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Transcrição de vídeo

Agora estamos prontos para o importante da prova. No último vídeo dissemos que só podemos provar que essas partes são iguais, se provarmos que isso é igual a isso. Porque aqui em amarelo é outro jeito de escrever o fluxo pela superfície e aqui em verde é outro jeito de escrever a integral tripla sobre nossa região de divergência de f. E o que vou fazer nesse vídeo e provavelmente no próximo também é provar que esses dois são equivalentes entre si. E vou provar isso usando o fato de que nossa região original é uma região sólida simples, especificamente, uma região de tipo um. Depois, e essencialmente será isso, porque você pode usar o mesmo argumento e o fato de ser uma região de tipo dois para provar isso, e exatamente o mesmo argumento e o fato de que isso é uma de tipo três para provar isso. Então vou assumir que é de tipo um, que eu posso. É uma região de tipo um, dois e três Devido ao fato de ser de tipo um, vou provar essa relação bem aqui. Depois, vou deixar para você fazer o mesmo argumento com a de tipo dois e a de tipo três. Então vamos continuando. Então região de tipo um, só para nos lembrarmos, uma região de tipo um é uma região que é igual ao conjunto de todos os x, y e z, de forma que os pares xy são membros de um domínio no plano xy, e z é limitado por duas funções. O limite inferior de z é f1 de x e y. E isso vai ser menor ou igual a z. O limite superior de z, podemos chamar de f2 de x,y. Depois, deixa eu ajustar o conjunto das notações aqui. E vou desenhar uma versão geral de uma região de tipo um. Deixa eu desenhar meus eixos x, y e z. Esse é meu eixo z. Esse é meu eixo x. E esse é meu eixo y. E, assim, podemos ter uma região D. Nossa região, vou desenhá-la como um pequeno círculo aqui. Essa é nossa região D. E para qualquer xy na nossa região D, você pode avaliar a função f. Você pode descobrir uma f1, eu devo dizer. Isso deve definir uma f1, que nós podemos imaginar como a superfície ou algo pequeno que está no fundo de um cilindro, se quiser. Então todo xy aqui, quando você avalia ou quando você descobre qual f1, correspondente desses pontos e nesse domínio, seria, você deve ter uma superfície que parece algo assim. Não precisa ser plana, mas espero que já dê a ideia. Não precisa ser completamente plana. Pode ser curvada ou de qualquer outra forma. Mas isso mostra que todo xy, quando você o avalia bem aqui, ele se associa com um ponto, essa superfície do limite inferior aqui. E vou desenhar uma linha pontilhada para mostrar que só serve para os xy's nesse domínio. Depois, temos uma superfície no limite superior que deve estar aqui. Dê-me qualquer xy. Quando eu avaliar f2, tenho essa superfície aqui. E de novo, não precisam parecer as mesmas. Isso poderia ser como uma cúpula ou poderia ser inclinada ou quem sabe como. Mas isso deve dar uma ideia geral. Então z preenche a região. Lembre-se, a região não é só a superfície da figura, é todo o volume dentro dela. Então quando z varia entre essa superfície e essa superfície, para qualquer xy no nosso domínio, preencheremos toda a região. Assim podemos preencher toda essa região. Assim que desenhei. Parece um cilindro, mas não precisa ser um cilindro assim. E essas superfícies podem se tocar, fazendo com que não houvesse lado do cilindro. Poderiam ser mais rugosas que isso. Poderiam ser inclinadas de alguma forma. Mas espero que essa seja uma boa generalização de uma região de tipo um. Agora, uma região de tipo um, você pode pensar nela como se pudesse quebrá-la em três partes. Pode ser quebrada em superfície -- ou superfícies de tipo um, devo dizer, podem ser quebradas em três partes. Vamos chamar essa de superfície um. Vamos chamar essa aqui de superfície dois, o topo do cilindro, ou qualquer tipo de topo rugoso que pode ser. E vamos chamar o lado, se essas duas superfícies não se tocam, vamos chamar de superfície três. Talvez não haja uma superfície três se essas duas se tocarem, como no caso da esfera. Mas vamos assumir que haja uma superfície três. Então se estamos avaliando a integral da superfície -- vamos ver essa integral tripla em breve. Vamos pensar como podemos reescrever essa integral de superfície bem aqui. Toda a superfície é S1 mais S2 mais S3. Então podemos dividir isso em três integrais de superfície. Então façamos. Lembre-se que focamos nessa parte bem aqui. Então a integral de superfície de R vezes k vezes n, o produto escalar de k e n, ds pode ser reescrita como -- deixa eu escrever dessa forma -- pode ser reescrita como a integral de superfície sobre S2 de R vezes k escalar n ds, mais a integral de superfície -- estou apenas dividindo a superfície -- mais a integral de superfície sobre S1 de R vezes k escalar n ds, mais a integral de superfície sobre S3 da mesma coisa, R vezes k escalar n ds. Agora, a forma como desenhei, esse é de fato o caso, S3 existe se essas superfícies não se tocam. E para a situação de tipo um aqui, o vetor normal em qualquer ponto no lado do cilindro para essa região de tipo um -- se há isso entre regiões. Nem sempre há. Na esfera, não haveria essa superfície, que seria zero. Mas se há essa superfície em uma região de tipo um, a que conecta os limites do topo e do fundo, então o vetor normal nunca terá a componente k. Ele estará sempre apontando para fora. Só terá componentes i e j. Então se você pega esse vetor normal aqui, que não tem componente k, e você faz o escalar com um vetor k, então o produto escalar de duas coisas que são ortogonais, o vetor k fica assim, você terá zero. Então isso será zero porque k escalar n será zero nessa situação para essa superfície. k escalar n será igual a zero. Então essa parte aqui simplifica isso bem aqui. No próximo vídeo nós podemos expressar esses termos de integrais de superfície, mas em termos de integrais duplas sobre esse domínio bem aqui. Nós vamos meio que avaliar essas integrais de superfície. Revisado por [Rodrigo Melges]