Demonstração do teorema da divergência (parte 1)

RKA22JL - Olá! Tudo bem com você? Vamos começar agora mais uma aula de matemática. E, nessa aula, vamos começar a conversar sobre o teorema da divergência. Mas o que é o teorema da divergência? O teorema da divergência realiza uma igualdade entre um fluxo de uma superfície de um campo vetorial e a integral tripla sobre a região tridimensional delimitada pela superfície do divergente do campo vetorial. Ou seja, vamos supor que haja um campo vetorial F. A integral dupla sobre a superfície do produto escalar entre o campo vetorial F e o vetor normal da superfície, que representamos com um n chapéu, dS, é igual à integral tripla sobre a região R do divergente de F, dV, que representa o diferencial de volume. O que vamos começar a fazer neste vídeo é realizar a demonstração deste teorema, mas, para isso, vamos assumir que estamos lidando com uma região sólida simples e isso significa que, formalmente, estamos pensando em uma região que pode ser do tipo um, do tipo dois ou do tipo três. Já existem vídeos nos quais eu falei sobre o significado desses tipos de regiões, mas a maioria das formas básicas acabam sendo uma dessas regiões, ou seja, é uma região sólida simples. Por exemplo, uma esfera ou um cilindro se enquadram em um desses tipos de regiões, mas e quando a região não for de nenhum desses três tipos? O ideal é que você faça uma transformação, fazendo com que ela se torne uma região simples. Mas vamos supor que estamos lidando com uma região sólida simples. Sabendo disso, vamos assumir que o nosso campo vetorial F pode ser escrito como: P, que é uma função de x, y e z, vezes i chapéu, mais Q, que também é uma função de x, y, z, vezes j chapéu, mais R, que é outra função de x, y e z, vezes k chapéu. Feito isso, vamos abrir cada um desses lados da igualdade. Primeiro, vamos pensar sobre o F escalar, n. Vamos pensar um pouco sobre isso. O produto escalar entre F e n é igual a essa componente vezes a componente i de n, mais essa componente vezes a componentes j de n, mais essa componente vezes a componente k de n. Podemos escrever isso como P vezes, entre parênteses, o produto escalar entre i chapéu e n chapéu. Não podemos esquecer que i chapéu é um vetor unitário, ok? Precisamos deixar isso bem claro, porque, ao calcular o produto escalar entre i chapéu e n chapéu, teremos apenas a componente i do vetor normal n chapéu. E aí, vamos multiplicar isso por P, ou seja, basicamente, vamos fazer o produto escalar entre os módulos das componentes de x. Somamos isso com o Q vezes j chapéu, escalar com n chapéu. Novamente, fazendo o produto escalar de j chapéu com n chapéu, teremos o produto escalar entre os módulos das componentes j. Isso mais R vezes k chapéu escalar, n chapéu. Não costumamos ver dessa forma, mas podemos dizer que é razoável pensar assim. Afinal, isso será igual a P vezes o módulo da componente i do vetor normal n, e isso é exatamente o que queremos no produto escalar, e o mesmo se aplica à componente j e à componente k. Você pode tentar definir o n chapéu como sendo igual a m vezes i chapéu, mais n vezes j chapéu, mais O vezes k chapéu, ou algo parecido, e verá que isso funciona muito bem. Enfim, visto isso agora, como podemos simplificar essa expressão? Podemos reescrever o lado esquerdo como a integral de superfície de F. Eu vou escrever isso aqui várias vezes. Então colocamos F escalar dS, que é igual à integral de superfície de r escalar, n chapéu, vezes o escalar dS. Ou seja, é igual à integral dupla sobre a superfície de tudo isso que escrevi. Eu vou reescrever rapidinho novamente, ok? Colocamos tudo isso aqui entre parênteses e, no final, o dS. Agora, tudo isso pode ser reescrito como a integral da superfície de P vezes o produto escalar entre i chapéu e n chapéu, dS, mais a integral de superfície de Q, vezes o produto escalar entre j chapéu e n chapéu, dS, mais a integral de superfície de R, vezes o produto escalar entre k chapéu e n chapéu, vezes o escalar dS. Observe que eu quebrei isso aqui. Eu estava fazendo a integral dessa forma. Agora, o que temos aqui é a soma das integrais, e tudo isso é o lado esquerdo do teorema da divergência. Agora, vamos pensar sobre o lado direito. Qual é o divergente de F? O divergente de F, baseado nessa expressão de F, será igual à parcial de P em relação a x, mais a parcial de Q em relação a y, mais a parcial de r em relação a z. Sabendo disso, essa integral tripla pode ser reescrita como a integral tripla da parcial de P em relação a x, mais a parcial de Q em relação a y, mais a parcial de r em relação a z. Isso aqui de novo, ao invés de escrever como a integral tripla dessa soma, podemos escrever como a soma das integrais triplas. Então isso pode ser reescrito como a integral tripla sobre a nossa região tridimensional da parcial de P em relação a x, dV, mais a integral tripla da parcial de Q em relação a y, dV, mais a integral tripla da parcial de r em relação a z, dV. Novamente falando, o teorema da divergência diz que isso precisa ser igual a tudo isso aqui. Só escrevemos essa igualdade aqui em cima de uma forma diferente. Sendo assim, para provar que essa igualdade é verdadeira, temos que mostrar que cada um desses termos correspondentes são iguais entre si. Ou seja, que esses dois aqui são iguais entre si, que esses aqui são iguais entre si e que esses aqui são iguais entre si. O nosso objetivo é provar isso. Claro, nossa região R pode ser do tipo um, do tipo dois ou do tipo três, mas, particularmente, vamos fazer isso em uma região do tipo um. Porém, você pode utilizar o mesmo argumento para regiões do tipo dois e do tipo três. Ou seja, para que o teorema da divergência seja verdadeiro, cada um desses termos precisa ser igual. Enfim, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!