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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 8: Teorema da divergência (artigos)Exemplos do teorema da divergência em 3D
Veja como usar o teorema da divergência em 3d para simplificar problemas envolvendo integrais de superfície.
Conhecimentos prévios
O teorema da divergência (rápida recapitulação)
Vamos definir:
- start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é um campo vetorial tridimensional.
- start color #bc2612, V, end color #bc2612 é um volume tridimensional (pense em uma bolha no espaço).
- start color #bc2612, S, end color #bc2612 é a superfície de start color #bc2612, V, end color #bc2612.
- start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f é uma função que dá vetores unitários normais sobre a superfície de start color #bc2612, S, end color #bc2612.
É isso que o teorema da divergência afirma:
A intuição aqui é que as duas integrais medem a taxa na qual um líquido fluindo ao longo do campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 está saindo da região start color #bc2612, V, end color #bc2612 (ou entrando em start color #bc2612, V, end color #bc2612, se os valores das integrais forem negativos). A integração tripla das divergências faz isso contando todos os pequenos pedaços de fluxo para fora do líquido dentro de start color #bc2612, V, end color #bc2612, enquanto o cálculo da integral de fluxo mede isso verificando quanto está saindo/entrando pelas das bordas de start color #bc2612, V, end color #bc2612.
Bolando uma Estratégia
O teorema de divergência permite a você transladar entre integrais de superfície e integrais triplas, mas isso só é útil se uma delas for mais simples que a outra. Em cada um dos exemplos a seguir, tome nota do fato de que o volume da região relevante é mais simples de descrever do que a superfície da mesma região.
No geral, quando você se depara com uma integral de superfície sobre uma superfície fechada, considere se seria mais fácil integrar sobre o volume delimitado pela superfície. Se sim, isso é um forte indício de que o teorema da divergência virá a calhar.
Exemplo 1: integral de superfície através de um cubo.
Problema
Digamos que start color #bc2612, C, end color #bc2612 é um cubo 1, times, 1, times, 1, situado no espaço de forma que um canto está na origem, um canto está em left parenthesis, 1, comma, 1, comma, 1, right parenthesis, e de forma que todas as suas arestas sejam paralelas a um dos eixos de coordenadas.
Deixe start color #bc2612, S, end color #bc2612 representar a superfície desse cubo, que consiste em 6 faces quadradas, orientadas usando vetores normais apontados para fora. Calcule a seguinte integral de superfície:
Solução
Verificação de conceito: de acordo com o teorema da divergência, qual das alternativas a seguir corresponde à integral de superfície que deveríamos calcular?
O cubo é um ótimo exemplo de objeto cujo volume é mais simples de descrever do que a superfície. Para fazer essa integral de superfície diretamente, você precisaria abordar cada uma das 6 faces quadradas separadamente. Além disso, a função vetorial que estamos integrando se torna mais simples quando calculamos a divergência, como você está prestes a ver. Então, usar o teorema da divergência será duplamente útil!
Verificação de conceito: calcule a divergência da função vetorial na integral de superfície acima.
Verificação de conceito: use o teorema da divergência para terminar o problema inserindo a divergência que você acabou de calcular na integral tripla que você escolheu na questão anterior a essa:
Exemplo 2: integral de superfície através de um cilindro
Problema
Seja start color #bc2612, C, end color #bc2612 um cilindro cuja base é um círculo situado no plano x, y com raio 3 centrado na origem e cuja altura é 5.
Ao considerarmos start color #bc2612, S, end color #bc2612 a superfície desse cilindro, orientada por vetores normais unitários que apontam para fora, calcule a seguinte integral de superfície:
Solução
Assim como no exemplo anterior, o que indica que o teorema da divergência pode ser útil é que o volume da nossa região é mais fácil de descrever do que sua superfície. Isso é especialmente verdadeiro se estivermos esperando integrar usando coordenadas cilíndricas. E mais uma vez, a divergência da função relevante irá simplificar as coisas.
Verificação de conceito: calcule a divergência da função vetorial na integral acima.
Verificação de conceito : calcule a integral tripla dessa divergência dentro do cilindro start color #bc2612, C, end color #bc2612 descrito no problema. Um lembrete: sua base é um círculo de raio 3 no plano x, y centrado na origem, e ele tem 5 de altura.
Exemplo 3: área de superfície de uma integral de volume
Problema:
Use o teorema da divergência para calcular a área da superfície de uma esfera com raio 1, dado o fato de que o volume dessa esfera é start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi.
Solução
Isso é um pouco diferente dos dois exemplos anteriores, não é? Para começar, não há nenhum campo vetorial no problema, embora o teorema da divergência seja sobre campos vetoriais!
Se você deixar start color #bc2612, S, end color #bc2612 descrever a superfície da esfera, sua área superficial será dada pela seguinte integral de superfície, das mais simples:
No entanto, essa é a integral de superfície de uma função de valor escalar, especificamente a função constante f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, 1, mas o teorema da divergência aplica-se a integrais de superfície de um campo vetorial. Em outras palavras, o teorema da divergência aplica-se a integrais de superfície que se parecem com essa:
Aqui, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f é uma função vetorial unitária normal de start color #bc2612, S, end color #bc2612, a superfície da esfera. Você pode transformar isso na integral da área de superfície desejada encontrando uma função vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 tal que start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f será sempre igual a 1.
Verificação de conceito: qual das seguintes definições de um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 garantirá a propriedade start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, equals, 1 em todos os pontos da superfície da esfera?
Verificação de conceito: usando essa escolha para start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, juntamente com o teorema da divergência, qual das seguintes integrais dará a área da superfície da esfera unitária? Sendo start color #bc2612, B, end color #bc2612 o volume delimitado pela esfera, também conhecida como a "bola unitária".
Verificação de conceito: qual das seguintes funções dá vetores unitários normais à superfície da esfera unitária?
Verificação de conceito: calcule a divergência dessa função.
Verificação de conceito: finalmente, dado o fato de que o volume dentro da esfera unitária é start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, calcule a seguinte integral:
Resumo
- O teorema da divergência é útil sempre que o volume interior de uma região for mais fácil de descrever do que sua superfície.
- Também ajuda se a divergência do campo vetorial relevante o transformar em uma função mais simples.
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