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Transcrição de vídeo

Nós já exploramos uma versão bidimensional do teorema da divergência. Se eu tenho uma região. Esta é minha região bem aqui. Vamos chamá-la <i>R</i>. E vamos chamar o bordo da minha região, vamos chamá-lo de <i>C</i>. E se eu tenho algum campo vetorial nesta região, então vamos desenhar um campo vetorial bem assim. Se eu desenhar um campo vetorial desse jeito, nosso teorema da divergência bidimensional, o qual nós derivamos do teorema de Green, nos disse que o fluxo através do bordo desta região deixe-me escrever isto. O fluxo através do bordo, então o fluxo será essencialmente o campo vetorial. Será nosso campo vetorial <i>F</i> escalar pelo vetor normal para fora. Então o vetor normal em qualquer ponto é este vetor para fora. Então nosso campo vetorial, escalar pelo vetor normal no nosso bordo vezes nosso pedacinho do bordo. Se nós somarmos eles todos sobre o bordo inteiro-- deixe-me escrever isto um pouco melhor Se somarmos eles todos sobre todo o bordo isso é a mesma coisa que somar toda a região. Então vamos somar a região inteira. Então somando esta região inteira, cada pedacinho da área da área, <i>dA</i>-- nós podemos chamar isso de <i>dx</i><i>dy</i> se quisermos... se estivermos lidando no domínio <i>xy</i> bem aqui, mas cada pedacinho da área vezes a d'ivergência de <i>F</i>, que realmente significa, o quanto esse campo vetorial está se separando. Então é vezes a divergência de <i>F</i>. Assim espero, isto fez sentido (intuitivo). Da maneira que desenhei este campo aqui, você vê tudo como se estivesse saindo. Pode quase chamar de fonte bem aqui, de onde o campo vetorial parece estar saindo. Tem uma divergência positiva bem aqui. E então por causa disto, você realmente vê que o campo vetorial na bordo está realmente na direção do vetor normal, bem perto da direção do vetor normal, então faz sentido. Você tem divergência positiva, e isto será um valor positivo. O campo vetorial está indo, na maior parte, na direção do vetor normal. Então quão maior isto é, maior aquilo também é. Assim espero, alguma intuição. Se você tivesse outro campo vetorial vamos desenhar outra região que se parece assim, então eu poderia desenhar algumas situações. Então uma onde há uma divergência bem limitada, talvez apenas uma constante. O campo vetorial não muda realmente na medida em que você vai em qualquer direção. Por aqui você vai obter fluxos positivos. Você obterá fluxos positivos, porque o campo vetorial parece estar indo na mesma direção do nosso vetor normal. Mas aqui, você vai ter um fluxo negativo. Então alguma coisa está entrando aqui. Se você imaginar que seu campo vetorial é algum tipo de massa, densidade vezes volume, e nós já pensamos sobre isso antes, isto mostra quanta coisa está entrando aqui, e então alguma coisa está saindo. Então seu fluxo resultante será próximo de zero. Coisas estão entrando, e coisas estão saindo. Aqui, você apenas diz, "ei, alguma coisa está constantemente saindo desta superfície." Então, isto dá uma percepção que aqui tem uma divergência muito baixa, e que poderia ter um fluxo baixo, fluxo total agregado, passando através do bordo. Aqui tem uma alta divergência, e você poderia ter um fluxo agregado alto. Eu poderia desenhar outra situação. Então esta é minha região <i>R</i>. E vamos dizer que temos divergência negativa, que podemos até chamar de convergência. Convergência não é um termo técnico, mas você poderia imaginar que se o campo vetorial está convergindo dentro de <i>R</i>, bem, a divergência será negativa nesta situação. Está realmente convergindo, que é o oposto de divergindo. Então a divergência é negativa nesta situação. E também o fluxo através do bordo será negativo. Porque como vimos, da maneira que eu desenhei, através deste bordo, o campo vetorial está indo na direção oposta. Está indo na direção oposta como nosso vetor normal em qualquer ponto. Então, isto dá uma ideia de porque existe uma conexão entre a divergência sobre a região e o fluxo através da bordo. Bem, agora vamos apenas extender isto para três dimensões, e é exatamente a mesma lógica. Se nós temos uma, e vou definir isto mais precisamente no futuro, uma região sólida simples. Então vamos desenhar assim. E vou