprender a descrever
essa função em termos de vetores. A primeira coisa que temos que fazer
é transformar essa entrada em vetores. Então nós colocamos um vetor
com os componentes [x,y] e eu vou chamar esse vetor de vetor X, mas eu vou destacar bastante para
você não confundir com a variável x. Nós também podemos colocar a entrada
na qual estamos nos aproximando, que tem os componentes x₀ e y₀. O interessante de transformar isso
em vetor é que, por exemplo, se tem uma entrada aqui com uma,
duas, três, quatro, cem variáveis, você pode escrever esse vetor
com cem componentes. Fica mais fácil de escrever
como um vetor. Agora, vamos olhar para esses
dois primeiros termos da nossa linearização. Podemos pensar nisso
como um produto escalar e aqui também tem
um produto escalar, então podemos escrever isso como
uma matriz com as derivadas parciais e ambos são avaliados em x₀. Eu estou destacando bem para mostrar que isso é
um vetor que contém duas variáveis diferentes. Multiplicamos isso pela matriz que
contém esse termo, ou seja, (x menos x₀), e esse outro termo,
que é (y menos y₀). Podemos simplificar ainda mais. O vetor que contém as derivadas
parciais é o vetor gradiente. Se você não lembra dele, eu sugiro que você dê uma revisada
nas aulas da Khan Academy. Mas vamos lá. Ele é escrito com um delta de cabeça
para baixo, ∇f, na entrada x₀ e no segundo termo, basicamente,
você tem (x menos x₀) e (y menos y₀), ou seja, você está pegando a entrada,
o vetor variável x, e está subtraindo por
algum tipo de constante. Basicamente, você está pegando
este vetor e subtraindo por esse. Assim você tem um produto escalar com esse
aqui sendo um vetor com um componente e esse aqui sendo um vetor
com dois componentes. O interessante em escrever isso
é que você simplifica bastante. Por exemplo, você pode ter cem entradas
e ainda ter essa mesma forma. A única coisa que teria que fazer
é expandir os componentes do vetor, mas é muito mais fácil
escrever assim do que assim. Quando realizar esse produto escalar,
você vai chegar nisso. Mas, claro, ainda falta
esse termo aqui. Ele significa que queremos avaliar
a função no ponto de entrada, ou seja, mais f(x₀). Nós o chamamos de termo constante, e esse produto escalar
de termo linear. Claro, mais tarde nós vamos começar
a adicionar coisas mais complicadas, como termos quadráticos, enfim, outras coisas que vão tornar a fórmula
um pouco mais complicada. Mas o que eu quero dizer é que geralmente você vai ver esse
tipo de expressão para a linearização local e o interessante é que o único lugar
que vai aparecer uma constante é aqui porque quando você avaliar a função nessa entrada,
o resultado vai dar uma constante e o vetor gradiente nessa entrada
também vai dar uma constante. Outra coisa também interessante é que
quando você terminar de calcular tudo isso, talvez encontre algo mais simples,
até mesmo do que a função f, e assim fica mais fácil
de calcular as coisas. Quem sabe você não esteja escrevendo um programa
no qual tenha que lidar com uma função complicada, e o tempo de execução
se torna um problema. Mas quando você aproxima o ponto
e aproxima o seu gradiente, isso ajuda a aproximar toda a função
para perto desse ponto. Se quiser ver mais alguns
exemplos dessa aproximação, você pode dar uma olhada
nos textos da Khan Academy. Tem bastante coisa legal lá. Eu espero que essa aula
tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!