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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 11: Demonstração do teorema da divergência- Demonstração do teorema da divergência (parte 1)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 2)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 3)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 4)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 5)
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Demonstração do teorema da divergência (parte 4)
Mais cálculos da integral de superfície. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais
uma aula de matemática. Neste vídeo, vamos conversar sobre
mais uma etapa da demonstração do Teorema da Divergência. E uma coisa importante a se falar
é que, às vezes, quando você está demonstrando
algo em várias partes, conforme estamos fazendo aqui, é fácil de se perder. Afinal, o que estamos tentando fazer aqui é demonstrar o Teorema da Divergência. Para isso, a gente começou reescrevendo
o fluxo através de uma superfície e a integral tripla da divergência. E aí, falamos o seguinte, se a gente provar que cada uma destas
componentes são iguais entre si, nossa demonstração estará feita. Eu disse que usaríamos o fato
disso aqui ser uma região do tipo 1 para aprovar esta parte, e disso ser uma região do tipo 2
para provar esta parte, e disso ser uma região do tipo 3
para provar esta outra parte. Eu vou mostrar aqui que se isso
é uma região do tipo 1, podemos provar isso. Também vamos usar o mesmo argumento
para provar os outros dois casos. Em cada caso, o Teorema da Divergência
deve estar certo. Vamos ver esta parte aqui e, em particular, o cálculo desta
integral de superfície. Para calcular, vamos quebrar
a superfície inteira em três superfícies. Esta superfície aqui no
limite superior de "z", esta outra no limite inferior de "z" e esta aqui na lateral. Isso se você estiver imaginando
um cilindro aqui. Claro, uma superfície como essa
não precisa ter a base ou o topo planos. E para a região do tipo 1, não precisa nem mesmo
ter esta superfície lateral. O que temos aqui é o caso em que
as duas superfícies não se tocam dentro desse domínio aqui. Enfim, quebramos isso aqui
em três superfícies e observamos que o vetor normal
neste lado bem aqui nunca terá uma componente "k". De forma que se você calcular
o produto escalar entre esse vetor normal
e o vetor unitário "k", teremos um valor igual a zero. Com isso, a nossa integral de superfície fica simplificada apenas
para a integral em S₂ e a integral em S₁. A gente já calculou aqui a integral
de superfície de S₂ ou ao menos a transformamos em
uma integral dupla no domínio. Agora, eu vou fazer exatamente
a mesma coisa aqui em S₁. Vamos nos lembrar do
nosso objetivo aqui. Queremos expressar S₁. Esta integral de superfície em S₁
é R(x, y, z). Até aqui só escrevemos "R", mas isso deixa explícito que "R"
é uma função de "x", "y" e "z" vezes "k" escalar "n", ds. A forma de calcularmos qualquer
integral de superfície é parametrizando essa superfície aqui. Vamos apresentar, então,
a parametrização de nossa superfície. Digamos que S₁, eu vou usar
a letra "e" aqui para nossa parametrização
dessa superfície, ok? Então, a parametrização desta
superfície vai ser e(x, y) sendo igual a "x" vezes î, mais "y" vezes j^, mais, como está é uma região do tipo 2, nossa superfície é uma função
de "x" e "y", então, mais F₁, que é uma função
de "x" e "y", vezes k^. A gente tem F₁ bem aqui. Esta é a região em nosso limite inferior para todos os pares "x" e "y" dentro do domínio em questão. Como temos a nossa parametrização, podemos pensar agora sobre como vamos
escrever isso aqui à direita, este "n.ds". A gente já viu este "n.ds" várias vezes. De fato, isso é igual ao vetor "ds",
e isso é igual ao produto vetorial da parcial da parametrização
com relação a um dos parâmetros, com a parcial em relação ao outro
parâmetro, vezes "da". A gente precisa ter certeza de que
a ordem está correta, porque estamos falando
de um produto vetorial. Aqui eu estou falando que temos
o produto vetorial entre a parcial da parametrização
em relação a "y" e a parcial da parametrização
em relação a "x", vezes "da". A gente precisa ter certeza que esta
é a orientação correta, pois como estamos falando
da superfície na base, precisamos ter algo orientado para baixo, para fora da região. Se estamos observando a direção "y", a parcial em relação a "y" é isso
e a parcial em relação a "x" é isso. Usando a regra da mão direita, com o nosso polegar orientado
para baixo, assim, eu vou desenhar a minha
mão direita aqui, ok? O meu indicador ficaria assim
e meu dedo médio dobraria assim. Eu não quero pensar aqui agora onde os meus outros dois dedos
estão neste momento, ok? Mas o meu dedão polegar
estaria orientado para baixo. A ordem está correta e ela é diferente
ou oposta à ordem que temos quando a gente observa
a superfície de cima. Ou seja, basicamente, teremos um
sinal negativo na frente disso aqui. Mas para não ficar apenas nessa fala, nessa observação, vamos desenvolver
isso aqui embaixo melhor, ok? Sendo assim, temos que isto aqui
é igual ao determinante "d". Eu vou colocar aqui na primeira linha
os vetores unitários "i", "j", "k". Aí, tudo que vamos colocar aqui
nesta matriz, vezes o "da". Mas olhando aqui dentro da matriz, na segunda linha vamos colocar
o parcial de "e" em relação a "y", que neste caso é o quê? Na primeira coluna é zero,
na segunda é 1 e na terceira é a parcial de F₁
em relação a "y". Agora, na terceira linha, colocamos a parcial de "e"
em relação a "x", onde na primeira coluna teremos 1, na segunda teremos zero, e na terceira teremos a parcial
de F₁ em relação a "x". Aí, quando a gente calcular
tudo isso aqui, teremos isso sendo igual
a alguma coisa vezes "i", menos outra coisa vezes "j". E para a componente "k",
teremos zero vezes zero, menos 1 vezes "k", que é -k. E aí, tudo isso vezes "da". O motivo pelo qual eu ainda não me
preocupei sobre como estas coisas ficarão, é que eu tenho que calcular
o produto escalar com "k". Então, tudo isso aqui que eu
posso escrever no domínio (x, y), é igual à integral dupla no domínio de nossos parâmetros no plano XY
de R(x, y). Em vez de colocar "z",
eu vou colocar F₁(x, y). Afinal, estamos na superfície inferior. Sendo assim, teremos tudo em
função de nossos parâmetros, vezes todo este negócio aqui
escalar com "k". E o que é "k" escalar com isso? O produto escalar entre
"k" e "-k" é -1. Então, temos só que deixar isso
aqui como "da" negativo. Eu vou colocar "da" aqui e o sinal de negativo aqui no início, ok? Lembre-se de que expressamos
essa integral de superfície como a soma de duas integrais duplas. Ou seja, a soma disso com isso. Na verdade, eu acho interessante
a gente reescrever isso aqui para deixar as coisas mais claras. Esta integral de superfície, a integral de superfície em toda
a superfície de "R" do produto escalar de "k" e "n", "ds" é igual à integral dupla no domínio "d"
disso aqui menos isso aqui, "da". Então, eu vou colocar aqui
a integral dupla no domínio "d" de R(x, y, F₂(x, y)), menos R(x, y) , F₁(x, y)). Aí, tudo isso vezes "da". Pronto, demonstramos que isso
é igual a isso. Agora, só temos que mostrar que
isso também é igual à mesma expressão. Provamos isso para o caso do tipo 1 e usamos exatamente o mesmo
argumento para provar o tipo 2. Agora, só falta provar isso
para uma região do tipo 3. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!