O que é um plano tangente

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Neste vídeo, vamos falar sobre os planos tangentes ao gráfico. Dessa vez será somente essa definição porque em um contexto diferente pode ser que você esteja pegando, por exemplo, o plano tangente a uma superfície parametrizada. O nosso foco aqui são os gráficos. Em um universo de uma variável só, onde está a linha tangente? Como achar a curva da linha tangente em um dado ponto? Você pega a função dessa tangente e ela vai dar diversas informações de como, digamos assim, aproximar a função ao redor do ponto. Até aí, tudo bem. Isso indo, agora, para os cálculos multivariáveis, acaba não sendo muito diferente, nem mesmo na interpretação geométrica. Você tem o gráfico de uma função, como esse que eu tenho aqui, e em vez de ter uma linha tangente, já que a linha é unidimensional, e temos uma superfície bidimensional, temos um tipo de plano tangente, e isso está quase tocando o gráfico da mesma forma que a linha tangente quase toca o gráfico da função nessa circunstância unidimensional. Isso poderia ser em vários pontos diferentes, em vez de somente um. Poderia simplesmente mover-se por aí e dizer que está quase tocando. Para encontrar o plano tangente, primeiro pense na entrada que você quer, e como no caso de uma variável, você se pergunta aqui qual o valor de entrada. Vamos nomear aqui como x₀ e depois vamos achar o gráfico da função que corresponde a isso. Ou seja, a que esteja quase tocando neste ponto de entrada. Aqui na situação multivariável você vai escolher um ponto de entrada como ponto vermelho. Ele não precisa necessariamente estar aqui onde coloquei, pode ser em qualquer outro lugar. Uma vez que decidiu o ponto de entrada que quer, você consegue vê-lo no gráfico e pode dizer que o ponto no gráfico é correspondente a tal e tal altura. Neste caso parece que o gráfico é em volta de zero no ponto, então a saída da função seria zero. O que você quer aqui é o plano que está tangente àquele ponto. Então você desenha um tipo de plano que é tangente àquele ponto. Ao se aprofundar um pouco mais, pensando nesse ponto interno, vemos que ele não corresponde à variável de única entrada x₀, como seria no caso de uma variável só. Em vez disso, o ponto vermelho que você está vendo é que corresponde a uma entrada, e y₀. O nosso objetivo definitivo aqui em nossa circunstância multivariável é encontrar uma nova função, chamando-a de L, e ela vai receber x e y. Eu quero que o gráfico dessa função seja esse plano. É legal especificar aqui que é dependente do ponto de entrada. Mas, basicamente, vamos procurar pela função na qual esse gráfico é tangente em dado ponto. Nos próximos vídeos vamos falar sobre como calcular isso. Parece um pouco intimidador de primeira, porque como vamos controlar um plano em três dimensões? É semelhante à circunstância de uma variável só, mas um passo de cada vez. E é isso, pessoal. Eu espero que tenham aprendido e até a próxima!