Demonstração do teorema da divergência (parte 2)

RKA22JL - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. Nesta aula, vamos conversar um pouco sobre o teorema da divergência e como podemos provar que existe uma igualdade entre o fluxo de uma superfície de um campo vetorial e a integral tripla sobre essa região tridimensional, delimitada pela superfície do divergente do campo vetorial. Para isso, podemos reescrever os dois lados dessa igualdade, e, aí, se o nosso objetivo é demonstrar a igualdade, devemos mostrar que cada uma dessas partes é igual. Para realizar essa demonstração e provar isso, usarei o fato de que nossa região original é uma região sólida simples, mais especificamente, uma região do tipo um. Depois, utilizaremos o mesmo argumento e o fato de que essa vai ser uma região do tipo dois para provar isso. E exatamente o mesmo argumento e o fato de que isso é uma região do tipo três para provar isso também. Eu vou assumir que isso é uma região do tipo um, isso é uma região do tipo dois, e isso é uma região do tipo três. Eu vou fazer a demonstração para a região do tipo um, mas, em outro vídeo, faremos o mesmo para uma região do tipo dois e para uma região do tipo três. Continuando, precisamos lembrar que uma região do tipo um é uma região igual ao conjunto de todos os x, y e z, de forma que os pares x e y são membros de um domínio no plano x,y e, z, é limitado por duas funções. O limite inferior de z é F1 (x, y). Sendo assim, isso vai ser menor ou igual a z e, z, tem que ser igual ou menor que F2 (x,y). Para que possamos compreender bem isso aqui, eu vou desenhar uma versão geral de uma região do tipo um. Deixe eu desenhar aqui os meus eixos x, y e z. Esse é o meu eixo z, esse é o meu eixo x e esse é o meu eixo y. Agora, podemos ter uma região d. Eu vou desenhar essa região como um pequeno círculo e repare que, para qualquer x,y em nossa região d, podemos avaliar a função F. Assim, podemos descobrir um F1. Isso deve definir um F1, que nós podemos imaginar como uma superfície ou algo pequeno que está na parte inferior de um cilindro, se a gente pensar dessa forma. Então, para todo x,y aqui, quando você avalia ou quando você descobre qual é o F1 correspondente a cada um desses pontos nesse domínio, teremos uma superfície que se parece com algo assim. Como eu falei, essa superfície não precisa ser completamente plana. Ela pode ter algumas curvas ou alguma outra forma, mas isso mostra que, para todo x e y, quando você faz essa avaliação, o associaremos a um ponto que está nessa superfície do limite inferior. Agora, temos uma superfície no limite superior, que deve estar aqui. Pegando qualquer x,y e avaliando-os em F2, teremos esta superfície. Novamente, as duas superfícies não precisam ser planas, na verdade, elas não precisam nem ser parecidas. Eu poderia ter aqui uma espécie de cúpula ou poderíamos ter algo inclinado. Ou seja, ter alguma forma que não seja plana. Isso que estou fazendo é só para lhe dar uma ideia geral. Temos z preenchendo a região. Lembre-se de que a região não é a superfície da figura, é todo o volume dentro dela. Quando o z varia entre essa superfície e essa superfície, para qualquer x,y no nosso domínio, preencheremos toda essa região. Assim, podemos preencher toda essa região. Da forma que eu desenhei, nós temos um cilindro, mas não precisa ser um cilindro assim. Inclusive, essas duas superfícies podem se tocar, fazendo com que a gente não tenha lado aqui nesse cilindro. Poderíamos também ter algumas rugosidades ou algo inclinado de alguma forma. Eu espero que você compreenda isso, afinal, eu estou fazendo uma generalização de uma região do tipo um. Agora, você pode pensar nessa região do tipo um como algo que pudéssemos quebrar em três partes. Ou seja, quebrá-la em três superfícies. Por exemplo, vamos chamar essa daqui de superfície 1, essa, nós vamos chamar de superfície 2, que é o topo do cilindro ou alguma outra forma que poderíamos ter aqui, e vamos chamar o lado, caso essas duas superfícies não se toquem, de superfície 3. Talvez, não haja uma superfície três, caso essas duas não se toquem, como no caso de uma esfera. Mas vamos assumir que haja uma superfície três. Então, se estamos avaliando a integral de superfície... Veremos essa integral tripla depois, ok? Mas podemos reescrever essa integral de superfície aqui. Como toda a superfície S1 mais S2 mais S3, podemos dividir isso aqui em três integrais de superfície. Então, vamos fazer isso. Lembre-se de que focamos nessa parte aqui. A integral de superfície de R vezes o produto escalar entre k chapéu e o n chapéu, dS, pode ser reescrita como: a integral de superfície sobre S2, de R vezes o produto escalar entre k chapéu e n chapéu, dS, mais a integral de superfície... Eu estou apenas dividindo a superfície, ok? Mais a integral de superfície sobre S1 de R vezes o produto escalar entre k chapéu e n chapéu, dS, mais a integral de superfície sobre S3 da mesma coisa, R vezes o produto escalar entre k chapéu e o n chapéu, dS. Agora, da forma como desenhei e, de fato, esse é o caso, S3 existe. Afinal, essas duas superfícies não se tocam. Para essa situação em que temos uma região do tipo 1, temos essa superfície entre regiões, mas nem sempre há. Na esfera, não haveria essa superfície, então, teríamos zero aqui, mas se há essa superfície em uma região do tipo um a que conecta os limites do topo e do fundo, então o vetor normal nunca terá o componente k. Ele estará sempre apontado para fora. Só terá componentes i e j. Então, se pegarmos esse vetor normal, que não tem componente k, e fizermos o escalar com o vetor k, ou seja, o produto escalar de duas coisas que são ortogonais, teremos zero. Então, isso será zero porque k escalar n será zero nessa situação para a superfície. K escalar n será igual a zero. Essa parte aqui acaba sendo simplificada apenas para isso. Em outro vídeo, nós podemos expressar esses termos de integrais de superfície em termos de integrais duplas sobre esse domínio aqui. Aí, podemos avaliar essas integrais de superfície. Enfim, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!