Esclarecimento conceitual do teorema da divergência em 2D

RKA2JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Para a aula de hoje, vamos ver a integral de linha F.nds, e vamos fazer isso porque eu quero que você tenha a concepção correta disso tudo. Nesta aula, vamos ser um pouco mais exatos do que vamos fazer e vamos usar unidades para entender todas estas coisas de uma forma bem mais clara. Como você já deve ter visto, temos aqui o caminho C, e ele segue na direção anti-horária. Eu peguei alguns pontos de exemplo para F, que estão em algum lugar no plano XY e que se associam com o vetor bidimensional. Agora, para o "n", que é o vetor normal unitário, elas apontam para o lado de fora, em direção ao vetor unitário. Em algum de nossos vídeos, você já deve ter visto F como uma função de velocidade vetorial e que, dado qualquer ponto, ele retorna a velocidade das partículas. E isso não é 100% correto. Para compreender o que acontece nesta situação que temos em lousa e pegar o conceito correto para esse tipo de fluxo que atravessa a fronteira, a taxa de massa que sai da fronteira, precisamos introduzir o aspecto de densidade no F. Então, na direita superior, eu reescrevi o F como produto de uma função escalar e uma função vetorial. A parte escalar é esta, onde temos de ρ(x, y). "ρ" é uma letra grega normalmente utilizada para representar tipos de densidade, que, neste caso, é a densidade de massa. Então, dado qualquer ponto (x, y), ele vai nos dizer qual a densidade de massa. E a densidade de massa vai ser um tipo de massa que está em um plano bidimensional. Então, vai ser massa por área. Se queremos algum tipo de unidade específica, podemos imaginar isto como kg/m². Esta não é a única forma de se visualizar. Existem outras aplicações, mas eu acho que é mais fácil de se pegar deste jeito. Agora, para a outra parte, temos a nossa função de velocidade vetorial. Ela nos diz qual a velocidade das partículas do ponto fornecido. E podemos ver isso tudo como se fossem perguntas. Por exemplo, para a primeira parte: quantas partículas você tem em dado ponto? Quão densas essas partículas são? Já para a segunda: qual a velocidade delas? E elas vão em qual direção? Com essa visão, inclusive, fica bem mais fácil de se entender essa questão de partes. Mas, como eu disse antes, este é o vetor de velocidade vetorial. Mas não podemos esquecer dos componentes. M(x, y) é um número, e você o multiplica por um vetor. Então, M(x, y) é uma função escalar. Ao multiplicar por "i", se torna um vetor que dá a velocidade escalar. Depois, para N(x, y), ele também vai dar a velocidade escalar, e dirá a velocidade na direção "j", o mesmo que acontece com "i". Agora, para as nossas unidades de velocidade escalar, estamos especificamente com M(x, y) e N(x, y) e, se transcrevermos isso, seriam, então, unidades de distância por tempo. Para este exemplo, vamos dizer que as unidades são metros por segundo. Agora, vamos pensar nas unidades para esta função como um todo. ρ, dado qualquer (x, y), é somente um número. E, se o distribuirmos, vamos conseguir F. Nós não precisamos manter a expressão de F(x, y) toda vez que formos escrever. Podemos já presumir F, ρ, M e N são funções de (x, y). Pois bem, F = ρ vezes M vezes a unidade vetorial "i", mais ρ vezes N vezes a unidade vetorial "j", que é o que conseguimos após a distribuição. E agora, surge mais uma dúvida: quais são as unidades aqui? O que é ρ vezes M? O que vamos conseguir aqui? Vamos lá. Se pegarmos estas unidades, vamos ter kg/m² vezes m/s. Ao levar isso para uma análise dimensional, o metro no numerador vai se cancelar com um dos metros no denominador. E vai sobrar para nós uma coisa meio estranha, que, neste caso, é kg/ms. Eu quero que você visualize como se todo este vetor tivesse uma magnitude em alguma direção. E ela, neste caso, vai ter estas unidades. Depois que pegamos isso, fazemos vezes "n". O "n" nos dá somente a direção. Ele somente nos especifica uma direção dado o ponto na curva. Então, ao pegar o produto escalar com "n", vamos receber a magnitude de F, que vai na direção de "n". E vai ter as mesmas unidades que F. Para ficar ainda mais claro, vamos focar em um ponto específico. F é esta linha. E a sua magnitude, o seu comprimento, vai ser em kg/ms. Depois, temos o vetor normal. E, ao pegar o produto escalar, você faz a pergunta que é: qual a magnitude que vai na direção normal? Agora, ao voltar para a parte de cima com estas informações, fazemos vezes ds. Mas aí temos mais uma pergunta: quais são as unidades de ds? E eu já respondo: ela vai ser uma unidade de comprimento. Neste caso, vamos usar metros. Agora temos kg/ms, vezes metros. Ao fazer esta multiplicação, os metros vão se cancelar e vamos conseguir algo que começa a fazer mais sentido: kg/s. E isso nos diz o quanto de massa cruza este pequeno ds, a pequena sessão da curva por segundo. Agora, se somarmos com o número infinito destes infinitamente pequenos ds, você vai conseguir o valor desta integral toda, que neste caso vai ser em kg e kg/s. E elas nos dizem o quanto de massa sai da curva dado o ponto ou dado o tempo. Eu vou reescrever isto para deixar um pouco mais fixo na cabeça. Toda a integral de F.n vezes ds nos diz a massa que sai da curva por segundo. Isso deve ser consistente com outros conhecimentos que você possui sobre o assunto. Inclusive, você já deve ter visto isso em algum de nossos vídeos como equivalente à dupla integral sobre a área de divergência de F. A divergência de F, depois a parte de cima, que é a parcial do componente "i" em relação a "x", depois a parte de baixo, que é a parcial de ρm em relação a "x", mais a parcial do componente "y": ρn em relação a "y", vezes cada pedaço de área. Agora, para o que vão ser as unidades nesta situação? Sabemos que ρm nos dá kg/ms. Mas, se pegamos a derivada em relação aos metros novamente, a unidade, para qualquer um destes, vai ser kg/ms, por metro. Isso é porque pegamos a derivada em relação a outra unidade de distância. Daí vamos ser outro metro no denominador, que vai ser a unidade. Depois, você o multiplica vezes uma área, que vai dar m². Depois, novamente se cancelam e, mais uma vez, a parte que você fez a soma vai dar kg/s. E essa soma é feita através da área que temos. Eu realmente espero que isso tenha lhes dado uma visão melhor de como conceitualizar a função vetorial F. E é isso, pessoal. Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!