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Exemplos do teorema da divergência em 3D

Veja como usar o teorema da divergência em 3d para simplificar problemas envolvendo integrais de superfície.

O teorema da divergência (rápida recapitulação)

Invólucro do vídeo da Khan Academy
Vamos definir:
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é um campo vetorial tridimensional.
  • start color #bc2612, V, end color #bc2612 é um volume tridimensional (pense em uma bolha no espaço).
  • start color #bc2612, S, end color #bc2612 é a superfície de start color #bc2612, V, end color #bc2612.
  • start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f é uma função que dá vetores unitários normais sobre a superfície de start color #bc2612, S, end color #bc2612.
É isso que o teorema da divergência afirma:
VdivFdVSoma pequenos pedaçosdo fluxo para fora em V=SFn^dΣIntegral de fluxoMede o fluxo para foratotal na fronteira de V\displaystyle \underbrace{ \iiint_\redE{V} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\,\redE{dV} }_{\substack{ \text{Soma pequenos pedaços} \\\\ \text{do fluxo para fora em $\redE{V}$} }} = \underbrace{ \overbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}} \,\redE{d\Sigma} }^{\text{Integral de fluxo}} }_{\substack{ \text{Mede o fluxo para fora} \\\\ \text{total na fronteira de $\redE{V}$} }}
A intuição aqui é que as duas integrais medem a taxa na qual um líquido fluindo ao longo do campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 está saindo da região start color #bc2612, V, end color #bc2612 (ou entrando em start color #bc2612, V, end color #bc2612, se os valores das integrais forem negativos). A integração tripla das divergências faz isso contando todos os pequenos pedaços de fluxo para fora do líquido dentro de start color #bc2612, V, end color #bc2612, enquanto o cálculo da integral de fluxo mede isso verificando quanto está saindo/entrando pelas das bordas de start color #bc2612, V, end color #bc2612.

Bolando uma Estratégia

O teorema de divergência permite a você transladar entre integrais de superfície e integrais triplas, mas isso só é útil se uma delas for mais simples que a outra. Em cada um dos exemplos a seguir, tome nota do fato de que o volume da região relevante é mais simples de descrever do que a superfície da mesma região.
No geral, quando você se depara com uma integral de superfície sobre uma superfície fechada, considere se seria mais fácil integrar sobre o volume delimitado pela superfície. Se sim, isso é um forte indício de que o teorema da divergência virá a calhar.

Exemplo 1: integral de superfície através de um cubo.


Problema
Digamos que start color #bc2612, C, end color #bc2612 é um cubo 1, times, 1, times, 1, situado no espaço de forma que um canto está na origem, um canto está em left parenthesis, 1, comma, 1, comma, 1, right parenthesis, e de forma que todas as suas arestas sejam paralelas a um dos eixos de coordenadas.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Deixe start color #bc2612, S, end color #bc2612 representar a superfície desse cubo, que consiste em 6 faces quadradas, orientadas usando vetores normais apontados para fora. Calcule a seguinte integral de superfície:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, 2, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, y, squared, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, 4, z, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, dot, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612

Solução
Verificação de conceito: de acordo com o teorema da divergência, qual das alternativas a seguir corresponde à integral de superfície que deveríamos calcular?
Escolha 1 resposta:

O cubo é um ótimo exemplo de objeto cujo volume é mais simples de descrever do que a superfície. Para fazer essa integral de superfície diretamente, você precisaria abordar cada uma das 6 faces quadradas separadamente. Além disso, a função vetorial que estamos integrando se torna mais simples quando calculamos a divergência, como você está prestes a ver. Então, usar o teorema da divergência será duplamente útil!
Verificação de conceito: calcule a divergência da função vetorial na integral de superfície acima.
del, dot, left parenthesis, 2, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, y, squared, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, 4, z, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, equals

Verificação de conceito: use o teorema da divergência para terminar o problema inserindo a divergência que você acabou de calcular na integral tripla que você escolheu na questão anterior a essa:
integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, integral, start subscript, 0, end subscript, start superscript, 1, end superscript, del, dot, left parenthesis, 2, y, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, y, squared, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, plus, 4, z, start bold text, k, end bold text, with, hat, on top, right parenthesis, d, x, d, y, d, z, equals

