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Transcrição de vídeo

Às vezes, quando você está demonstrando algo em várias partes, como isto, é fácil de se perder. Estamos tentando demonstrar o teorema da divergência. Começamos reescrevendo o fluxo através de uma superfície e a integral tripla da divergência. e dissemos: se provarmos que cada um destes componentes é igual aos outros, nossa demostração estará feita. Eu disse que usaríamos o fato desta ser uma região Tipo 1, para provar esta parte, desta ser uma região Tipo 2, para provar esta parte, e desta ser uma região do Tipo 3, para provar esta parte. Vou provar aqui que se é uma região Tipo 1, podemos provar isto, e vou usar exatamente o mesmo argumento para provar os outros dois. Em cada caso, o teorema da divergência deve estar certo. Vejamos esta parte aqui e em particular o cálculo desta integral de superfície. Para calculá-la vamos quebrar a superfície inteira em três superfícies -- esta no limite superior de z, esta no limite inferior de z, e esta lateral-- se você imaginar um cilindro aqui. Elas não precisam ter a base ou o topo planos, e para a região do tipo 1, não precisam nem mesmo ter esta superfície lateral. Isto é somente para o caso em que as duas superfícies não se tocam dentro deste domínio bem aqui. Então a quebramos em três superfícies, e observamos que o vetor normal neste lado direito bem aqui nunca terá uma componente k, de forma que, se você tomar seu produto escalar com o vetor unitário k, isto vai se anular. Com isso, nossa integral de superfície fica simplificada como a integral em s2 e a integral em s1. No último vídeo, calculamos a integral de superfície de s2 -- ou ao menos a transformamos em uma integral dupla no domínio. Agora vou fazer exatamente o mesmo com s1. Vamos nos lembrar com que estamos preocupados. Queremos reexpressar s1. Esta integral de superfície em s1 é r de x, y e z, --Até aqui só escrevemos r, mas isto deixa explícito que r é função de x, y e z-- vezes k escalar n ds. A forma de calcularmos qualquer integral de superfície é parametrizando esta superfície. Vamos apresentar, então, a parametrização de nossa superfície. Digamos que S1 -- se usássemos a letra O ficaria meio esquisito, pois parece com zero e nós já a utilizamos para nosso vetor normal-- vamos usar <i>e</i>. A parametrização de nossa superfície poderia ser x vezes i mais y vezes j mais -- e como esta é uma região do tipo 2, nossa superfície é função de x e y -- mais f1 -- que é uma função de xy-- vezes k. Vemos f1 bem aqui. Esta é a região em nosso limite inferior. Para todos os pares x e y dentro do domínio em questão. Como temos nossa parametrização, podemos pensar agora sobre como vamos escrever isto aqui à direita, n ds. n vezes ds -- fizemos isso, várias, várias, várias vezes-- é, de fato, o mesmo que ds. Fizemos isso várias vezes. Isto é igual ao produto vetorial da parametrização numa direção com respeito a um parâmetro, e então ao produto vetorial com respeito ao outro parâmetro, vezes dA. Temos de ter certeza de que a ordem está correta. Estou afirmando que isto será o produto vetorial da parcial da parametrização em relação à y e da parametrização em relação à x, vezes dA. Precisamos ter certeza que isto tem a orientação correta, pois para a superfície na base, lembre-se, precisamos estar apontando para baixo, para fora da região. Se estamos indo na direção y, a parcial em relação a y é isto, e a parcial com relação com relação a x é isto. Usando a regra da mão direita, com nosso polegar apontando baixo, assim -- posso desenhar minha mão direita-- meu indicador ficaria assim, e meu dedo médio dobraria assim. -- não quero nem pensar onde meus outros dois dedos estão-- Meu dedão apontaria para baixo, e a ordem está correta, e é diferente ou oposta a ordem que tivemos da última vez. Teremos somente um valor negativo, mas vamos trabalhá-lo para que fique um pouco mais convincente. Este negócio à direita bem aqui será igual à -- deixe-me escrever os vetores unitários i, j e k. Será igual à tudo isto vezes dA, e a parcial de <i>e</i> em relação à y é zero, um, parcial de f1 em relação à y. A parcial com respeito à x será um, zero, parcial de f1 em relação à x, e quando você calcular isto tudo -- deixe-me desenhar uma linha pontilhada aqui-- será igual a alguma coisa vezes i menos outro coisa vezes j, e para a componente k, teremos zero vezes zero, menos um vezes k. Menos k, e tudo isso vezes dA. A razão pela qual ainda não me preocupei sobre como estas coisas ficarão é que tenho que calcular o produto escalar com k. Então todo esse negócio aqui eu posso escrever no domínio xy, como sendo igual à integral dupla -- deixe-me fazer isso usando o mesmo roxo que usamos na integral de superfície original será a integral dupla no domínio de nossos parâmetros, no plano xy de r de x -- deixe-me escrever um pouco mais claro --r de x, y. Ao invés de z, vou escrever que z nesta superfície é f1 de x e y, então teremos tudo em função de nossos parâmetros. Vezes todo este negócio aqui escalar com k. E o que é k escalar com isto? O produto escalar de k e k negativo é menos um, então temos só que deixar isto como dA negativo. Vou colocar dA aqui e o sinal negativo bem aqui. Expressamos esta integral de superfície como a soma de duas integrais duplas. Deixe-me encontrá-la. A soma disto, com aquilo lá, e na verdade -- deixe-me reescrevê-la para deixarmos as coisas mais claras. Esta integral de superfície -- vou escrever bem aqui -- A integral de superfície em toda superfície de R do produto escalar de k e n ds é igual à integral dupla -- farei isto com uma nova cor-- é igual à integral dupla no domínio D disto aqui menos isto aqui dA. Escreverei r de xy e f2 de xy, menos r de xy e f2 de x-- desculpe, f1, -- atenção aqui-- f1 de xy, que é isto bem aqui. Tudo isso, tudo isso vezes dA. Demonstramos que isto é igual à isto. Agora, só temos de mostrar que isto também é igual à mesma expressão. Provamos isto para o caso tipo 1, e, usando exatamente o mesmo argumento para provar o tipo 2 e tipo 3, estaremos prestes a provar o teorema da divergência para uma região sólida simples. Legendado por [Luiz Marangoni]