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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 3
Lição 1: Planos tangentes e aproximação linearO que é um plano tangente
O "plano tangente" do gráfico de uma função é, bem, um plano bidimensional que é tangente a esse gráfico. Aqui você pode ver como isso se parece. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, pessoal!
Tudo bem? Neste vídeo, vamos falar
sobre os planos tangentes ao gráfico. Dessa vez será somente essa definição
porque em um contexto diferente pode ser que você esteja pegando, por exemplo,
o plano tangente a uma superfície parametrizada. O nosso foco aqui são os gráficos. Em um universo de uma variável só,
onde está a linha tangente? Como achar a curva da linha
tangente em um dado ponto? Você pega a função dessa tangente e ela vai dar diversas informações
de como, digamos assim, aproximar a função ao redor do ponto. Até aí, tudo bem. Isso indo, agora, para os cálculos multivariáveis,
acaba não sendo muito diferente, nem mesmo na interpretação geométrica. Você tem o gráfico de uma função,
como esse que eu tenho aqui, e em vez de ter uma linha tangente,
já que a linha é unidimensional, e temos uma superfície bidimensional,
temos um tipo de plano tangente, e isso está quase tocando o gráfico da mesma forma que a linha tangente quase toca
o gráfico da função nessa circunstância unidimensional. Isso poderia ser em vários pontos diferentes,
em vez de somente um. Poderia simplesmente mover-se por aí
e dizer que está quase tocando. Para encontrar o plano tangente,
primeiro pense na entrada que você quer, e como no caso de uma variável, você
se pergunta aqui qual o valor de entrada. Vamos nomear aqui como x₀ e depois vamos achar o gráfico
da função que corresponde a isso. Ou seja, a que esteja quase tocando
neste ponto de entrada. Aqui na situação multivariável você vai escolher
um ponto de entrada como ponto vermelho. Ele não precisa necessariamente
estar aqui onde coloquei, pode ser em qualquer outro lugar. Uma vez que decidiu o ponto de entrada
que quer, você consegue vê-lo no gráfico e pode dizer que o ponto no gráfico
é correspondente a tal e tal altura. Neste caso parece que o gráfico
é em volta de zero no ponto, então a saída da função seria zero. O que você quer aqui é o plano
que está tangente àquele ponto. Então você desenha um tipo de plano
que é tangente àquele ponto. Ao se aprofundar um pouco mais,
pensando nesse ponto interno, vemos que ele não corresponde
à variável de única entrada x₀, como seria no caso de uma variável só. Em vez disso, o ponto vermelho que você está vendo
é que corresponde a uma entrada, e y₀. O nosso objetivo definitivo aqui
em nossa circunstância multivariável é encontrar uma nova função, chamando-a de L,
e ela vai receber x e y. Eu quero que o gráfico dessa função
seja esse plano. É legal especificar aqui
que é dependente do ponto de entrada. Mas, basicamente, vamos
procurar pela função na qual esse gráfico
é tangente em dado ponto. Nos próximos vídeos vamos falar
sobre como calcular isso. Parece um pouco intimidador de primeira, porque como vamos controlar
um plano em três dimensões? É semelhante à circunstância de uma variável só,
mas um passo de cada vez. E é isso, pessoal. Eu espero que tenham aprendido
e até a próxima!