Exemplo 2: integral de superfície através de um cilindro


Problema
Seja start color #bc2612, C, end color #bc2612 um cilindro cuja base é um círculo situado no plano x, y com raio 3 centrado na origem e cuja altura é 5.
Ao considerarmos start color #bc2612, S, end color #bc2612 a superfície desse cilindro, orientada por vetores normais unitários que apontam para fora, calcule a seguinte integral de superfície:
S[x3y3x3+y3]dΣ\displaystyle \iint_\redE{S} \left[ \begin{array}{c} x^3 \\ y^3 \\ x^3 + y^3 \end{array} \right] \cdot \redE{d\Sigma}

Solução
Assim como no exemplo anterior, o que indica que o teorema da divergência pode ser útil é que o volume da nossa região é mais fácil de descrever do que sua superfície. Isso é especialmente verdadeiro se estivermos esperando integrar usando coordenadas cilíndricas. E mais uma vez, a divergência da função relevante irá simplificar as coisas.
Verificação de conceito: calcule a divergência da função vetorial na integral acima.
[x3y3x3+y3]=\displaystyle \nabla \cdot \left[ \begin{array}{c} x^3 \\ y^3 \\ x^3 + y^3 \end{array} \right] =

Verificação de conceito : calcule a integral tripla dessa divergência dentro do cilindro start color #bc2612, C, end color #bc2612 descrito no problema. Um lembrete: sua base é um círculo de raio 3 no plano x, y centrado na origem, e ele tem 5 de altura.
C([x3y3x3+y3])  dV=\displaystyle \iiint_{\redE{C}} \left( \nabla \cdot \left[ \begin{array}{c} x^3 \\ y^3 \\ x^3 + y^3 \end{array} \right] \right) \; \redE{dV} =

Exemplo 3: área de superfície de uma integral de volume


Problema:
Use o teorema da divergência para calcular a área da superfície de uma esfera com raio 1, dado o fato de que o volume dessa esfera é start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi.

Solução
Isso é um pouco diferente dos dois exemplos anteriores, não é? Para começar, não há nenhum campo vetorial no problema, embora o teorema da divergência seja sobre campos vetoriais!
Se você deixar start color #bc2612, S, end color #bc2612 descrever a superfície da esfera, sua área superficial será dada pela seguinte integral de superfície, das mais simples:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, 1, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612
No entanto, essa é a integral de superfície de uma função de valor escalar, especificamente a função constante f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, 1, mas o teorema da divergência aplica-se a integrais de superfície de um campo vetorial. Em outras palavras, o teorema da divergência aplica-se a integrais de superfície que se parecem com essa:
\iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, right parenthesis, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612
Aqui, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f é uma função vetorial unitária normal de start color #bc2612, S, end color #bc2612, a superfície da esfera. Você pode transformar isso na integral da área de superfície desejada encontrando uma função vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 tal que start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f será sempre igual a 1.
Verificação de conceito: qual das seguintes definições de um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 garantirá a propriedade start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, equals, 1 em todos os pontos da superfície da esfera?
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: usando essa escolha para start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, juntamente com o teorema da divergência, qual das seguintes integrais dará a área da superfície da esfera unitária? Sendo start color #bc2612, B, end color #bc2612 o volume delimitado pela esfera, também conhecida como a "bola unitária".
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: qual das seguintes funções dá vetores unitários normais à superfície da esfera unitária?
Escolha 1 resposta:

Verificação de conceito: calcule a divergência dessa função.
del, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, equals

Verificação de conceito: finalmente, dado o fato de que o volume dentro da esfera unitária é start fraction, 4, divided by, 3, end fraction, pi, calcule a seguinte integral:
\iiint, start subscript, start color #bc2612, B, end color #bc2612, end subscript, del, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, V, end color #bc2612, equals

Resumo

  • O teorema da divergência é útil sempre que o volume interior de uma região for mais fácil de descrever do que sua superfície.
  • Também ajuda se a divergência do campo vetorial relevante o transformar em uma função mais simples.

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