Demonstração do teorema da divergência (parte 5)

RKA3JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. Neste vídeo, vamos continuar realizando a demonstração do Teorema da Divergência. Para isso, vamos trabalhar agora com uma parte da integral tripla de nosso problema ou nossa demonstração que está aqui. Eu vou reescrever isso aqui para ficar melhor, ok? Então, temos aqui a integral tripla sobre a nossa região. Vamos assumir que é uma região do tipo 1 da parcial de "R" em relação a "z". E isso vezes "dv". Podemos reescrever isso aqui assumindo que primeiro vamos integrar o que se refere a "z". Assim, eu vou integrar o que for referente a "z". Inclusive, eu vou fazer isso aqui com uma outra cor. Iniciamos aqui a integral de z" com o limite inferior de "z" na região de tipo 1, que no caso é F₁ e o limite superior F₂. Sendo assim, vamos integrar de F₁(x, y) até F₂(x, y). Mas de quê? Vamos integrar a parcial de "R" que se refere a "z". Aí, colocamos o "dz" aqui. Eu vou ter que integrar depois o correspondente a "y" e "x", ou a "x" e "y". Assim, teremos dxdy ou dydx, que eu posso simplesmente escrever como "dA". Eu vou colocar isso aqui entre colchetes para deixar bem claro que estamos integrando. Ou seja, primeiro, o que estamos fazendo é integrar em relação a "z". Inclusive, temos os limites de integração aqui, e isso é muito simples. Isso tudo será igual à integral dupla sobre o domínio. E aí, teremos o "dA" aqui. Vamos ver o que temos aqui dentro, ou seja, qual é a nossa integral? Bem, vamos ver algumas propriedades aqui. Primeiro, isso é apenas "R", ou R(x, y, z). Em que "z" é avaliado quando "z" é F₁ ou quando "z" é F₂. Assim, podemos fazer a subtração quando "z" é igual a isso, de quando "z" é igual a isso aqui. Com isso, temos que o resultado desta integral é R(x, y, z) em que "z" está sendo avaliado em F₂(x, y) - R(x, y, z) quando z = F₁(x, y). Vamos colocar isso aqui entre parênteses. Repare que isso é exatamente o que foi encontrado antes. Isto é igual a isto, o que demonstra que isto é exatamente isto aqui. Então, quando assumimos que estamos falando de uma região do tipo 1, nós chegamos à conclusão que as duas integrais aqui são iguais. Agora, utilizando o mesmo argumento, podemos chegar à mesma conclusão para uma região do tipo 2. E aí, mostrar que isto é igual a isto, e o mesmo se aplica a uma região do tipo 3. Assim, chegamos à conclusão que o Teorema da Divergência foi provado. Eu espero que você tenha compreendido tudo isso que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!