Teorema da divergência em 2D

Agora que sabemos um pouco como construir um vetor unitário normal à qualquer ponto em uma curva.. Isso é o que nós fizemos no último vídeo Eu quero começar a explorar algumas expressões interessantes. Então, a expressão é: "Uma pedaço de linha com um círculo fechado", vamos entrar no contador positivo no Sentido horário de um campo do vetor F dotado com o vetor unitário normal a qualquer ponto sobre a curva ds (Vou escrever ds na cor magenta) ds. Então, primeiramente, vamos conceitualizar o que isso está dizendo e então vamos manipulá-lo um pouquinho para ver se podemos apresentá-lo com uma conclusão interessante. Nós, de fato, vamos manipulá-lo vamos usar o teorema verde e nós vamos apresentá-lo em uma versão bidimensional do teorema divergente Tudo parece muito complicado mas ainda bem que podemos usar um pouco de intuição para isso, à medida que o porquê de tudo é, na verdade, um pouco de senso comum. Então, primeiro, vamos apenas pensar sobre isso. Deixe-me desenhar um plano cartesiano aqui Vamos fazê-lo em branco Então esse daqui é o nosso Eixo Y e logo aqui está o nosso Eixo X Deixe-me desenhar a curva, que deveria se parecer algo assim. Vou desenhá-la em azul Então, minha curva deveria parecer algo assim... Meu contorno... e ela está indo positivamente, no sentido anti-horário Assim e agora que temos o campo do vetor, apenas um lembrete: Nós vimos isso inúmeras vezes O campo do vetor vai se associar a um vetor em qualquer ponto sobre o plano X-Y e ele vai... Ele pode ser definido como uma função de X e Y, a qual eu vou chamar de P Uma função de X e Y dá o momento do vetor unitário "i" então ele diz o que o componente "i" do campo do vetor é para qualquer ponto em X e Y e então o que o componente "j", ou pelo que multiplicarmos o componente "j" Ou a componente vertical por qualquer ponto em X e Y Algumas funções de X e Y dão o momento de "i" Mais algumas outras funções escalares de X e Y dão o momento de "j" E então se eu tiver qualquer ponto haverá um vetor associado à ele Qualquer ponto alí é um vetor associado dependendo como nós definimos essa função. Mas nessa expressão aqui Nós estamos pegando um pedaço de linha... Nós estamos cuidando especificamente dos pontos durante essa curva ao longo do contorno bem aqui. E então vamos pensar sobre como isso está de verdade Esse pedaço aqui está nos contando. Antes de nós resumirmos todos esses infinitos pequenos pedaços... Se nós pegarmos F vezes N Vamos pensar em um ponto na curva Então o ponto nessa curva deveria ser aqui Associando com aquele ponto existe um vetor que é o que o campo do vetor faz Então F deveria parecer algo como isso daqui Isso deveria ser F naquele ponto e vamos multiplicá-lo com um vetor unitário normal naquele ponto Então o vetor unitário normal deveria parecer algo assim que seria uma cobertura N nesse ponto Esse é o campo do vetor naquele ponto