If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:8:29

Transcrição de vídeo

Vamos agora provar o Teorema da Divergência, que nos diz que o fluxo através da superfície de um campo vetorial-- e o campo vetorial que usaremos será <i>F</i>. Então o fluxo através da superfície e posso chamar de <i>F</i> escalar <i>n</i>, onde <i>n</i> é um vetor normal da superfície e posso multiplicar por <i>ds</i>-- e isso é igual a integral tripla, somando com o volume dessa região, somando esse volume da divergente de <i>F</i>. E já fizemos vários vídeos explicando a intuição aqui mas agora vamos provar isso. E claro, vezes cada cubo diferencial de volume. E vamos assumir algo aqui. Vamos assumir que estamos lidando com uma região sólida simples. E isso significa, formalmente, que a região que estamos pensando pode ser tipo I, tipo II e tipo III. Eu diria que são todas as três. Então isso é tipos I, II e III. E há vídeos que dizem o que são cada uma dessas regiões, porém muitas das formas básicas caem nessa região sólida simples. Como uma esfera ou um cilindro, eles podem ser tipo I, tipo II e tipo III. E para as situações que não são de regiões sólidas simples você pode transformá-las em regiões sólidas simples. Mas vamos provar para esse caso aqui. Vamos assumir que nosso campo vetorial <i>F</i> pode ser escrito como <i>P</i>, que é uma função de <i>x</i>, <i>y</i> e <i>z</i> vezes <i>i</i>, mais <i>Q</i>, que é uma função de <i>x</i>, <i>y</i> e <i>z</i> vezes <i>j</i>, mais <i>R</i>, que é uma função de <i>x</i>, <i>y</i> e <i>z</i> vezes <i>k</i>. Vamos pensar qual desses lados da equação irá servir. Bom, primeiro, o que será <i>F</i> escalar <i>n</i>? Vamos pensar um pouco. <i>F</i> escalar <i>n</i> será igual a esse componente bem aqui vezes o componente <i>i</i> de <i>n</i>, mais esse componente aqui vezes o componente <i>j</i> de <i>n</i>, mais esse componente aqui vezes o componente <i>k</i> de <i>n</i>. Então podemos escrever isso como <i>P</i> vezes-- ou eu posso escrever <i>P</i>, abre parênteses, o produto escalar de <i>i</i> e <i>n</i>, e deixe-me ter certeza que escrevo <i>i</i> como um vetor unitário. Quero ser bem claro. O que acontecerá aqui? Se pegarmos o produto escalar de <i>i</i> e <i>n</i>, teremos apenas o componente <i>i</i>, ou seja, o fator escalar do componente <i>i</i> do vetor normal <i>n</i>, e vamos apenas multiplicar por <i>P</i>. Essencialmente, o produto dos componentes <i>x</i>, ou eu creio que podemos dizer a magnitude dos componentes <i>x</i>. E para isso, vamos adicionar <i>Q</i> vezes <i>j</i> escalar com <i>n</i>. E novamente, produto escalar de <i>j</i> e <i>n</i> temos a magnitude do componente <i>j</i> desse vetor normal aqui, e depois vezes-- ou mais, eu diria, mais <i>R</i> vezes <i>k</i> escalar com <i>n</i>. Não é como costumamos ver, mas eu penso que é razoável dizer que é verdade. Isso aqui será igual a <i>P</i> vezes a magnitude do componente <i>i</i> do vetor normal de <i>n</i>, e é exatamente o que queremos num produto escalar. E é o mesmo para o componente <i>j</i>. E o mesmo para o componente <i>k</i>. E você pode tentar definir <i>n</i> sendo igual a <i>m</i> vezes <i>i</i> mais <i>n</i> vezes <i>j</i> mais <i>o</i> vezes <i>k</i>, ou algo parecido, e verá que isso funciona bem. Então como podemos simplificar essa expressão aqui? Bom, podemos reescrever o lado esquerdo como-- a integral da superfície de <i>F</i>-- vou escrever isso várias vezes. <i>F</i> escalar <i>ds</i>, que é igual a integral da superfície de <i>F</i> escalar <i>n</i> vezes o escalar <i>ds</i> é igual a integral dupla da superfície de tudo isso aqui, é igual a integral dupla sobre a superfície-- vou copiar e colar isso-- de tudo isso aqui. E acabei de perceber que esqueci de colocar o símbolo de vetor unitário, um pequeno acento aqui. Bote alguns parênteses, e então temos o nosso <i>ds</i>. E agora tudo isso pode ser reescrito como a integral da superfície de <i>P</i> vezes isso aqui. E vou fazer na mesma cor-- de P vezes o produto escalar de <i>i</i> e <i>n</i>, <i>ds</i>, mais a integral da superfície de <i>Q</i> vezes o produto escalar de <i>j</i> e <i>n</i>, <i>ds</i>, mais a integral da superfície de <i>R</i> vezes o produto escalar de <i>k</i> e <i>n</i>-- esqueci o acento-- <i>k</i> e <i>n</i>, <i>ds</i>. E quebrei isso. Estávamos usando a integral dessa soma, e eu reescrevi como a soma das integrais. E esse é o lado esquerdo aqui. Agora vamos pensar sobre o lado direito. Qual a divergência de <i>F</i>? Eu vou ter que pegar um espaço aqui. Qual a divergência de <i>F</i>? Bom, a divergência de <i>F</i>, baseado nessa expressão de <i>F</i> será-- vou escrever aqui bem pequeno. A divergência de <i>F</i> será a parcial de <i>P</i> com respeito a-- vou fazer numa nova cor, pois estou usando muito esse amarelo. A divergência de <i>F</i> será a parcial de <i>P</i> com respeito a <i>x</i>, mais a parcial de <i>Q</i> com respeito a <i>y</i>, mais a parcial de <i>R</i> com respeito a <i>z</i>. E essa integral tripla aqui pode ser escrita como a integral tripla da parcial de <i>P</i> com respeito a <i>x</i>, mais a parcial de <i>Q</i> com respeito a <i>y</i>, mais a parcial de <i>R</i> com respeito a <i>z</i>. Isso aqui, de novo, ao invés de escrever como a integral tripla dessa soma, podemos escrever como a soma de integrais triplas. Então isso aqui pode ser reescrito como a integral tripla sobre nossa região tri-dimensional. Na verdade, vou copiar e colar isso pra não precisar reescrever. E será igual a integral tripla da parcial de <i>P</i> com respeito a <i>x</i>, <i>dV</i> mais a integral tripla da parcial de <i>Q</i> com respeito a <i>y</i>, <i>dV</i> mais, de novo, integral tripla da parcial de <i>R</i> com respeito a <i>z</i>, <i>dV</i>. E novamente retestamos nosso Teorema da Divergência. Essa é a integral da superfície, e o Teorema diz que isso precisa ser igual a isso tudo aqui. Escrevemos de uma forma diferente. E o que vou fazer, para provar isso, é mostrar que cada um desses termos correspondentes são iguais entre si, que esses são iguais entre si, que esses são iguais entre si, e esses são iguais entre si. Particularmente, vamos focar a prova nisso. E vamos usar o fato da nossa região ser do tipo I. Tipo I, tipo II e tipo III. Mas usaremos o fato de ser uma região tipo I para provar que esses dois são equivalentes. E você pode usar o fato que também é tipo II e tipo III para fazer o mesmo argumento como em por que isso é igual a isso e por que isso é igual a isso. Legendado por [Miguel Infante] Revisado por [Rodrigo Melges]