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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 8: Teorema da divergência (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Teoremas de Green, de Stokes e da divergência
Teorema da divergência (artigos)
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Teorema da divergência em 3D

Google Sala de Aula
Também conhecido como teorema de Gauss, o teorema da divergência é uma ferramenta para relacionar integrais de superfície e integrais triplas.

Conhecimentos prévios

Não estritamente necessário, mas útil para desenvolvimento de raciocínio:

O que estamos construindo

  • Configuração
    • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é um campo vetorial tridimensional.
      • start color #bc2612, V, end color #bc2612 é um volume tridimensional (imagine uma gota flutuando no espaço).
      • start color #bc2612, S, end color #bc2612 é a superfície de start color #bc2612, V, end color #bc2612.
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  • O teorema da divergência refere-se à divergência de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 dentro do volume start color #bc2612, V, end color #bc2612 para o fluxo para fora de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 pela superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612:
∭Vdiv F dV⏟Soma pequenos pedaçosdo fluxo para fora em V=∬SF⋅n^ dΣ⏞Integral de fluxo⏟Mede o fluxo para foratotal na fronteira de V\displaystyle \underbrace{ \iiint_\redE{V} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\,\redE{dV} }_{\substack{ \text{Soma pequenos pedaços} \\\\ \text{do fluxo para fora em $\redE{V}$} }} = \underbrace{ \overbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} }^{\text{Integral de fluxo}} }_{\substack{ \text{Mede o fluxo para fora} \\\\ \text{total na fronteira de $\redE{V}$} }}
  • O raciocínio aqui é que a divergência mede o fluxo para fora de um fluido em pontos individuais, enquanto o fluxo mede o fluxo de fluido para fora de uma região inteira, então somar os pedaços de divergência resulta no mesmo valor do fluxo.

A superfície deve ser fechada

No que se segue, você vai refletir sobre uma superfície no espaço. Mas, ao contrário do teorema de Stokes, o teorema da divergência se aplica apenas a superfícies fechadas, ou seja, a superfícies sem uma fronteira. Por exemplo, um hemisfério não é uma superfície fechada pois ele tem uma circunferência como sua fronteira, então você não pode aplicar o teorema da divergência a ele.
No entanto, se você colocar um disco sobre a parte inferior desse hemisfério, e considerar que o disco e o hemisfério formam uma única superfície, você terá uma superfície fechada cujo volume interior equivale à metade de uma esfera. Nesse caso, dado um campo vetorial, o teorema da divergência pode ser usado nessa superfície formada por duas partes e nessa metade de esfera.
A razão para isto é que precisamos ser capazes de falar sobre o volume tridimensional delimitado por uma superfície, o qual não faz sentido algum para superfícies abertas.

O raciocínio

Se você entende o raciocínio por trás de fluxos em 3d, integrais triplas e do teorema da divergência em 2d, você basicamente já entende o teorema da divergência tridimensional. É apenas uma questão de encaixar estas ideias conceituais umas nas outras.

Visão global de fluxo para fora: fluxo

Quando um campo vetorial tridimensional start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é pensado como uma representação de um fluxo fluido, o fluxo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 por uma superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612 é uma medida da quantidade de fluido que passa por aquela superfície por unidade de tempo. Ele é medido com a seguinte integral:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612
Esta integral pode ser pensada como se estivesse dividindo a superfície em muitos pedacinhos, em que start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612 representa a área de um desses pedacinhos. A letra minúscula com circunflexo start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f ao seu lado representa uma função que resulta em um vetor normal unitário em cada ponto da superfície.
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Quando o produto escalar start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f é grande, significa que o fluido está fluindo fortemente no mesmo sentido de start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, portanto o fluido está passando a superfície rapidamente por este ponto. Observe que isso significa que a integral do fluxo considera o fluxo do fluido positivo quando ele segue no mesmo sentido que os vetores unitários normais start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, e negativo quando ele segue no sentido oposto a estes vetores.
Para este artigo, pense no caso em que start color #bc2612, S, end color #bc2612 é uma superfície fechada, envolvendo um volume tridimensional start color #bc2612, V, end color #bc2612 ("fechada" significa que ela não tem bordas). Se start color #bc2612, S, end color #bc2612 está orientada por vetores unitários normais apontando para fora, o fluxo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 por start color #bc2612, S, end color #bc2612 mede a velocidade com que o fluido está saindo do volume start color #bc2612, V, end color #bc2612. É como ir a todas as portas na fronteira de uma região e somar a quantidade de fluido que sai de cada uma ao mesmo tempo em que se subtrai a quantidade de fluido que entra em cada uma.
∬SF⋅n^⏞Quanto de fluidosai/entra? ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣dΣ⏟Pequeno pedaço de aˊrea\displaystyle \iint_\redE{S} \overbrace{ \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} }^{\substack{ \text{Quanto de fluido} \\ \text{sai/entra?} }} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \redE{d\Sigma} }_{\text{Pequeno pedaço de área}}

