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Divergência

A divergência mede a mudança na densidade de um líquido escoando de acordo com um dado campo vetorial.

O que estamos construindo

  • Interprete um campo vetorial como representando o escoamento de um fluido.
  • A divergência é um operador que tem como entrada a função vetorial que define esse campo e dá como saída uma função escalar que mede a variação da densidade do fluido em cada ponto do campo.
  • Essa é a fórmula da divergência:
    divv=v=v1x+v2y+
    Aqui, v1, v2, são as funções componentes de v.

Como variar a densidade em um escoamento

Dê uma olhada no campo vetorial abaixo:
Essa é a imagem, mas qual é a função?
v(x,y)=[2xyy2]
As entradas de v são pontos no espaço bidimensional, (x,y), e as saídas são vetores bidimensionais que no campo vetorial estão ligados ao ponto (x,y) correspondente.
Uma boa maneira de entender os campos vetoriais é imaginar o escoamento que eles poderiam representar. Especificamente, para cada ponto (x,y) no espaço bidimensional, imagine uma partícula localizada no ponto (x,y) se deslocando na direção do vetor vinculado a esse ponto, v(x,y). Além disso, suponha que a velocidade da partícula em movimento é determinada pelo comprimento desse vetor. A animação abaixo mostra como isso seria para a nossa função v durante um curto período de tempo:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Observe, enquanto o fluido escoa, que algumas regiões tendem a ter menor densidade de pontos, uma vez que as partículas se afastam, como na seção superior central. Por outro lado, abaixo e à esquerda dessa região, as partículas tendem a se aproximar umas das outras e os pontos ficam mais densos.
Pergunta chave: para uma dada função vetorial v(x,y), como podemos medir a variação da densidade das partículas em torno de um ponto (x,y), visto que essas partículas fluem de acordo com os vetores dados por v(x,y)?
Podemos responder a essa pergunta usando uma variante da derivada chamada de divergência. Vamos falar mais sobre escoamento abaixo mas antes vamos estabelecer a notação e a fórmula usadas para expressar esse conceito.

Notação e fórmula da divergência

A notação da divergência usa o mesmo símbolo "" com que você já deve estar acostumado do gradiente. Assim como no gradiente, imaginamos esse símbolo isoladamente como a representação de um vetor de símbolos de derivadas parciais.
=[xy]
Escrevemos a divergência de uma função vetorial v(x,y,) assim
vDivergência de v
Isso parece não fazer sentido, já que não é um vetor de verdade. Seus componentes são operadores, não números. Mesmo assim, usar essa notação é muito útil para nos lembrar de como calcular a divergência, veja só:
v=[xy][2xyy2]=x(2xy)+y(y2)=2+2y
De forma geral, a divergência pode ser aplicada a campos vetoriais de qualquer dimensão. Isso significa que v pode ter qualquer número de variáveis de entrada, contanto que a sua saída seja de mesma dimensão. Do contrário, não representaria um campo vetorial. Se escrevermosv na forma de um vetor assim:
v(x1,,xn)=[v1(x1,,xn)vn(x1,,xn)]
Então a divergência de v ficará assim:
v=[x1xn][v1vn]=v1x1++vnxn
Vamos resumir isso com um diagrama rápido:

Interpretação da divergência

Digamos que você calculou a divergência de uma função v em um certo ponto (x0,y0), e encontrou um valor negativo.
v(x0,y0)<0
Isso significa que um fluido escoando segundo o campo vetorial definido por v tenderia a ficar mais denso no ponto (x0,y0). Por exemplo, a animação a seguir mostra um campo vetorial com divergência negativa na origem.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Por outro lado, se a divergência no ponto (x0,y0) for positiva,
v(x0,y0)>0
o fluido escoando de acordo com o campo vetorial se torna menos denso ao redor de (x0,y0). Aqui está um exemplo:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Por fim, o conceito de divergência nula é muito importante em dinâmica dos fluidos e eletromagnetismo. Ele indica que até mesmo se um fluido estiver escoando livremente, sua densidade se mantêm constante. Isso é particularmente conveniente quando modelamos fluidos incompressíveis, como a água. De fato, a própria ideia de que um fluido é incompressível pode ser comunicada com a seguinte equação:
v=0
Tais campos vetoriais são chamados de "divergência nula". Aqui está um exemplo de como esse campo deve se parecer:
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Fontes e sumidouros

