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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 7: Teorema da divergência em 3DVisão do teorema de divergência 3D
Visão por trás do teorema da divergência em três dimensões. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2JV - E aí, galera da Khan Academy! Neste vídeo, daremos início ao estudo
do teorema da divergência em 3D. E, antes de irmos a fundo na
parte algébrica deste teorema, vamos primeiro tentar entender
as variáveis envolvidas neste conceito e os seus propósitos. Nós já exploramos o teorema
da divergência em 2D. Então, lembrando: se eu tenho uma certa região aqui,
vamos chamar de região R, esta região possui um limite,
que nós iremos chamar de C. E, havendo um campo vetorial F
nesta região, que nós iremos desenhar aqui, o teorema da divergência bidimensional,
que foi derivado do teorema de Green, nos diz que a soma do fluxo
através do limite da região, que é dado por F, produto escalar, o vetor normal a esta região
vezes o infinitesimal dr, lembrando aqui que é a integral
que representa a soma desses fluxos, essa soma é igual à integral
dupla da divergência de F vezes o infinitesimal da área
daquela região, que usaremos aqui o dA, mas também pode ser dx/dy. Através desta equação, nós já
podemos ter uma boa intuição de como funciona o teorema da divergência. E você pode notar aqui, pela maneira
que eu desenhei este campo vetorial, saindo totalmente da região R, nós teríamos aqui uma
divergência positiva, portanto, gerando um fluxo positivo, já que o sentido dos vetores do campo corresponde ao sentido dos vetores
normais do limite da nossa região. A partir disso, nós podemos
dizer que estas duas grandezas são diretamente proporcionais. Quanto maior for a divergência em F,
maior será o fluxo através desta região. Mas e se nós mudássemos um
pouco este campo vetorial? Digamos aqui que seja um campo com
pouquíssima ou nada de divergência, como este que estamos desenhando. Podemos ver, nesta parte
do limite da região, que teríamos um fluxo positivo,
já que, assim como no último exemplo, teríamos um vetor do campo
no mesmo sentido que os vetores normais à região. Já nesta outra metade aqui, da esquerda, teríamos um fluxo negativo, já que o sentido dos vetores
do campo entrando na região é contrário ao sentido dos
vetores normais à região. Com isso, podemos concluir que
o fluxo na região é zero, já que, se imaginarmos estes
vetores do campo sendo massa, ou densidade por volume, a massa entraria por este lado da região e sairia pelo lado direito aqui, não ficando acumulada na área. Já neste exemplo anterior, considerando também os vetores como massa, nós teríamos apenas massa
saindo da região R. Continuando aqui no exemplo 2D, nós poderíamos pensar
em uma terceira região, região essa que possui
divergência negativa, ou poderíamos chamar até de convergência. E também o fluxo através de toda
esta região será negativo, já que, ao longo de todo o limite, os sentidos dos vetores do campo são opostos aos sentidos
dos vetores normais à região. Com isso, nós conseguimos
ter uma boa ideia de como o fluxo através de uma região e a divergência do campo vetorial
presente naquela região se relacionam. Agora, o que nós precisamos fazer
é relacionar esse conceitos 2D com o 3D. Então, vamos aqui pensar
não mais em uma região, mas sim em um volume, um sólido em 3D. E, por convenção, vamos chamar
novamente esse volume de R. Dessa forma, o nosso limite
se transforma em uma superfície, superfície esta que nós chamaremos de S. E, novamente, temos um campo vetorial
presente neste volume, ou região 3D, e vamos imaginar primeiramente
um campo com divergência positiva. Então, teremos todos estes
vetores saindo do volume R. Podemos dizer até que se trata de uma
fonte de vetores aqui do nosso campo. E uma outra coisa que temos
que estabelecer aqui é que os vetores normais
estão saindo da região dada, já que, por convenção, nós poderíamos adotar todos
os vetores entrando na região. E agora, nós apenas iremos extrapolar
as equações dos conceitos do bidimensional para o tridimensional. Então, a soma de fluxo: teremos a integral do campo vetorial F, produto escalar "n", vezes um pedaço
infinitesimal desta superfície. O infinitesimal aqui não
será mais dr, e sim dA. Teremos que esta soma será igual
à integral tripla da divergência de F, mas não mais por dA, e sim por dv, que é um infinitesimal,
um pedacinho muito pequeno, do nosso volume de R. Só voltando aqui para diferenciar um
pouco o bidimensional e o tridimensional, lá no exemplo 2D, nós tínhamos
o limite que era uma curva. Aqui no tridimensional, é uma superfície. Por isso mudamos o infinitesimal
ali de "dr" para "dA". E, por sua vez, aqui
na equação da direita, no 2D, nós somamos
as divergências na região e, no 3D, somamos
as divergências no volume. Mas a lógica utilizada é a mesma. Continuando a análise
que fizemos para o 2D, vamos pensar em outros campos vetoriais. Nesta segunda hipótese aqui, teríamos também uma parte da
superfície tendo um fluxo positivo e uma parte da superfície
tendo um fluxo negativo, que se cancelariam, dando para nós um fluxo total
muito próximo ou igual a zero. E, no exemplo aqui da convergência,
teríamos também um fluxo negativo, já que, novamente, os vetores do campo
estariam na direção contrária dos vetores normais que
definimos anteriormente. Galera, a partir deste vídeo, espera-se que vocês tenham uma
boa intuição sobre do que se trata e como se dá o teorema da
divergência no tridimensional. Então, é isso, galera. Até o próximo vídeo!