Visão local de fluxo para fora: divergência

A divergência, em quaisquer dimensões, mede a tendência do fluido fluir para longe de cada ponto no espaço. Mais especificamente, se você pegar um ponto no espaço, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, e um pequeno volume em torno desse ponto start color #bc2612, V, start subscript, start text, p, e, q, u, e, n, o, end text, end subscript, end color #bc2612, a taxa na qual o fluido que flui ao longo do campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 deixa esta pequena região será aproximadamente igual à seguinte expressão:
start underbrace, left parenthesis, del, dot, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, comma, z, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, D, i, v, e, r, g, e, with, \^, on top, n, c, i, a, end text, end subscript, start overbrace, vertical bar, start color #bc2612, V, start subscript, start text, p, e, q, u, e, n, o, end text, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, end overbrace, start superscript, start text, V, o, l, u, m, e, space, d, e, space, start color #bc2612, V, start subscript, start text, p, e, q, u, e, n, o, end text, end subscript, end color #bc2612, end text, end superscript
Em outras palavras, a divergência dá a taxa de fluxo para fora por unidade de volume perto de um ponto. A razão pela qual ela deve ser multiplicada pelo volume antes de estimar uma taxa de fluxo para fora real é que a divergência em um ponto é um número que não se importa com o tamanho do volume que você possa estar pensando em torno desse ponto. Mas as taxas de fluxo para fora para volumes menores serão menores simplesmente em virtude do fato de que há menos fluido neles para fazer o escoamento.

Somar visão local para obter uma visão global

Em seguida, para trazer integrais triplas para o jogo, pense no seguinte processo:
  • Divida um volume tridimensional start color #bc2612, V, end color #bc2612 em muitos pedaços bem pequenos (pequenas migalhas tridimensionais).
  • Calcule a divergência de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 dentro de cada pedaço.
  • Multiplique esse valor pelo volume do pedaço.
  • Some o que você obteve.
Isso dará uma noção do "fluxo para fora total" em razão de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em todo o volume start color #bc2612, V, end color #bc2612. Mas, como mencionado acima, essa quantidade também é medida pelo fluxo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 pela superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612 de start color #bc2612, V, end color #bc2612.
O processo descrito acima também descreve o raciocínio para uma integral tripla:
∭V∇⋅F⏞Divergeˆncia  ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣ ⁣dV⏟Pequeno pedaçode volume\displaystyle \iiint_\redE{V} \overbrace{ \nabla \cdot \blueE{\textbf{F}} }^{\text{Divergência}} \, \!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \redE{dV} }_{\substack{ \text{Pequeno pedaço}\\ \text{de volume} }}
Ao igualarmos isso ao fluxo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 pela superfície de start color #bc2612, V, end color #bc2612, obtemos o teorema da divergência:
∭Vdiv F dV⏟Soma pequenos pedaçosdo fluxo para fora em V=∬SF⋅n^ dΣ⏞Integral de fluxo⏟Mede o fluxo para foratotal na fronteira de V\displaystyle \underbrace{ \iiint_\redE{V} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\,\redE{dV} }_{\substack{ \text{Soma pequenos pedaços} \\\\ \text{do fluxo para fora em $\redE{V}$} }} = \underbrace{ \overbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} }^{\text{Integral de fluxo}} }_{\substack{ \text{Mede o fluxo para fora} \\\\ \text{total na fronteira de $\redE{V}$} }}

Utilidade

Tanto as integrais de superfície como as integrais triplas podem ser muito difíceis de calcular. Mas o teorema da divergência dá uma ferramenta para irmos de uma para outra, e muitas vezes ele pode ajudar a transformar uma integral de superfície particularmente difícil em uma integral de volume mais fácil. Isso é especialmente eficaz se o volume start color #bc2612, V, end color #bc2612 é uma forma familiar, como uma esfera, e se a divergência for uma função simples.
Você pode praticar com exemplos de como usar este teorema no próximo artigo.
Ele também é uma ferramenta teórica poderosa, especialmente para a física. Em eletrodinâmica, por exemplo, ele permite que você expresse várias regras fundamentais, como a lei de Gauss, em termos de divergência ou em termos de uma integral de superfície. Isto pode ser muito útil conceitualmente. Às vezes, é mais fácil pensar sobre uma situação localmente, por exemplo, quais cargas individuais em pontos individuais no espaço estão gerando um campo elétrico. Mas outras vezes você quer uma visão mais global, talvez se perguntando como um campo elétrico passa por toda uma superfície.

Resumo

  • O teorema da divergência diz que, quando você soma todos os pequenos pedaços de fluxo para fora de um volume usando uma integral tripla de divergência, a soma resulta no fluxo para fora total desse volume, como medido pelo fluxo através de sua superfície.
∭Vdiv F dV⏟Soma pequenos pedaçosdo fluxo para fora em V=∬SF⋅n^ dΣ⏞Integral de fluxo⏟Mede o fluxo para foratotal na fronteira de V\displaystyle \underbrace{ \iiint_\redE{V} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\,\redE{dV} }_{\substack{ \text{Soma pequenos pedaços} \\\\ \text{do fluxo para fora em $\redE{V}$} }} = \underbrace{ \overbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} }^{\text{Integral de fluxo}} }_{\substack{ \text{Mede o fluxo para fora} \\\\ \text{total na fronteira de $\redE{V}$} }}

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