Demonstração do teorema da divergência (parte 3)

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos continuar conversando sobre a demonstração do teorema da divergência. O que vamos fazer aqui é calcular a integral de superfície dessa superfície. Para fazer isso, precisamos parametrizar a superfície dois. Digamos que a superfície dois pode ser representada pela função de um vetor de posição. Eu vou chamar essa função de t, t para a superfície 2, em que t é um vetor, que será uma função de (x,y). Esse serão nossos parâmetros. Podemos fazer isso porque a nossa superfície é uma função de (x,y), então isso será igual a (xî) mais (yj^) mais F2 (x,y) vezes k^ para todos os x e y que pertencem ao domínio. Com isso fora do caminho, podemos reescrever k escalar m (ds). Então vamos escrever isso aqui. k escalar m (ds) sendo igual a... Poderíamos colocar parênteses aqui para calcular esse produto escalar, pelo menos é assim que eu gosto de pensar. Isso é o mesmo que o produto escalar entre k e o produto vetorial da derivada parcial de t em relação a x com a derivada parcial de t em relação a y. Isso tudo vezes um pedaço da nossa área, ou seja, vezes dA. Um pedaço da nossa área no domínio de x e y. Fizemos isso várias vezes quando calculamos integral de superfície e sabemos intuitivamente porque isso funciona. Afinal, estamos apenas calculando a integral de superfície e queremos ter certeza de que a orientação está correta. Para que o teorema da divergência seja verdadeiro, do jeito que definimos, todos os diretores normais devem estar voltados para fora. Para essa superfície, o vetor normal deve apontar diretamente para cima. Claro, se fosse uma curva não seria necessariamente para cima, mas precisaria apontar para fora. Nos lados, por exemplo, estaria direcionado para fora e aqui embaixo estaria direcionado para baixo. Enfim, vamos nos certificar de que, aqui, isso está apontando realmente para cima. Se mudamos em relação a x, vamos nessa direção. Mudando em relação a y, vamos nessa outra direção. Você pode usar a regra da mão direita com o produto vetorial, ou seja, o dedo indicador aqui, o dedo médio ali e o seu polegar direito vai direto para cima, na direção certa. Então, isso aqui é um vetor que aponta para cima. Pronto, temos a orientação correta da nossa superfície. Então, vamos pensar sobre o que isso significa. É importante perceber que poderíamos calcular todas as componentes, mas vamos apenas calcular o produto escalar disso aqui com k. Só estamos interessados na componente k, mas mesmo assim eu vou trabalhar nisso aqui. Sendo assim, isso é igual a k vezes a matriz [i, j, k] da derivada parcial de t relação a x. A derivada parcial de t em relação a x será 1, zero e a derivada parcial de F2 em relação a x. Agora, também colocamos as componentes da derivada parcial de t em relação a y. Assim, zero, 1 e a derivada parcial de F2 em relação a y. E claro, temos que multiplicar por dA. Tudo isso será igual ao produto escalar entre o vetor unitário k e... Bem, eu nem preciso calcular tudo isso. Será alguma coisa vezes o vetor unitário i menos alguma coisa vezes alguma outra coisa necessária vezes o vetor unitário j. Podemos pensar aqui sobre o vetor k. O vetor unitário k será 1 vez 1 menos zero. Então teremos o vetor unitário k. Afinal, sabemos que é 1 vez o vetor unitário k. E, obviamente, temos o nosso dA. Quando calcular esse produto escalar, você vai ficar apenas com as componentes k, e é, essencialmente, 1 vezes 1. Você acaba ficando com o escalar de valor 1. Dessa forma, tudo isso aqui acaba sendo igual a apenas dA. Podemos reescrever nossa integral de superfície aqui e vamos reescrevê-la no domínio xy, no domínio dos nossos parâmetros. Nossa integral de superfície está aqui em cima, mas vamos apenas fazer para essa superfície aqui. É bom garantir a orientação correta. Essa é a integral de superfície s2 uma função. R é uma função de (x, y, z) vezes k escalar nds e isso é equivalente à integral dupla nos parâmetros do nosso domínio, que nesse caso é d de r, x, y e z vezes tudo isso. Enfim, tudo isso aqui acabou sendo simplificado apenas para dA. Já que quero reescrever isso aqui em termos dos meus parâmetros, eu vou reescrever isso aqui como r de (x, y) e enquanto estamos nessa superfície, z é igual a F2, F2 de x e y. Tudo isso simplificou-se a dA. Você deve estar dizendo agora: "Não parece que está tão simplificado". Bem, eu coloquei isso aqui em termos de uma integral dupla em vez de uma integral de superfície e, para mim, isso é uma simplificação. No próximo vídeo faremos a mesma coisa com isso, inclusive vamos conversar sobre integrais triplas e como podemos simplificá-las. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até próxima!