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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 11: Demonstração do teorema da divergência- Demonstração do teorema da divergência (parte 1)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 2)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 3)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 4)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 5)
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Demonstração do teorema da divergência (parte 3)
Cálculo de integral de superfície. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vindo a
mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos continuar conversando
sobre a demonstração do teorema da divergência. O que vamos fazer aqui é calcular
a integral de superfície dessa superfície. Para fazer isso, precisamos
parametrizar a superfície dois. Digamos que a superfície dois pode ser
representada pela função de um vetor de posição. Eu vou chamar essa função de t,
t para a superfície 2, em que t é um vetor,
que será uma função de (x,y). Esse serão nossos parâmetros. Podemos fazer isso porque a nossa
superfície é uma função de (x,y), então isso será igual a
(xî) mais (yj^) mais F2 (x,y) vezes k^ para todos os x e y
que pertencem ao domínio. Com isso fora do caminho,
podemos reescrever k escalar m (ds). Então vamos escrever isso aqui. k escalar m (ds)
sendo igual a... Poderíamos colocar parênteses aqui
para calcular esse produto escalar, pelo menos é assim
que eu gosto de pensar. Isso é o mesmo que
o produto escalar entre k e o produto vetorial da derivada
parcial de t em relação a x com a derivada
parcial de t em relação a y. Isso tudo vezes um pedaço da nossa
área, ou seja, vezes dA. Um pedaço da nossa área
no domínio de x e y. Fizemos isso várias vezes
quando calculamos integral de superfície e sabemos intuitivamente
porque isso funciona. Afinal, estamos apenas
calculando a integral de superfície e queremos ter certeza de
que a orientação está correta. Para que o teorema da divergência
seja verdadeiro, do jeito que definimos, todos os diretores normais
devem estar voltados para fora. Para essa superfície, o vetor normal
deve apontar diretamente para cima. Claro, se fosse uma curva não seria
necessariamente para cima, mas precisaria
apontar para fora. Nos lados, por exemplo,
estaria direcionado para fora e aqui embaixo estaria
direcionado para baixo. Enfim, vamos nos certificar
de que, aqui, isso está apontando
realmente para cima. Se mudamos em relação a x,
vamos nessa direção. Mudando em relação a y,
vamos nessa outra direção. Você pode usar a regra da mão
direita com o produto vetorial, ou seja, o dedo indicador aqui,
o dedo médio ali e o seu polegar direito vai
direto para cima, na direção certa. Então, isso aqui é um vetor
que aponta para cima. Pronto, temos a orientação
correta da nossa superfície. Então, vamos pensar
sobre o que isso significa. É importante perceber que poderíamos
calcular todas as componentes, mas vamos apenas calcular
o produto escalar disso aqui com k. Só estamos interessados
na componente k, mas mesmo assim eu vou
trabalhar nisso aqui. Sendo assim, isso é igual a
k vezes a matriz [i, j, k] da derivada parcial de t relação a x. A derivada parcial de t
em relação a x será 1, zero e a derivada parcial
de F2 em relação a x. Agora, também colocamos as componentes
da derivada parcial de t em relação a y. Assim, zero, 1 e a derivada parcial
de F2 em relação a y. E claro, temos que
multiplicar por dA. Tudo isso será igual ao produto
escalar entre o vetor unitário k e... Bem, eu nem preciso
calcular tudo isso. Será alguma coisa
vezes o vetor unitário i menos alguma coisa vezes
alguma outra coisa necessária vezes o vetor unitário j. Podemos pensar
aqui sobre o vetor k. O vetor unitário k
será 1 vez 1 menos zero. Então teremos o vetor unitário k. Afinal, sabemos que
é 1 vez o vetor unitário k. E, obviamente,
temos o nosso dA. Quando calcular
esse produto escalar, você vai ficar apenas
com as componentes k, e é, essencialmente, 1 vezes 1. Você acaba ficando
com o escalar de valor 1. Dessa forma, tudo isso aqui
acaba sendo igual a apenas dA. Podemos reescrever nossa
integral de superfície aqui e vamos reescrevê-la no domínio xy,
no domínio dos nossos parâmetros. Nossa integral de superfície
está aqui em cima, mas vamos apenas fazer
para essa superfície aqui. É bom garantir
a orientação correta. Essa é a integral de superfície
s2 uma função. R é uma função de (x, y, z)
vezes k escalar nds e isso é equivalente à integral dupla
nos parâmetros do nosso domínio, que nesse caso é d
de r, x, y e z vezes tudo isso. Enfim, tudo isso aqui acabou sendo
simplificado apenas para dA. Já que quero reescrever isso aqui
em termos dos meus parâmetros, eu vou reescrever isso
aqui como r de (x, y) e enquanto estamos nessa
superfície, z é igual a F2, F2 de x e y. Tudo isso
simplificou-se a dA. Você deve estar dizendo agora: "Não parece que está
tão simplificado". Bem, eu coloquei isso aqui
em termos de uma integral dupla em vez de
uma integral de superfície e, para mim,
isso é uma simplificação. No próximo vídeo faremos
a mesma coisa com isso, inclusive vamos conversar sobre integrais
triplas e como podemos simplificá-las. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar
para você um grande abraço e até próxima!