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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 8: Teorema da divergência (artigos)Teorema da divergência em 2D
Isso é análogo ao teorema de Green, mas para divergência em vez de rotacionais.
Conhecimentos prévios
Não são completamente necessários, porém de grande ajuda para uma compreensão mais aprofundada.
O que estamos construindo
- O teorema da divergência em 2D é para a divergência o que o teorema de Green é para o rotacional. Ele relaciona a divergência de um campo vetorial dentro de uma região com o fluxo desse campo vetorial através das fronteiras da região.
- Configuração:
é um campo vetorial bidimensional. é uma região no plano . é a fronteira da região . é a função que dá os vetores unitários voltados para fora normais a .
- O teorema da divergência em 2D diz que o fluxo de
através da curva limite é igual à integral dupla de sobre a toda a região de .
- A intuição aqui é de que se
representa um fluxo de fluído, a taxa total do fluxo para fora de , medida pela integral de fluxo, é igual à soma de todos os pequenos pedaços do fluxo externo em cada ponto, medida pela divergência. - Frequentemente as funções componentes de
são dadas como e :Nesse caso, uma vez que você escrever as duas integrais em função de e , o teorema da divergência em 2D fica assim: - Escrito dessa forma, é mais fácil visualizar que o teorema da divergência em 2D está apenas dizendo secretamente a mesma coisa que o teorema de Green.
Intuição: conectando duas medidas de fluxo para fora
A visão global: fluxo
Aqui, estou supondo que você já aprendeu sobre fluxo bidimensional, e o que isso representa. A saber, ele calcula a taxa na qual um líquido fluindo passa através de uma curva, como . Quando essa curva engloba uma região, como , o fluxo é uma medida da taxa na qual o líquido está saindo dessa região.
Dado um campo vetorial , que representa o campo do vetor velocidade do fluído, o fluxo através de é medido com a seguinte integral:
Essa integral percorre cada ponto na fronteira e pega o componente do vetor de , que está na direção do vetor normal unitário voltado para fora . Quanto maior for esse valor, mais rápido o fluido está saindo de naquele ponto. Quanto mais negativo for, mais fluido está entrando naquele ponto.
A visão local: divergência
Eu também estou supondo que você aprendeu sobre uma medida diferente do "fluxo para fora" em movimentos dos fluídos: divergência. A divergência de é uma função que diz quanto o fluído tende a divergir para longe de cada ponto .
O teorema da divergência em 2D conecta essas duas ideias:
Quer entender isso mais a fundo?
Esta intuição deve parecer muito semelhante à que está por trás do teorema de Green, no qual a rotação total do fluído em uma região é igual à soma de todos os pequenos pedaços de rotação representada por :
No entanto, nos teoremas de Green e da divergência em 2D, falar sobre adição de pequenos pedaços de rotação ou fluxo externo é muito vago. Embora cada um forneça uma boa intuição, eles não são exatamente matemática rigorosa, são?
No artigo sobre o teorema de Green, eu passei por uma linha de raciocínio mais precisa, na qual a integral dupla de rotação entra em ação. Isso envolveu dividir a região , e a percepção de como certas integrais de linha se cancelaram com as fatias ao longo de .
Uma linha de raciocínio quase idêntica pode ser usada para demonstrar o teorema da divergência em 2D. Um bom exercício para qualquer um que pretenda entender mais a fundo seria voltar e percorrer essa mesma linha de raciocínio, mas substituir a integral de linha , que mede fluxo no entorno de , pela integral de fluxo , que mede o fluxo fora de .
E se essa compreensão mais profunda é o que você procura, eu recomendaria também que você se preparasse com o conhecimento do artigo sobre definição formal de divergência.
Prova: integrais de fluxo + vetor normal unitário + teorema de Green
Esse exercício de compreensão mais profunda não é necessário para provar o teorema da divergência em duas dimensões. Na verdade, quando você começar a entender como cada integral é realmente calculada, você descobrirá que esse teorema está apenas dizendo a mesma coisa que o teorema de Green.
Comece escrevendo em função das funções componentes e :
Aplicando a formula para um vetor normal unitário à integral de fluxo, conseguimos outra maneira de representar essa integral de fluxo.
Em seguida, vamos escrever o vetor normal unitário explicitamente.
Verificação de conceito: se pensarmos no vetor como a representação de um pequeno passo no sentido anti-horário e torno da curva , com sendo sua magnitude, qual das seguintes opções representa um vetor normal unitário voltado para fora?
Inserindo isso em nossa integral de fluxo e simplificando, obtemos:
Escrito dessa forma, nós podemos aplicar diretamente o teorema de Green.
Verificação de conceito: qual das seguintes opções é o teorema de Green, em que representa uma curva fechada que abrange a região ?
Verificação de conceito: o que você obtém quando aplica o teorema de Green à integral de fluxo ?
Observe que a expressão dentro da integral dupla da resposta para a última questão é de fato a divergência de :
Usar o teorema da divergência em 2D?
Quando se trata de transladar entre integrais de linha e integrais duplas, o teorema da divergência em 2D diz basicamente a mesma coisa que o teorema de Green. Então, qualquer um dos cálculos em um exemplo usando esse teorema seria indistinguível de um exemplo usando o teorema de Green (tais como os nesse artigo de exemplos do teorema de Green).
No entanto, a vantagem de aprender o teorema da divergência em 2D é dupla:
- Benefício conceitual: é uma ótima maneira de aprofundar sua compreensão de fluxo, divergência e do teorema de Green.
- Benefício estratégico: às vezes um exemplo em que o teorema de Green é usado se presta mais naturalmente a uma descrição com base em divergência. Por exemplo, se a integral de linha que você deseja calcular começa como uma integral de fluxo, em vez de expandir essa integral de linha para transformá-la em algo como
e aplicar o teorema de Green, você poderia reconhecer imediatamente que isso é o mesmo que integrar a divergência duplamente.
Resumo
- O teorema da divergência em 2D refere-se ao fluxo bidimensional e à integral dupla de divergência através de uma região.
- Frequentemente o campo vetorial
é expresso pelas componentes:
Nesse caso, a aparência do teorema da divergência em 2D é assim:
- Nessa forma, é mais fácil visualizar que o teorema da divergência em 2D está apenas afirmando a mesma coisa que o teorema de Green.
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