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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 8: Teorema da divergência (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Teoremas de Green, de Stokes e da divergência
Teorema da divergência (artigos)
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Teorema da divergência em 2D

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Isso é análogo ao teorema de Green, mas para divergência em vez de rotacionais.

Conhecimentos prévios

Não são completamente necessários, porém de grande ajuda para uma compreensão mais aprofundada.

O que estamos construindo

  • O teorema da divergência em 2D é para a divergência o que o teorema de Green é para o rotacional. Ele relaciona a divergência de um campo vetorial dentro de uma região com o fluxo desse campo vetorial através das fronteiras da região.
  • Configuração:
    • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é um campo vetorial bidimensional.
      • start color #bc2612, R, end color #bc2612 é uma região no plano x, y.
      • start color #bc2612, C, end color #bc2612 é a fronteira da região start color #bc2612, R, end color #bc2612.
      • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f é a função que dá os vetores unitários voltados para fora normais a start color #bc2612, C, end color #bc2612.
  • O teorema da divergência em 2D diz que o fluxo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 através da curva limite start color #bc2612, C, end color #bc2612 é igual à integral dupla de start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 sobre a toda a região de start color #bc2612, R, end color #bc2612.
start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, I, n, t, e, g, r, a, l, space, d, e, space, f, l, u, x, o, end text, end subscript, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A
  • A intuição aqui é de que se start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 representa um fluxo de fluído, a taxa total do fluxo para fora de start color #bc2612, R, end color #bc2612, medida pela integral de fluxo, é igual à soma de todos os pequenos pedaços do fluxo externo em cada ponto, medida pela divergência.
  • Frequentemente as funções componentes de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis são dadas como P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
    F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)] \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
    Nesse caso, uma vez que você escrever as duas integrais em função de P e Q, o teorema da divergência em 2D fica assim:
    \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction
  • Escrito dessa forma, é mais fácil visualizar que o teorema da divergência em 2D está apenas dizendo secretamente a mesma coisa que o teorema de Green.

Intuição: conectando duas medidas de fluxo para fora

A visão global: fluxo

Aqui, estou supondo que você já aprendeu sobre fluxo bidimensional, e o que isso representa. A saber, ele calcula a taxa na qual um líquido fluindo passa através de uma curva, como start color #bc2612, C, end color #bc2612. Quando essa curva engloba uma região, como start color #bc2612, R, end color #bc2612, o fluxo é uma medida da taxa na qual o líquido está saindo dessa região.
Dado um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, que representa o campo do vetor velocidade do fluído, o fluxo start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis através de start color #bc2612, C, end color #bc2612 é medido com a seguinte integral:
start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, I, n, t, e, g, r, a, l, space, d, e, space, f, l, u, x, o, end text, end subscript
Essa integral percorre cada ponto na fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612 e pega o componente do vetor de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, que está na direção do vetor normal unitário voltado para fora start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f. Quanto maior for esse valor, mais rápido o fluido está saindo de start color #bc2612, R, end color #bc2612 naquele ponto. Quanto mais negativo for, mais fluido está entrando naquele ponto.

A visão local: divergência

Eu também estou supondo que você aprendeu sobre uma medida diferente do "fluxo para fora" em movimentos dos fluídos: divergência. A divergência de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é uma função que diz quanto o fluído tende a divergir para longe de cada ponto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
O teorema da divergência em 2D conecta essas duas ideias:
start underbrace, start overbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end overbrace, start superscript, start text, I, n, t, e, g, r, a, l, space, d, e, space, f, l, u, x, o, end text, end superscript, end underbrace, start subscript, start text, F, l, u, x, o, space, p, a, r, a, space, f, o, r, a, space, t, o, t, a, l, space, d, e, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, end underbrace, start subscript, start text, S, o, m, a, space, d, e, space, t, o, d, o, s, space, o, s, space, p, e, d, a, ç, o, s, space, d, o, space, f, l, u, x, o, space, p, a, r, a, space, f, o, r, a, end text, end subscript

Quer entender isso mais a fundo?

Esta intuição deve parecer muito semelhante à que está por trás do teorema de Green, no qual a rotação total do fluído em uma região é igual à soma de todos os pequenos pedaços de rotação representada por start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99:
start underbrace, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, end underbrace, start subscript, start text, R, o, t, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, t, o, t, a, l, space, d, e, space, f, l, u, i, d, o, space, p, r, o, with, \', on top, x, i, m, o, space, a, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, S, o, m, a, space, d, e, space, t, o, d, o, s, space, o, s, space, p, e, d, a, ç, o, s, space, d, e, space, r, o, t, a, ç, a, with, \~, on top, o, end text, end subscript
No entanto, nos teoremas de Green e da divergência em 2D, falar sobre adição de pequenos pedaços de rotação ou fluxo externo é muito vago. Embora cada um forneça uma boa intuição, eles não são exatamente matemática rigorosa, são?
No artigo sobre o teorema de Green, eu passei por uma linha de raciocínio mais precisa, na qual a integral dupla de rotação entra em ação. Isso envolveu dividir a região start color #bc2612, R, end color #bc2612, e a percepção de como certas integrais de linha se cancelaram com as fatias ao longo de start color #bc2612, R, end color #bc2612.
Uma linha de raciocínio quase idêntica pode ser usada para demonstrar o teorema da divergência em 2D. Um bom exercício para qualquer um que pretenda entender mais a fundo seria voltar e percorrer essa mesma linha de raciocínio, mas substituir a integral de linha \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, que mede fluxo no entorno de start color #bc2612, R, end color #bc2612, pela integral de fluxo \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, que mede o fluxo fora de start color #bc2612, R, end color #bc2612.
E se essa compreensão mais profunda é o que você procura, eu recomendaria também que você se preparasse com o conhecimento do artigo sobre definição formal de divergência.

