Demonstração do teorema da divergência (parte 4)

RKA3JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. Neste vídeo, vamos conversar sobre mais uma etapa da demonstração do Teorema da Divergência. E uma coisa importante a se falar é que, às vezes, quando você está demonstrando algo em várias partes, conforme estamos fazendo aqui, é fácil de se perder. Afinal, o que estamos tentando fazer aqui é demonstrar o Teorema da Divergência. Para isso, a gente começou reescrevendo o fluxo através de uma superfície e a integral tripla da divergência. E aí, falamos o seguinte, se a gente provar que cada uma destas componentes são iguais entre si, nossa demonstração estará feita. Eu disse que usaríamos o fato disso aqui ser uma região do tipo 1 para aprovar esta parte, e disso ser uma região do tipo 2 para provar esta parte, e disso ser uma região do tipo 3 para provar esta outra parte. Eu vou mostrar aqui que se isso é uma região do tipo 1, podemos provar isso. Também vamos usar o mesmo argumento para provar os outros dois casos. Em cada caso, o Teorema da Divergência deve estar certo. Vamos ver esta parte aqui e, em particular, o cálculo desta integral de superfície. Para calcular, vamos quebrar a superfície inteira em três superfícies. Esta superfície aqui no limite superior de "z", esta outra no limite inferior de "z" e esta aqui na lateral. Isso se você estiver imaginando um cilindro aqui. Claro, uma superfície como essa não precisa ter a base ou o topo planos. E para a região do tipo 1, não precisa nem mesmo ter esta superfície lateral. O que temos aqui é o caso em que as duas superfícies não se tocam dentro desse domínio aqui. Enfim, quebramos isso aqui em três superfícies e observamos que o vetor normal neste lado bem aqui nunca terá uma componente "k". De forma que se você calcular o produto escalar entre esse vetor normal e o vetor unitário "k", teremos um valor igual a zero. Com isso, a nossa integral de superfície fica simplificada apenas para a integral em S₂ e a integral em S₁. A gente já calculou aqui a integral de superfície de S₂ ou ao menos a transformamos em uma integral dupla no domínio. Agora, eu vou fazer exatamente a mesma coisa aqui em S₁. Vamos nos lembrar do nosso objetivo aqui. Queremos expressar S₁. Esta integral de superfície em S₁ é R(x, y, z). Até aqui só escrevemos "R", mas isso deixa explícito que "R" é uma função de "x", "y" e "z" vezes "k" escalar "n", ds. A forma de calcularmos qualquer integral de superfície é parametrizando essa superfície aqui. Vamos apresentar, então, a parametrização de nossa superfície. Digamos que S₁, eu vou usar a letra "e" aqui para nossa parametrização dessa superfície, ok? Então, a parametrização desta superfície vai ser e(x, y) sendo igual a "x" vezes î, mais "y" vezes j^, mais, como está é uma região do tipo 2, nossa superfície é uma função de "x" e "y", então, mais F₁, que é uma função de "x" e "y", vezes k^. A gente tem F₁ bem aqui. Esta é a região em nosso limite inferior para todos os pares "x" e "y" dentro do domínio em questão. Como temos a nossa parametrização, podemos pensar agora sobre como vamos escrever isso aqui à direita, este "n.ds". A gente já viu este "n.ds" várias vezes. De fato, isso é igual ao vetor "ds", e isso é igual ao produto vetorial da parcial da parametrização com relação a um dos parâmetros, com a parcial em relação ao outro parâmetro, vezes "da". A gente precisa ter certeza de que a ordem está correta, porque estamos falando de um produto vetorial. Aqui eu estou falando que temos o produto vetorial entre a parcial da parametrização em relação a "y" e a parcial da parametrização em relação a "x", vezes "da". A gente precisa ter certeza que esta é a orientação correta, pois como estamos falando da superfície na base, precisamos ter algo orientado para baixo, para fora da região. Se estamos observando a direção "y", a parcial em relação a "y" é isso e a parcial em relação a "x" é isso. Usando a regra da mão direita, com o nosso polegar orientado para baixo, assim, eu vou desenhar a minha mão direita aqui, ok? O meu indicador ficaria assim e meu dedo médio dobraria assim. Eu não quero pensar aqui agora onde os meus outros dois dedos estão neste momento, ok? Mas o meu dedão polegar estaria orientado para baixo. A ordem está correta e ela é diferente ou oposta à ordem que temos quando a gente observa a superfície de cima. Ou seja, basicamente, teremos um sinal negativo na frente disso aqui. Mas para não ficar apenas nessa fala, nessa observação, vamos desenvolver isso aqui embaixo melhor, ok? Sendo assim, temos que isto aqui é igual ao determinante "d". Eu vou colocar aqui na primeira linha os vetores unitários "i", "j", "k". Aí, tudo que vamos colocar aqui nesta matriz, vezes o "da". Mas olhando aqui dentro da matriz, na segunda linha vamos colocar o parcial de "e" em relação a "y", que neste caso é o quê? Na primeira coluna é zero, na segunda é 1 e na terceira é a parcial de F₁ em relação a "y". Agora, na terceira linha, colocamos a parcial de "e" em relação a "x", onde na primeira coluna teremos 1, na segunda teremos zero, e na terceira teremos a parcial de F₁ em relação a "x". Aí, quando a gente calcular tudo isso aqui, teremos isso sendo igual a alguma coisa vezes "i", menos outra coisa vezes "j". E para a componente "k", teremos zero vezes zero, menos 1 vezes "k", que é -k. E aí, tudo isso vezes "da". O motivo pelo qual eu ainda não me preocupei sobre como estas coisas ficarão, é que eu tenho que calcular o produto escalar com "k". Então, tudo isso aqui que eu posso escrever no domínio (x, y), é igual à integral dupla no domínio de nossos parâmetros no plano XY de R(x, y). Em vez de colocar "z", eu vou colocar F₁(x, y). Afinal, estamos na superfície inferior. Sendo assim, teremos tudo em função de nossos parâmetros, vezes todo este negócio aqui escalar com "k". E o que é "k" escalar com isso? O produto escalar entre "k" e "-k" é -1. Então, temos só que deixar isso aqui como "da" negativo. Eu vou colocar "da" aqui e o sinal de negativo aqui no início, ok? Lembre-se de que expressamos essa integral de superfície como a soma de duas integrais duplas. Ou seja, a soma disso com isso. Na verdade, eu acho interessante a gente reescrever isso aqui para deixar as coisas mais claras. Esta integral de superfície, a integral de superfície em toda a superfície de "R" do produto escalar de "k" e "n", "ds" é igual à integral dupla no domínio "d" disso aqui menos isso aqui, "da". Então, eu vou colocar aqui a integral dupla no domínio "d" de R(x, y, F₂(x, y)), menos R(x, y) , F₁(x, y)). Aí, tudo isso vezes "da". Pronto, demonstramos que isso é igual a isso. Agora, só temos que mostrar que isso também é igual à mesma expressão. Provamos isso para o caso do tipo 1 e usamos exatamente o mesmo argumento para provar o tipo 2. Agora, só falta provar isso para uma região do tipo 3. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!