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Construção de um vetor normal unitário para uma curva

Descobrindo um vetor normal unitário em qualquer ponto ao longo de uma curva definida por uma função vetorial de posição. Versão original criada por Sal Khan.

Transcrição de vídeo

Oi e aí pessoal tudo bem nessa aula nós vamos aprender a construir um vetor normal unitário para uma curva e vamos dizer que nós temos uma curva rdt aqui e que seja igual a x DT em ir mais Y de ter em j ou seja duas dimensões no plano XY e para você visualizar essa curva eu posso colocar um plano cartesiano aqui com o eixo X e eixo Y e eu posso colocar parte dessa curva aqui E à medida que tem aumenta nós vamos nessa direção e essa aula vai ser mais a respeito de álgebra vetorial do que propriamente do cálculo vetorial isso porque o que queremos é se tivermos um ponto aqui descobrir um vetor normal a ele ou seja um vetor normalizado o vetor unitário basicamente para normalizar se você tem que pegar suas coordenadas e dividir pela sua Norma E com isso você vai obter um vetor unitário Então eu tenho um ponto Qualquer aqui e queremos descobrir o vetor unitário nessa direção o vetor normalizado Então esse é o nosso vetor n e para fazer o que estamos querendo inicialmente precisamos saber o que é um vetor tangente isso porque a partir dele nós conseguimos descobrir o vetor normal e como podemos construir esses vetor tangente bem o nosso vetor soma vai se parecer com algo assim e eu vou chamá-lo de R1 esse variar mos um pouco o te esse vetor vai mudar um pouco e quem sabe ele não esteja aqui que podemos chamar de R2 ou seja o vetor ficou um pouco maior e uma maneira de encontrar aproximação e a inclinação da reta tangente Entre esses dois pontos é calcular a diferença entre eles Ou seja a inclinação entre esses dois pontos é a diferença entre esses dois vetores e que você pode chamar de Delta R Então esse vetor mas esse vetor é igual a esse aqui ou então esse vetor R2 - esse vetor R1 vai ser igual a esse Delta R E cada vez que você vai aproximando o R1 do R2 essa diferença vai diminuindo ou seja ela vai ficando cada vez e cada vez menor e com isso a inclinação do Delta R vai se aproximando da reta tangente e vai chegar um ponto que você vai ter uma mudança infinitesimal em ter que você pode chamar de delta t e que vai gerar uma mudança infinitesimalmente pequena no Delta R então se você tem uma mudança muito pequena aqui esse vai ser o vetor tangente Dr é tangente em algum ponto na curva então eu posso dizer que Dr é um vetor tangente e podemos dizer que ele é igual a uma mudança infinitesimal de X em I mais uma mudança infinitesimal de y em j e claro isso tudo é só uma revisão mas só para você entender melhor digam os que eu tenha o vetor Dr aqui eu posso decompor ele em duas componentes aqui vai ser o de y e aqui o deixes e como essa é uma componente horizontal nós multiplicamos por II e essa aqui é uma componente vertical nós multiplicamos por j ou seja o de y é o comprimento e o J nos dá a direção a mesma coisa com o DX é o e eu e é a direção esse Estamos nos movendo nessa direção então o valor deve ser negativo e como a que estamos nos movendo para cima o valor deve ser positivo entendido isso nós temos aqui o nosso vetor Dr EA partir dele nós queremos descobrir um vetor normal ou seja um vetor que é essencialmente perpendicular ao vetor Dr e existem dois diretores que são perpendiculares à ele corretor nessa direção que é direção que vamos nos preocupar nessa aula e o outro nessa direção e como eu disse nessa aula nós vamos olhar apenas para essa aqui tá então deixa aumentar esse desenho aqui nós temos o Dr Aqui nós temos o da Y vezes Jotta aqui o dx11 e sabemos da álgebra linear que se pegarmos esse daí y e colocarmos na direção nós vamos ter algo assim ou seja o de y vezes e esse pegarmos o de X em i e colocarmos na direção J ele tem que vir aqui para baixo isso porque ele está indo para a esquerda ou seja ele está indo no sentido contrário e Se quisermos colocar o DX na direção J colocaríamos ele para baixo já que aqui está no sentido negativo e para ele ficar para cima tem umas que colocar um sinal de menos para inverter o sentido então menos de XJ claro isso não é uma prova rigorosa tá eu só estou te dando uma ideia do Porquê desse deixe ficar negativo E aí nosso vetor normal vai ser esse aqui E com isso o vetor normal vai ser igual a esse daí yzz menos esse de XJ Então se quiser a formalizar esse vetor nós temos que pegar as suas componentes e dividir pela Norma dele então eu vou chamar esse vetor de Vetor a e ele vai ser igual a dy13 - 10x vez em j e agora Se quisermos transformar isso em um vetor normal unitário temos que dividir pela Norma desse vetor a e a norma de um vetor vai ser igual à raiz quadrada desse menos 2X ao quadrado que vai ficar o valor positivo por isso eu posso colocar de x ao quadrado mais esse de y ao quadrado que eu coloco aqui eu poderia colocar o sinal de menos aqui mas como vamos levar ao quadrado a resposta vai ser positiva então É desnecessário colocá-lo esse comprimento aqui é igual ao comprimento de um arco que podemos chamar de DS é exatamente isso e que é igual o s Então essa pequena variação não muda a fórmula de comprimento de arco e agora já tem um estudo que precisamos para construir o nosso setor normal unitário então o nosso vetor normal unitário que é o n vai ser igual a dividido pela sua Norma que podemos chamar de DS Isso vai ser igual ao vetor a que é de y resize menos de XJ / essa Norma que é igual a de S então / desce e finalmente conseguimos achar o vetor unitário e eu espero que essa aula tenha te ajudado e até a próxima pessoal