tentar desenhar em três dimensões. Então digamos que se parece com algo assim. Uma maneira de pensar sobre isto é como uma região que não se curva sobre ela mesma. Se você tem uma região que se dobra sobre si mesma, bem, vamos pensar nisso de diversas formas. Mas de todos os volumes de três dimensões imagináveis, estes são aqueles que não se dobram sobre si mesmos. E existem alguns que você não conseguiria imaginar que não fossem assim também. E mesmo que você tivesse uns que se dobrassem em si mesmos, você poderia separá-los em outros que não se dobram. Então aqui está uma região sólida simples. Vou fazê-la tridimensional. Então se isto fosse transparente, você a veria assim. E então você veria a frente dela assim. Então é uma coisa elíptica, circular, parecida com uma bolha. Isso seria a parte de trás dela. E então se você ir para a frente, esta região se parece assim. Então esta é nossa região sólida simples. Vou chamá-la, vou chamá-la de <i>R</i> de novo. Mas estamos lidando com três dimensões. Agora estamos lidando com uma região tridimensional. E agora o bordo disso não é mais uma linha. Estamos agora em três dimensões. O bordo é uma superfície. Então vou chamá-la de <i>S</i>. <i>S</i> é o bordo de <i>R</i>. E agora vamos jogar um campo vetorial aqui. Agora, este é um campo em três dimensões. Agora imagine que nós temos divergência positiva no nosso campo vetorial dentro desta região bem aqui. Então temos divergência positiva. Então podemos imaginar que é um tipo de-- o campo vetorial dentro da região, é uma fonte do campo vetorial, ou o campo vetorial está divergindo. Este é o caso que eu desenhei bem aqui. E a outra coisa que queremos dizer sobre o campo vetorial <i>S</i>, que é orientado de uma forma que seu vetor normal aponta para fora. Então a normal, é orientada para que a superfície-- o vetor normal seja assim. Outra opção é que você tenha um vetor normal apontando para dentro. Mas estamos assumindo um <i>N</i> apontando para fora. Bem, quando extrapolamos isto para três dimensões. Nós essencialmente dizemos o fluxo através a superfície. Então o fluxo através da superfície, você pegaria o seu campo vetorial, toma o produto escalar com o vetor normal na superfície, e então multiplica isso vezes um pequeno pedaço da superfície, então multiplica isso vezes um pedacinho da superfície, e então soma tudo sobre a superfície inteira, somando tudo. Então será uma integral de superfície. Então este é o fluxo através da superfície. Isto será igual a-- se fôssemos somar a divergência, se somarmos através de todo o volume, então agora se somarmos as coisas em cada pedacinho de volume aqui em três dimensões, precisaremos de tomar integrais ao longo de cada dimensão. Então isto será uma integral tripla sobre a região da divergência de <i>F</i>. Então vamos dizer, quanto é <i>F</i>? Qual a divergência em <i>F</i> em cada ponto? E então multiplicar vezes o volume daquele pedacinho para perceber quanto está divergindo no total naquele volume. E então você soma tudo. E isso deve ser igual ao fluxo. É completamente análogo ao que temos aqui. Aqui temos um fluxo através da linha. Tínhamos um bidimensional-- ou então podemos dizer que é uma borda unidimensional, então um fluxo através da curva. E aqui temos o fluxo através de uma superfície. Aqui nós somamos a divergência na região. Aqui nós somamos ela no volume. É exatamente a mesma lógica. Se tivermos um campo vetorial como esse que é bem constante atravessando a superfície, em um lado teríamos um fluxo negativo. Do outro teríamos um fluxo positivo, e eles se cancelariam. E isto faz sentido, porque não existiria uma divergência acontecendo. Se tivermos um campo vetorial convergente, entrando, o fluxo seria negativo, porque está indo na direção oposta do vetor normal. E então a divergência seria negativa também, porque essencialmente o campo vetorial estaria convergindo. Então, isto dá uma intuição do que o teorema da divergência quer dizer algo muito, muito-- quase senso comum ou intuitivo. E agora nos próximos vídeos, nós vamos fazer alguns exemplos, apenas para você se acostumar em computar ou manipular essas integrais. E então faremos algumas demonstrações, onde nós realmente provaremos o teorema da divergência. [Legendado por Thales Azevedo]