Construção de um vetor normal unitário para uma curva

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos aprender a construir um vetor normal unitário para uma curva. Vamos dizer que nós temos uma curva r(t) aqui e que seja igual a x(t)i mais y(t)j, ou seja, duas dimensões no plano xy. Para você visualizar essa curva, eu posso colocar um plano cartesiano aqui com o eixo x e eixo Y, posso colocar parte dessa curva aqui e à medida que t aumenta, nós vamos nessa direção. Esta aula vai ser mais a respeito de álgebra vetorial do que propriamente do cálculo vetorial. Isso porque o que queremos é, se tivermos um ponto aqui, descobrir um vetor normal a ele, ou seja, um vetor normalizado, um vetor unitário. Basicamente, para normalizar um vetor, você tem que pegar suas coordenadas e dividir pela sua norma. Com isso, você vai obter um vetor unitário. Então, eu tenho um ponto qualquer aqui e queremos descobrir o vetor unitário nessa direção, um vetor normalizado. Então, esse é o nosso vetor n. Para fazer o que estamos querendo, inicialmente precisamos saber o que é um vetor tangente. Isso porque, a partir dele, nós conseguimos descobrir o vetor normal. Como podemos construir esse vetor tangente? Bem, o nosso vetor soma vai se parecer com algo assim e eu vou chamá-lo de r₁. Se variarmos um pouco o t, esse vetor vai mudar um pouco. Quem sabe ele não esteja aqui, que podemos chamar de r₂, ou seja, o vetor ficou um pouco maior. Uma maneira de encontrar a aproximação entre a inclinação da reta tangente entre esses dois pontos é calcular a diferença entre eles, ou seja, a inclinação entre esses dois pontos é a diferença entre esses dois vetores, que você pode chamar de Δr. Então, esse vetor mais esse vetor é igual a esse aqui, ou então esse vetor r₂ menos esse vetor r₁ vai ser igual a esse Δr. Cada vez que você vai aproximando o r₁ do r₂, essa diferença vai diminuindo, ou seja, ela vai ficando cada vez e cada vez menor e, com isso, a inclinação do Δr vai se aproximando da reta tangente. Vai chegar um ponto em que você vai ter uma mudança infinitesimal em t, que você pode chamar de Δt, e que vai gerar uma mudança infinitesimalmente pequena no Δr. Então, se você tem uma mudança muito pequena aqui, esse vai ser o vetor tangente. dr é tangente em algum ponto na curva. Então eu posso dizer que dr é um vetor tangente e podemos dizer que ele é igual a uma mudança infinitesimal de x em i mais uma mudança infinitesimal de y em j. E claro, isso tudo é só uma revisão. Mas só para você entender melhor, digamos que eu tenha o vetor dr aqui. Eu posso o decompor em duas componentes: aqui vai ser dy e aqui dx. Como essa é uma componente horizontal, nós multiplicamos por i e essa aqui, que é uma componente vertical, nós multiplicamos por j, ou seja, dy é o comprimento e j nos dá a direção. A mesma coisa com dx. Ele é o comprimento e i é a direção. E se estamos nos movendo nessa direção, então o valor deve ser negativo e como aqui estamos nos movendo para cima, o valor deve ser positivo. Entendido isso, nós temos aqui o nosso vetor dr e a partir dele queremos descobrir um vetor normal, ou seja, um vetor que é, essencialmente, perpendicular ao vetor dr. Existem dois vetores que são perpendiculares a ele. Um vetor nessa direção, que é a direção que vamos nos preocupar nesta aula, e um outro nessa direção. Como eu disse, nesta aula nós vamos olhar apenas para essa aqui. Então deixe-me aumentar este desenho. Nós temos o dr, aqui nós temos dy vezes j, aqui, dx vezes i. Sabemos da álgebra linear que se pegarmos esse dy e colocarmos na direção i, nós vamos ter algo assim, ou seja, dy vezes i e se pegarmos dx em i e colocarmos na direção j, ele tem que vir para baixo, isso porque ele está indo para a esquerda, ou seja, ele está indo no sentido contrário. Se quisermos colocar dx na direção j, o colocaríamos para baixo, já que aqui está no sentido negativo, e para ele ficar para cima, temos que colocar um sinal de menos para inverter o sentido. Então, -dx vezes j. Claro, isso não é uma prova rigorosa, eu só estou dando uma ideia do porquê de esse dx ficar negativo. Assim, nosso vetor normal vai ser esse aqui e, com isso, o vetor normal vai ser igual a esse (dy vezes i) menos esse (dx vezes j). Então, se quisermos normalizar esse vetor, nós temos que pegar as suas componentes e dividir pela norma dele. Então, eu vou chamar esse vetor de "vetor a" e ele vai ser igual a (dy vezes i) menos (dx vezes j). Agora, se quisermos transformar isso em um vetor normal unitário, temos que dividir pela norma desse vetor a. A norma de um vetor vai ser igual à raiz quadrada desse (-dx)², que vai ficar um valor positivo, por isso eu posso colocar (dx)² mais esse (dy)², que eu coloco aqui. Eu poderia colocar o sinal de menos aqui, mas como vamos elevar ao quadrado, a resposta vai ser positiva, então é desnecessário colocá-lo. Esse comprimento aqui é igual ao comprimento de um arco, que podemos chamar de ds. É exatamente isso e que é igual a ds. Então, essa pequena variação não muda a fórmula de comprimento de arco. Agora já temos tudo o que precisamos para construir o nosso vetor normal unitário. Então o nosso vetor normal unitário, que é n, vai ser igual ao "a" dividido pela sua norma, que podemos chamar de ds. Isso vai ser igual ao vetor "a", que é (dy vezes i) menos (dx vezes j), dividido por essa norma, que é igual a ds. Então, dividido por ds. Finalmente conseguimos achar o vetor unitário. Eu espero que essa aula tenha os ajudado e até a próxima, pessoal!