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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 4: Teorema da divergência em 2DConstrução de um vetor normal unitário para uma curva
Descobrindo um vetor normal unitário em qualquer ponto ao longo de uma curva definida por uma função vetorial de posição. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Nesta aula nós vamos aprender a construir
um vetor normal unitário para uma curva. Vamos dizer que nós temos
uma curva r(t) aqui e que seja igual a
x(t)i mais y(t)j, ou seja, duas dimensões
no plano xy. Para você visualizar essa curva, eu posso colocar um plano cartesiano
aqui com o eixo x e eixo Y, posso colocar parte
dessa curva aqui e à medida que t aumenta,
nós vamos nessa direção. Esta aula vai ser mais a respeito de álgebra
vetorial do que propriamente do cálculo vetorial. Isso porque o que queremos é,
se tivermos um ponto aqui, descobrir um vetor
normal a ele, ou seja, um vetor normalizado,
um vetor unitário. Basicamente, para
normalizar um vetor, você tem que pegar suas coordenadas
e dividir pela sua norma. Com isso, você vai obter
um vetor unitário. Então, eu tenho um
ponto qualquer aqui e queremos descobrir o vetor unitário
nessa direção, um vetor normalizado. Então, esse é o nosso vetor n. Para fazer o que
estamos querendo, inicialmente precisamos saber
o que é um vetor tangente. Isso porque, a partir dele, nós
conseguimos descobrir o vetor normal. Como podemos construir
esse vetor tangente? Bem, o nosso vetor soma vai
se parecer com algo assim e eu vou chamá-lo de r₁. Se variarmos um pouco o t,
esse vetor vai mudar um pouco. Quem sabe ele não esteja aqui,
que podemos chamar de r₂, ou seja, o vetor
ficou um pouco maior. Uma maneira de
encontrar a aproximação entre a inclinação da reta tangente
entre esses dois pontos é calcular a diferença entre eles,
ou seja, a inclinação entre esses dois pontos é a diferença entre esses dois vetores,
que você pode chamar de Δr. Então, esse vetor mais esse
vetor é igual a esse aqui, ou então esse vetor r₂ menos
esse vetor r₁ vai ser igual a esse Δr. Cada vez que você vai aproximando
o r₁ do r₂, essa diferença vai diminuindo, ou seja, ela vai ficando
cada vez e cada vez menor e, com isso, a inclinação do Δr
vai se aproximando da reta tangente. Vai chegar um ponto em que você vai ter
uma mudança infinitesimal em t, que você pode chamar de Δt, e que vai gerar uma mudança
infinitesimalmente pequena no Δr. Então, se você tem uma mudança muito
pequena aqui, esse vai ser o vetor tangente. dr é tangente em
algum ponto na curva. Então eu posso dizer que dr
é um vetor tangente e podemos dizer que ele é igual
a uma mudança infinitesimal de x em i mais uma mudança
infinitesimal de y em j. E claro, isso tudo
é só uma revisão. Mas só para você entender melhor,
digamos que eu tenha o vetor dr aqui. Eu posso o decompor
em duas componentes: aqui vai ser dy
e aqui dx. Como essa é uma componente horizontal,
nós multiplicamos por i e essa aqui, que é uma componente
vertical, nós multiplicamos por j, ou seja, dy é o comprimento
e j nos dá a direção. A mesma coisa com dx. Ele é
o comprimento e i é a direção. E se estamos nos movendo nessa direção,
então o valor deve ser negativo e como aqui estamos nos movendo
para cima, o valor deve ser positivo. Entendido isso, nós temos aqui
o nosso vetor dr e a partir dele queremos descobrir
um vetor normal, ou seja, um vetor que é, essencialmente,
perpendicular ao vetor dr. Existem dois vetores
que são perpendiculares a ele. Um vetor nessa direção, que é a direção
que vamos nos preocupar nesta aula, e um outro nessa direção. Como eu disse, nesta aula nós
vamos olhar apenas para essa aqui. Então deixe-me
aumentar este desenho. Nós temos o dr, aqui
nós temos dy vezes j, aqui, dx vezes i.
Sabemos da álgebra linear que se pegarmos esse dy
e colocarmos na direção i, nós vamos ter algo assim,
ou seja, dy vezes i e se pegarmos dx em i e colocarmos na
direção j, ele tem que vir para baixo, isso porque ele está indo
para a esquerda, ou seja, ele está indo
no sentido contrário. Se quisermos colocar dx na direção j,
o colocaríamos para baixo, já que aqui está no sentido negativo,
e para ele ficar para cima, temos que colocar um sinal
de menos para inverter o sentido. Então, -dx vezes j. Claro, isso não é uma prova rigorosa, eu só estou dando uma ideia
do porquê de esse dx ficar negativo. Assim, nosso vetor normal
vai ser esse aqui e, com isso, o vetor normal
vai ser igual a esse (dy vezes i) menos esse (dx vezes j). Então, se quisermos
normalizar esse vetor, nós temos que pegar as suas
componentes e dividir pela norma dele. Então, eu vou chamar esse
vetor de "vetor a" e ele vai ser igual a
(dy vezes i) menos (dx vezes j). Agora, se quisermos transformar
isso em um vetor normal unitário, temos que dividir pela
norma desse vetor a. A norma de um vetor vai ser igual
à raiz quadrada desse (-dx)², que vai ficar um valor positivo,
por isso eu posso colocar (dx)² mais esse (dy)²,
que eu coloco aqui. Eu poderia colocar o
sinal de menos aqui, mas como vamos elevar
ao quadrado, a resposta vai ser positiva, então é desnecessário colocá-lo. Esse comprimento aqui é igual
ao comprimento de um arco, que podemos chamar de ds. É exatamente isso
e que é igual a ds. Então, essa pequena variação não muda
a fórmula de comprimento de arco. Agora já temos tudo o que precisamos
para construir o nosso vetor normal unitário. Então o nosso vetor
normal unitário, que é n, vai ser igual ao "a" dividido pela sua norma,
que podemos chamar de ds. Isso vai ser igual ao vetor "a",
que é (dy vezes i) menos (dx vezes j), dividido por essa norma,
que é igual a ds. Então, dividido por ds. Finalmente conseguimos
achar o vetor unitário. Eu espero que essa aula tenha
os ajudado e até a próxima, pessoal!