Teorema da divergência em 2D

RKA2JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil! Neste vídeo, vamos conversar sobre o teorema da divergência em duas dimensões. Para começar a conversar sobre isso, vamos relembrar que, antes, aprendemos um pouco sobre como construir um vetor normal unitário em qualquer ponto de uma curva. Inclusive, foi isso que fizemos no último vídeo. Agora eu quero começar a explorar uma expressão interessante. Eu vou escrever aqui a integral de linha em torno de um caminho fechado e vamos definir que a orientação positiva está no sentido anti-horário. Nós vamos nos movimentar nesse sentido. Aí, esta integral do produto escalar entre uma função F com vetor normal unitário em qualquer ponto dessa curva. Ah, e colocamos o ds aqui, também. A primeira coisa a fazer é conceituar isto que eu estou fazendo aqui e tentar compreender o que isso está me dizendo. Sendo assim, vamos manipular esta expressão um pouco para ver se podemos chegar a uma conclusão interessante. Para isso, eu vou usar o teorema de Green e aí vamos chegar a uma versão bidimensional do teorema da divergência, o que parece muito complicado, mas eu espero que a gente consiga fazer isso e que você consiga compreender. Vamos pensar sobre isso aqui. Eu vou desenhar um plano de coordenadas. Aqui está o eixo Y e aqui está o eixo X. Eu vou desenhar a curva também. A curva pode ser mais ou menos assim. Meu contorno está se movimentando de forma positiva no sentido anti-horário, deste jeito. Agora, temos o nosso campo vetorial. E, apenas como um lembrete, que inclusive já vimos isso várias vezes, o campo vetorial vai associar a um vetor com qualquer ponto no plano XY. E ele pode ser definido como alguma função de (x, y). Na verdade, eu vou chamar isto de P. Alguma função de (x, y) vezes o vetor unitário i^. Isso indica a forma da componente "i" do campo vetorial para qualquer ponto (x, y). Também precisamos da nossa componente "j". Então, colocamos algum fator de (x, y) que vai multiplicar a componente "j". Ou seja, que vai multiplicar a componente vertical para qualquer ponto (x, y). Sendo assim, temos alguma função de (x, y) vezes i^, mais alguma outra função escalar vezes j^. Com isso, se você me der algum ponto, qualquer ponto, há um vetor associado, dependendo de como definimos essa função. Mas, nesta expressão aqui, estamos calculando uma integral de linha. Sendo assim, nos preocupamos especificamente com os pontos ao longo desta curva, ao longo deste contorno aqui. Sendo assim, vamos pensar sobre o que isso está nos dizendo antes de pegar coisas infinitesimalmente pequenas. Vamos pegar aqui o F escalar n. E eu vou pensar sobre um ponto nesta curva. Um ponto nesta curva que talvez seja este ponto, bem aqui. Como vimos, associado a este ponto há um vetor. E é isso que o campo vetorial faz. F pode se parecer com algo assim neste ponto. Este é o campo vetorial neste ponto. Não podemos esquecer que temos um produto escalar entre F e o vetor normal unitário naquele ponto. Sendo assim, podemos representar aqui também o vetor normal unitário, que pode ter esta forma. É bom relembrar aqui que, quando calculamos o produto escalar, a gente obtém uma quantidade de escalar. A gente, essencialmente, obtêm um número. Inclusive, você deve se lembrar disso. Eu já fiz alguns vídeos sobre isso, onde realizamos um detalhamento melhor. Mas, de uma forma resumida, eu posso te dizer que esse produto escalar nos diz quanto estes dois vetores caminham juntos. É importante pensar nisso porque, se eles são completamente ortogonais um em relação ao outro, isto vai ser igual a zero. Mas, se eles estão na mesma direção e sentido, basta você multiplicar os módulos deles dois. Como temos um vetor unitário aqui, o que vamos fazer é obter o quanto, em módulo, do campo vetorial F que vai na direção normal. Então, você pode pensar dessa forma. Sabendo isso, vamos pensar sobre a componente deste vetor que está na direção normal. Inclusive, eu acho legal escrever isso aqui. Isto corresponde ao módulo da componente de F que está na direção normal, ou na mesma direção que o vetor normal unitário. Aí, multiplicamos isso