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Esclarecimento conceitual do teorema da divergência em 2D

Entendendo a integral de linha como fluxo por meio de uma fronteira. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

o Olá pessoal tudo bem para aula de hoje vamos ver a integral de linha F. Nds e vamos fazer isso porque eu quero que você tinha a concepção correta estudo nessa aula Vamos ser um pouco mais exatos do que vamos fazer e vamos usar unidades para entender todas essas coisas de uma forma bem mais clara e como você já deve ter visto temos aqui o caminho ser e ele segue na direção anti-horária eu teria alguns pontos de exemplo para efe que estão em algum lugar no plano XY e que se associam com vetor bidimensional agora para o ele que é o vetor normal unitário elas apontam para o lado de fora e direção ao vetor unitário em algum de nossos vídeos você já deve ter visto Oeste como uma função de velocidade vetorial e que dado qualquer. Ele retorna a velocidade das partículas E isso não é 100 porcento correto para compreender o que acontece nessa situação a blusa e pegar o conceito correto para esse tipo de fluxo que atravessa a fronteira a taxa de massa que sai da Fronteira precisamos introduzir o aspecto de densidade no efe então na direita superior ou reescrevi oeste como produto de uma função escalar e uma função vetorial a parte instalar é essa onde temos de X Y é uma letra grega normalmente utilizada para representar os tipos de densidade e neste caso é a densidade de massa então dado qualquer ponto XY ele vai no dizer qual a densidade de massa EA densidade de massa vai ser um tipo de massa que está num plano bidimensional Então vai ser massa por área e se queremos algum tipo de unidade específica podemos imaginar isso como quilogramas por metro quadrado e Essa não é a única forma de se visualizar existem Outras aplicações mas eu acho que é mais fácil de se pegar desse jeito agora para outra parte temos a nossa função de velocidade e ela nos diz qual a velocidade das partículas do ponto fornecido e Podemos ver isso tudo como se fossem perguntas por exemplo para a primeira parte quantas partículas você tem dado. Condências essas partículas são já para a segunda qual a velocidade delas e elas vão Em qual direção o essa visão inclusive fica bem mais fácil de se entender essa questão de partes mas como disse antes Esse é o vetor de velocidade vetorial mas não podemos esquecer dos componentes o MX Y é um número de você multiplica ele por um vetor então mdx Y é uma função escalar e ao multiplicar por isso se torna um vetor que dá a velocidade escalar depois para ele digitar e ele também vai dar a velocidade escalar e Dirá a velocidade na direção j o mesmo que acontece com agora para as nossas unidades de velocidade escalar estamos especificamente com m de x y e e esse transcrevemos isso seriam então unidades de distância por tempo para esse exemplo vamos dizer que as unidades são metros por segundo agora vamos pensar nas unidades para essa função como um todo o rodado qualquer XY é somente um número esse distribuímos ele vamos conseguir f e nós não precisamos manter a expressão de f de x y toda vez que formos escrever podemos já presumir F ou m e n são funções de XY Mas foi bem F = ROM vezes e me vezes a unidade vetorial e mais Roses n vezes a unidade vetorial J tchau que conseguimos após a distribuição e agora Surge mais uma dúvida quais são as unidades aqui o que é ROM vezes e me o que vamos conseguiram vamos lá se pegarmos essas unidades vamos ter quilogramas por metro quadrado vezes metros por segundo e a levar isso para o Dimensional o metro no numerador vai se cancelar com um dos metros no denominador e vai sobrar para nós uma coisa meio estranha e neste caso é quilogramas por metro segundo e eu quero que você visualize como se todo esse vetores tivesse uma magnitude em alguma direção e ela nesse caso vai ter essas unidades e depois que pegamos isso fazemos por.no e nos dá somente a direção ele somente nos específica uma direção dado o ponto na curva então ao pegar o produto escalar com ele vamos receber a magnitude de S equivale a direção de n e vai ter as mesmas unidades que f e para ficar ainda mais claro vamos focar em um ponto específico F essa linha e a sua magnitude o seu comprimento vai ser em quilogramas por metro segundo Depois temos o vetor normal e ao pegar o produto escalar você faz a pergunta que é a magnitude que vai só normal e agora ao voltar para parte de cima com essas informações fazemos vezes DS mas aí temos mais uma pergunta quais são as unidades de desce e eu já respondo ela vai ser uma unidade de comprimento neste caso vamos usar metros agora temos quilogramas por metro segundo vezes metros e ao fazer essa multiplicação os métodos vão se cancelar e vamos conseguir algo e começa a fazer mais sentido quilogramas por segundo e isso nos diz o quanto de massa cruza esse pequeno DS a pequena sessão da curva por segundo agora se somarmos com o número infinito desses infinitamente pequenos de heces você vai conseguir o valor dessa integral toda que neste caso vai ser em quilogramas e quilogramas por segundo e elas nos dizem o quanto de massa sai da curva da do. Ou dado o tempo e eu vou reescrever isso aqui para de um pouco mais fixo na cabeça toda a integral df.no xds nos diz a massa que sai da curva por segundo Isso deve ser consistente com outros conhecimentos que você possui sobre o assunto inclusive você já deve ter visto isso em algum de nossos vídeos como equivalente a dupla integral sobre a área de emergência DF a divergência DF depois a parte de cima que é a parcial do componente e em relação a x depois a parte de baixo que é a parcial de p o m em relação a x mais a parcial do componente y n em relação à Y vezes cada pedaço de área agora para o que vão ser as unidades nessa situação sabemos que o m nos dá quilogramas por metro segundo Mas se perdermos a derivada em relação aos métodos novamente a unidade para qualquer um desses vai ser quilogramas por metro segundo por metro e isso é porque pegamos a derivada em relação a outra unidade de e daí vamos ser outro e me no denominador que vai ser a unidade depois você multiplica ele vezes uma área que vai dar metros quadrados depois novamente se cancelam E mais uma vez a parte que você fez a soma vai dar quilogramas por segundo e essa soma é feita através da área que temos e eu realmente espero que isso tenha te dado uma visão melhor de como conceitualizar a função vetorial f e é isso pessoal eu espero que tenha aprendido e até a próxima