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Transcrição de vídeo

Vamos calcular esta integral de superfície em verde. Para isto, precisamos parametrizar a superfície dois. Digamos que a superfície dois pode ser representada pela função de um vetor de posição. Chamarei esta função de t --t para dois-- t -- que é um vetor -- será uma função de x e de y. Esses serão nossos parâmetros. E será igual a-- Podemos fazer isso porque a nossa superfície é uma função de x e de y. Isso será igual a x vezes i mais y vezes j mais f dois de xy vezes k para todos os xy's que pertencem ao domínio. Com isso fora do caminho, iremos reescrever k escalar n ds. Deixe-me escrever isto aqui. k escalar n ds é igual a -e poderíamos colocar parênteses aqui para calcular este produto escalar. Pelo menos, é assim que gosto de pensar. Isto é o mesmo que k escalar com o produto vetorial da derivada parcial de t. Deixe-me esclarecer isto. Vou fazer isso em magenta. O produto vetorial da derivada parcial de t em relação a x com a derivada parcial de t em relação a y vezes um pedaço da nossa área -- vezes da. Um pedaço da nossa área no domínio de xy. Fizemos isso várias vezes quando calculamos integrais de superfície. E sabemos intuitivamente porque isso funciona. Estamos apenas calculando a integral de superfície. E queremos ter certeza de que a orientação está correta. Para que o teorema da divergência seja verdadeiro -- do jeito que definimos-- todos os vetores normais devem estar voltados para fora. Para esta superfície, o vetor normal deve apontar diretamente para cima. Não necessariamente, mas, pelo menos, para cima. Se fosse uma curva, não seria necessariamente para cima. Mas precisa apontar para fora. Nos lados, estaria direcionado assim e embaixo, estaria direcionado para fora e indo para baixo. Vamos nos certificar que isto está apontando para cima. Se mudamos em relação a x, vamos nesta direção. Mudando em relação a y, vamos naquela direção. Use a regra da mão direita com o produto vetorial --dedo indicador aqui, dedo médio ali; seu polegar direito vai direto para cima, na direção certa-- Isto seria um vetor que aponta para cima. Temos a orientação correta da nossa superfície. Pensemos sobre o que isto significa. É importante perceber que poderíamos calcular todos os componentes, mas vamos apenas calcular o produto escalar disso com k. Só estamos interessados na componente k, --mas vou trabalhar nisso-- Isto é igual a k vezes a matriz i, j, k da derivada parcial de t em relação a x. A derivada parcial de t em relação a x --farei isto em azul-- será um, zero, e a derivada parcial de f dois em relação a x. E a derivada parcial de t em relação a y é zero, um e a derivada parcial de f dois em relação a y. E, claro, temos que multiplicar por da. Tudo isso será igual ao produto escalar entre o vetor unitário k e -- e nem preciso calcular tudo isso-- Será alguma coisa vezes o vetor unitário i menos alguma coisa -- menos alguma coisa vezes alguma outra coisa necessariamente-- vezes o vetor unitário j. Podemos pensar sobre o vetor unitário k. O vetor unitário k será um vezes um menos zero. Ficará mais o vetor unitário k. Sabemos que é um vezes o vetor unitário k. E, obviamente, temos nosso da. Mas quando você calcular este produto escalar, você fica apenas com as componentes k, que é, essencialmente, um vezes um. Você acaba com um escalar de valor um. Tudo isto simplificou-se a da. Podemos reescrever nossa integral de superfície. E vamos reescrevê-la no domínio xy --no domínio dos nossos parâmetros. Nossa integral de superfície aqui em cima- isto será bom para este vídeo- Faremos o mesmo com esta superfície. Estou apenas garantindo a orientação correta. Esta integral de superfície, s dois -- e até vou reescrevê-la-- s dois, que é uma função. r é uma função de x, y, e z vezes k escalar n ds --eu reescrevi tudo isso-- é equivalente à integral dupla nos parâmetros do nosso domínio -que é D- de r de x, y, e z vezes tudo isso. Tudo isto simplificou-se a da. Já que quero reescrever isso em termos dos meus parâmetros, vou reescrever isso como r de xy. E enquanto estamos nessa superfície, z é igual a f dois. Então é xy e f dois de xy. Tudo isto simplificou-se a da. Você pode estar dizendo: "Sal, não parece que você simplificou tanto assim". Mas, pelo menos coloquei em termos de uma integral dupla em vez de uma integral de superfície. Para mim, isto é uma simplificação. No próximo vídeo, faremos a mesma coisa com isso, -estou garantindo a orientação dos nossos vetores- E podemos colocar um sinal negativo para garantir. E depois, pensaremos sobre as integrais triplas e como simplificá-las. [Legendado por: Pilar Dib] [Revisado por: Rosana Cabral]