com um comprimento infinitamente pequeno do nosso contorno, da nossa curva em torno deste ponto. Então, vamos multiplicar com isto aqui. Eu sei que você pode ter compreendido o que eu estou dizendo, mas como isso pode ser fisicamente relativo? Ou de que forma podemos pensar no que esta expressão está realmente medindo? Para pensar nisso, eu sempre visualizo tudo isto em duas dimensões. No futuro também vamos ver isso em três dimensões, mas, por enquanto, vamos visualizar um universo bidimensional em que estamos estudando, por exemplo, gases. Vamos supor que a gente tenha várias partículas em um universo bidimensional, de forma que a gente tem apenas as coordenadas "x" e "y". Este campo vetorial está essencialmente dizendo a você a velocidade em qualquer ponto nesta região. Então, isto aqui, nesse exemplo, indica a velocidade das partículas de um gás em um determinado ponto. Ou, como estamos falando do nosso vetor normal, isso indica o quão rápido as partículas desse gás estão saindo neste ponto. Com isso, ao resolver esta integral, saberemos o quão rápido as partículas estarão saindo deste contorno. Isso, claro tendo um valor positivo, mas a gente pode encontrar um valor negativo também. Como estamos considerando que o vetor normal unitário está orientado para fora e o resultado da integral está nos dizendo o quão rápido as partículas estão saindo deste contorno, se a gente tiver um valor negativo, isso significaria dizer que existe alguma entrada de partículas. E o resultado da integral nos diria a velocidade com a qual as partículas estão entrando nesta região. Bem, toda esta expressão não precisa, necessariamente, ter uma representação física. Mas, usando essa analogia do gás, isso nos diz o quão rápidas são as partículas, o quão rápido as partículas de um gás bidimensional estão saindo do contorno. No futuro, vamos fazer isso em três dimensões, onde teremos uma superfície. E aí vamos terminar o quão rápido as coisas estão saindo dessa superfície. Enfim, agora que já temos uma compreensão conceitual do que isso poderia representar, vamos brincar com isso um pouco, principalmente porque já sabemos como definir um vetor normal. Vamos reescrever esta integral usando o que sabemos sobre como construir um vetor normal. Reescrevendo esta integral, temos aqui a integral sobre esta curva do campo vetorial F escalar o vetor normal. A gente pode escrever o vetor normal desta forma. Vimos que o vetor normal é dy vezes i^, menos dx vezes j^, e tudo isso dividido pelo módulo, que neste caso é o ds. Para tornar um vetor unitário, encontramos aqui o módulo de ds calculando a raiz quadrada de (dx² + dy²), que é a mesma coisa que este pequeno comprimento aqui do contorno. Sendo assim, vamos dividir isto por ds e aí multiplicamos isto por ds. O ds é um escalar. Como temos um ds aqui e um ds aqui, podemos cancelar um com o outro. Sendo assim, ficamos apenas com o produto escalar entre F e esta diferença entre dy i^ e dx j^. Para melhor visualizar isso, eu vou reescrever esta integral. Eu coloco aqui a integral de linha, lembrando que estamos integrando no sentido anti-horário, e esta integral vai ser do, vamos calcular este produto escalar que está aqui em cima. Este produto escalar é bem simples. A gente faz o produto das componentes "x" ou, essencialmente, o produto dos módulos das componentes "x". Então, teremos aqui: P(x, y) vezes dy, mais o produto dos módulos das componentes "y", ou das componentes "j". Ou seja, teremos aqui: mais Q(x, y) vezes -dx. Isto vai nos dar menos Q(x, y) vezes dx. Portanto, esta é uma declaração interessante, porque já vimos algo parecido antes, só que sem esta diferença. Eu estou falando do teorema de Green, que inclusive vou reescrever aqui agora. O teorema de Green diz que, se estamos calculando a integral de linha sobre um contorno, Inclusive, existem várias maneiras de escrever isso, mas eu vou colocar aqui da forma que já usamos em vários vídeos. Podemos colocar aqui: M vezes dx + N vezes dy. Esta integral é igual à integral dupla sobre a região que esta linha está contornando. Da parcial do que está ao lado de dy, que neste caso é N. Então, colocamos