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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 11: Demonstração do teorema da divergência- Demonstração do teorema da divergência (parte 1)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 2)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 3)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 4)
- Demonstração do teorema da divergência (parte 5)
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Demonstração do teorema da divergência (parte 5)
Reta final. Demonstração da parte do Tipo I. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais
uma aula de matemática. Neste vídeo, vamos continuar realizando
a demonstração do Teorema da Divergência. Para isso, vamos trabalhar agora com uma parte da integral tripla
de nosso problema ou nossa demonstração que está aqui. Eu vou reescrever isso aqui
para ficar melhor, ok? Então, temos aqui a integral tripla
sobre a nossa região. Vamos assumir que é
uma região do tipo 1 da parcial de "R" em relação a "z". E isso vezes "dv". Podemos reescrever isso aqui assumindo que primeiro vamos
integrar o que se refere a "z". Assim, eu vou integrar
o que for referente a "z". Inclusive, eu vou fazer isso
aqui com uma outra cor. Iniciamos aqui a integral de z" com o limite inferior de "z"
na região de tipo 1, que no caso é F₁ e o limite superior F₂. Sendo assim, vamos integrar
de F₁(x, y) até F₂(x, y). Mas de quê? Vamos integrar a parcial de "R"
que se refere a "z". Aí, colocamos o "dz" aqui. Eu vou ter que integrar depois
o correspondente a "y" e "x", ou a "x" e "y". Assim, teremos dxdy ou dydx, que eu posso simplesmente
escrever como "dA". Eu vou colocar isso aqui entre colchetes para deixar bem claro
que estamos integrando. Ou seja, primeiro, o que estamos fazendo é integrar
em relação a "z". Inclusive, temos os limites
de integração aqui, e isso é muito simples. Isso tudo será igual à integral dupla
sobre o domínio. E aí, teremos o "dA" aqui. Vamos ver o que temos aqui dentro, ou seja, qual é a nossa integral? Bem, vamos ver algumas propriedades aqui. Primeiro, isso é apenas "R",
ou R(x, y, z). Em que "z" é avaliado quando "z" é F₁ ou quando "z" é F₂. Assim, podemos fazer a subtração
quando "z" é igual a isso, de quando "z" é igual a isso aqui. Com isso, temos que o resultado
desta integral é R(x, y, z) em que "z" está sendo avaliado
em F₂(x, y) - R(x, y, z) quando z = F₁(x, y). Vamos colocar isso aqui entre parênteses. Repare que isso é exatamente
o que foi encontrado antes. Isto é igual a isto, o que demonstra que isto
é exatamente isto aqui. Então, quando assumimos que estamos
falando de uma região do tipo 1, nós chegamos à conclusão
que as duas integrais aqui são iguais. Agora, utilizando o mesmo argumento, podemos chegar à mesma conclusão
para uma região do tipo 2. E aí, mostrar que isto é igual a isto, e o mesmo se aplica
a uma região do tipo 3. Assim, chegamos à conclusão que
o Teorema da Divergência foi provado. Eu espero que você tenha compreendido
tudo isso que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero
deixar para você um grande abraço, e até a próxima!