Às vezes, nos pontos com divergência negativa, ao invés de pensar em um fluido ficando mais denso após um movimento momentâneo, algumas pessoas imaginam o fluido sendo drenado naquele ponto enquanto o fluido escoa constantemente. Isso deve ter essa aparência:
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Assim, pontos com divergência negativa são geralmente chamados de "sumidouros".
Da mesma forma, ao invés de pensar nos pontos com divergência positiva como se tornando menos densos durante um movimento momentâneo, esses pontos podem ser vistos como "fontes", constantemente gerando mais partículas do fluido.
Invólucro do vídeo da Khan Academy

Divergência em dimensões mais elevadas

Apesar de os diagramas e animações apresentados aqui mostrarem o caso bidimensional, você deve entender que todos esses conceitos são aplicáveis também a três ou mais dimensões.
Tente isso como um bom exercício mental para testar se você entende o que significa divergência: imagine um campo vetorial tridimensional e pense em como seriam os pontos de divergências positivas, negativas e nulas.

Exemplo 1: calcule e interprete a divergência

Campo vetorial para o Exemplo 1
Problema: defina um campo vetorial por
v(x,y)=(x2y2)i^+2xyj^
Calcule a divergência e determine se o ponto (1,2) está mais para uma fonte ou um sumidouro.
Etapa 1: calcule a divergência.
v=

Etapa 2: substitua o ponto (1,2) na expressão encontrada.
v(1,2)=

Etapa 3: interprete. O fluido no ponto (1,2) é uma fonte ou um sumidouro?
Escolha 1 resposta:

Sinais confusos

Sempre me confundo com o fato de que uma divergência positiva indique uma variação negativa da densidade, e que uma divergência negativa indique uma variação positiva da densidade. Não é confuso? A interpretação usando fontes e sumidouros ajuda um pouco, pois os pontos de divergência positiva estão gerando mais fluido, enquanto pontos de divergência negativa estão sumindo com ele.
Pessoalmente, o que me ajuda a lembrar é pensar no caso em que f é a função identidade, que leva o ponto (x,y) ao vetor [xy]. O campo vetorial resultante tem todos os vetores apontando para fora da origem (você consegue ver por quê?) e é relativamente fácil de calcular f.
f=x(x)+y(y)=1+1=2
Então, sempre que me deparo com a divergência depois de muito tempo sem usá-la e penso "hmm, é a divergência positiva ou negativa que indica uma perda de densidade?", eu consulto esse pequeno exercício e me lembro, "Ah sim! É assim que funciona, divergência positiva significa o escoamento para fora."

Outros recursos

No próximo artigo, vou apresentar uma ideia intuitiva de por que a fórmula da divergência tem a ver com o escoamento de um fluido.
Mais tarde, quando tivermos visto integrais de linha e de superfície, eu falarei sobre a definição formal da divergência.

Resumo

  • Interprete um campo vetorial como representando o escoamento de um fluido.
  • A divergência é um operador que tem como entrada a função vetorial que define esse campo e dá como saída uma função escalar que mede a variação da densidade do fluido em cada ponto do campo.
  • A fórmula da divergência é
    divv=v=v1x+v2y+
    onde v1, v2, são as funções componentes de v.
Tenha em mente, no entanto, que a divergência é usada em todos os tipos de contextos, que podem não ter nada a ver com escoamento de um fluido. A eletrodinâmica é um deles, por exemplo. A interpretação do escoamento de um fluido é muito útil, e dá uma noção intuitiva muito melhor do que o uso cego dos símbolos, mas deve ser usada com moderação.

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