aqui a parcial de N em relação a "x". E disso nós subtraímos a parcial do que quer que esteja ao lado de dx, ou seja, a parcial de M em relação a "y". Aí poderíamos colocar isto vezes dxdy, ou simplesmente dA, que é o infinitesimalmente pequeno pedaço da área. Então, vou escrever dA aqui. Enfim, isto é apenas uma reafirmação do teorema de Green. Nós já sabemos disso. Agora que revemos isso, como podemos aplicar o teorema de Green a isto que vimos aqui em cima? É a mesma coisa. Mesmo tendo uma diferença aqui, nós podemos aplicar o teorema de Green da mesma forma. Sendo assim, isto é igual à integral dupla sobre a região que este contorno envolve. O que queremos fazer é olhar para qualquer coisa que está sendo multiplicada aqui pelo dy. Neste caso, esta é a função que está sendo multiplicada pelo dy. Aí, calculamos a derivada parcial disto em relação a "x". Então, vamos ter aqui a derivada parcial de P em relação a "x". E aí, isto menos a derivada parcial de tudo aquilo que está sendo multiplicado pelo dx. Neste caso, vamos fazer a derivada parcial disto aqui em relação a "y". Mas temos um negativo, certo? Então, colocamos aqui o menos, a derivada parcial de Q em relação a "y", e aí é multiplicamos isto com o dA. Observe que temos estes dois negativos, ou seja, estamos subtraindo algo que é negativo. Isso faz com que a gente tenha uma adição aqui. Sendo assim, isto vai ser igual à integral dupla sobre a região da, talvez você já consiga saber onde isso tudo aqui vai dar e até ficou um pouco animado ou animada, não é? Mas continuando: aqui vai ser a integral dupla da parcial de P em relação a "x", mais a parcial de Q em relação a "y", vezes dA. Agora, olha para isto aqui: P é a função que estava nos dizendo o módulo na direção "x", e Q estava nos dizendo o módulo na direção "y". Estamos fazendo a parcial disto em relação a "x" e disto em relação a "y". e aí estamos realizando uma adição entre os resultados. Isto é exatamente o divergente de F. Se isso não faz sentido, eu aconselho que você assista a um vídeo sobre divergência. Já tem alguns aqui. Isto aqui é o divergente de F. Então, por definição, este é o divergente do nosso campo vetorial F. Isso é algo muito interessante, afinal, saímos da expressão original e começamos a estudá-la buscando determinar a velocidade com a qual as partículas estão saindo da superfície. E agora que entendemos isso em termos desta expressão, vamos interpretar isso de forma intuitiva. Isto aqui é igual à integral dupla sobre esta região do divergente de F, vezes um infinitesimalmente pequeno pedaço de área, neste caso, dA. Agora, por que isso faz sentido, de forma intuitiva? Para você perceber por que isso faz sentido, basta se lembrar sobre o que é a divergência. A divergência é uma medida que nos diz o quanto as coisas estão se expandindo, divergindo, ou o quanto estão se concentrando, convergindo. Se você tem aqui um ponto e, ao redor desse ponto, as partículas estão meio que se afastando umas das outras, teremos um divergente positivo aqui. Por outro lado, se as partículas estiverem se aproximando umas das outras, teremos um divergente negativo. Observando isso, tudo o que a gente fez aqui faz sentido. Porque, se você pega uma área infinitesimalmente pequena e multiplica isso com o divergente, teremos um número que será somado ao longo de toda essa região. Quanto maior for o divergente, mais coisas estão saindo do limite dessa região. Se você visse isso como o quão rápido as coisas estão saindo da superfície, teremos um fluxo bidimensional, ou seja, se a gente observar a rapidez das coisas saindo da pequena área da superfície, isso vai ser a mesma coisa que a soma de todos os divergentes sobre esta área que o contorno está circundando. Eu espero que isso faça um pouco de sentido para você. Isso é apenas uma outra maneira de pensar sobre o teorema de Green. E isso que acabamos de ver aqui de forma resumida, que é esta expressão da divergência sobre esta região aqui, é a mesma coisa que "F escalar n" sobre o contorno. Ou seja, temos aqui o teorema da divergência de forma bidimensional. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!