Prova: integrais de fluxo + vetor normal unitário + teorema de Green

Esse exercício de compreensão mais profunda não é necessário para provar o teorema da divergência em duas dimensões. Na verdade, quando você começar a entender como cada integral é realmente calculada, você descobrirá que esse teorema está apenas dizendo a mesma coisa que o teorema de Green.
Comece escrevendo start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em função das funções componentes P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)] \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
Aplicando a formula para um vetor normal unitário à integral de fluxo, conseguimos outra maneira de representar essa integral de fluxo.
∫CF⋅n^ ds=∫C[P(x,y)Q(x,y)]⋅n^ ds\displaystyle \int_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds = \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds
Em seguida, vamos escrever o vetor normal unitário explicitamente.
Verificação de conceito: se pensarmos no vetor [dxdy]\left[\begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right] como a representação de um pequeno passo no sentido anti-horário e torno da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, com d, s, equals, square root of, d, x, squared, plus, d, y, squared, end square root sendo sua magnitude, qual das seguintes opções representa um vetor normal unitário voltado para fora?
Escolha 1 resposta:

Inserindo isso em nossa integral de fluxo e simplificando, obtemos:
∫C[P(x,y)Q(x,y)]⋅n^ ds=∫C[P(x,y)Q(x,y)]⋅(1ds[dy−dx]) ds=∫CP dy−Q dx\begin{aligned} \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,ds &= \int_{\redE{C}} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \left( \dfrac{1}{\cancel{ds}} \left[ \begin{array}{c} dy \\ -dx \end{array} \right] \right) \,\cancel{ds} \\\\ &= \int_{\redE{C}} P\,dy - Q\,dx \end{aligned}
Escrito dessa forma, nós podemos aplicar diretamente o teorema de Green.
Verificação de conceito: qual das seguintes opções é o teorema de Green, em que start color #bc2612, C, end color #bc2612 representa uma curva fechada que abrange a região start color #bc2612, R, end color #bc2612?
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: o que você obtém quando aplica o teorema de Green à integral de fluxo integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x?
Escolha 1 resposta:

Observe que a expressão dentro da integral dupla da resposta para a última questão é de fato a divergência de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99:
div F=div [P(x,y)Q(x,y)]=∂P∂x+∂Q∂y\displaystyle \text{div}\,\blueE{\textbf{F}} = \text{div}\, \left[ \begin{array}{c} P(x, y)\\ Q(x, y) \end{array} \right] = \dfrac{\partial P}{\partial x} + \dfrac{\partial Q}{\partial y}

Usar o teorema da divergência em 2D?

Quando se trata de transladar entre integrais de linha e integrais duplas, o teorema da divergência em 2D diz basicamente a mesma coisa que o teorema de Green. Então, qualquer um dos cálculos em um exemplo usando esse teorema seria indistinguível de um exemplo usando o teorema de Green (tais como os nesse artigo de exemplos do teorema de Green).
No entanto, a vantagem de aprender o teorema da divergência em 2D é dupla:
  • Benefício conceitual: é uma ótima maneira de aprofundar sua compreensão de fluxo, divergência e do teorema de Green.
  • Benefício estratégico: às vezes um exemplo em que o teorema de Green é usado se presta mais naturalmente a uma descrição com base em divergência. Por exemplo, se a integral de linha que você deseja calcular começa como uma integral de fluxo, em vez de expandir essa integral de linha para transformá-la em algo como integral, P, d, x, plus, Q, d, y e aplicar o teorema de Green, você poderia reconhecer imediatamente que isso é o mesmo que integrar a divergência duplamente.

Resumo

  • O teorema da divergência em 2D refere-se ao fluxo bidimensional e à integral dupla de divergência através de uma região.
    start underbrace, integral, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, d, s, end underbrace, start subscript, start text, F, l, u, x, o, space, t, o, t, a, l, space, p, a, r, a, space, f, o, r, a, space, d, e, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A, end underbrace, start subscript, start text, S, o, m, a, space, d, e, space, t, o, d, o, s, space, o, s, space, p, e, d, a, c, i, n, h, o, s, space, d, e, space, f, l, u, x, o, space, p, a, r, a, space, f, o, r, a, end text, end subscript
  • Frequentemente o campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é expresso pelas componentes:
    F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)] \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
Nesse caso, a aparência do teorema da divergência em 2D é assim:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, y, minus, Q, d, x, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
  • Nessa forma, é mais fácil visualizar que o teorema da divergência em 2D está apenas afirmando a mesma coisa que o teorema de Green.

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