Teorema da divergência - exemplo 1

RKA2JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício no qual vamos utilizar o teorema do divergente. Para isso, nós temos este sólido aqui, limitado por regiões. O "x" vai de -1 até 1 e o "z" faz parte deste arco aqui, que é uma função de "x". Este é o limite superior de "z", e zero é o limite inferior. O "y" está entre zero e alguma região delimitada por este plano, onde podemos expressá-lo como uma função de "z", ou seja, y = z -2 ao longo deste plano aqui. O exercício deu este campo vetorial e está pedindo esta integral. E claro, este tipo de integral geralmente é bem complicado de se resolver. Mas você pode simplificar isso utilizando o teorema do divergente. E o que diz o teorema do divergente? Basicamente, ele relaciona o fluxo do campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro dela. Ou seja, nós podemos reescrever isto como a integral tripla em relação ao volume desta região, que eu posso chamar de R, do divergente de F dv. O dv, basicamente, é uma combinação do dx com o dy com o dz. Ou seja, é a divergência de cada pequeno cubo infinitesimal aqui vezes o dv. Primeiro, nós devemos simplificar as coisas. Isso vai ajudar bastante. Para isso, podemos calcular o divergente de F primeiro. Para calcular o divergente de F, nós calculamos a derivada parcial desta parte em relação a "x", a desta em relação a "y" e a desta em relação a "z", já que este vetor tem três coordenadas. Derivando isto em relação a "x", esta parte, se utilizarmos a regra do produto, vai ser igual a x. Esta aqui é tratada como constante, por isso vai ser zero. Se você não lembra como derivar uma função, eu sugiro que dê uma revisada nas aulas passadas. Derivando isto em relação a "y", temos que a derivada de "x" vezes "y" vai ser igual a "x", se utilizarmos a regra do produto, e derivando ln do módulo de "z" em relação a "y", vai ser a mesma coisa que derivar uma constante, portanto, vai ser zero. Note que esta parte não tem nenhum "z". Se vamos derivar esta função em relação a "z", significa que temos que derivá-la como se fosse uma constante. Ou seja, a resposta vai ser zero. Portanto, o divergente de F vai ser igual a x + x, que é igual a 2x. E agora podemos reescrever isto através da superfície como uma integral tripla de 2x. Para isso, eu coloco 2x aqui e vamos pensar a respeito da ordem. O "y" está entre zero e este plano aqui, que é uma função de "z". Ou seja, zero é menor ou igual a "y", que é menor ou igual a 2- z. O "z" é limitado por zero e estas várias parábolas que passam aqui. ou seja, zero é menor ou igual a "z", que é menor ou igual a 1 - x². E o "x" está entre -1 e 1. Então, -1 é menor ou igual a "x", que é menor ou igual a 1. Esta talvez seja uma boa ordem para a integração. Podemos integrar primeiro em relação a "y" e com isso vamos obter uma função de "z", depois integramos em relação a "z" e vamos obter uma função de "x", e depois integramos em relação a "x". Então, primeiro integramos em relação a "y", ou seja, a integral de 2x dy, E o "y" é limitado pelo plano y = 0 e y = 2 - z. Ou seja, o limite de integração é de zero até 2 - z. Depois disso podemos integrar em relação a "z", que tem limite inferior igual a zero e limite superior igual a 1 - x². Nós já vimos isso aqui. Depois disso, nós integramos em relação a "x", onde o limite de integração é inferior a -1 e superior a 1. Parece uma coisa bem complicada, mas vamos ver que não é tanto assim. A primeira coisa que temos que fazer é integrar isto em relação a "y". Neste caso, a antiderivada de 2x em relação a "y" é igual a 2x vezes "y". Ou seja, esta parte aqui é igual a 2x vezes "y" e avaliamos isto de zero até 2 - z. E aqui podemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo. Ou seja, nós pegamos 2 - z, substituímos aqui e subtraímos pelo valor numérico quando colocamos o zero no lugar do "y". Ou seja: 2x vezes (2 - z), menos 2x vezes zero, que é a mesma coisa que colocar 2x vezes (2 - z), já que, se substituirmos o zero aqui, toda esta expressão vai zerar. E agora que já integramos em relação a "y", podemos integrar em relação a "z", de zero até 1 - x², e depois integrar em relação a "x", de -1 até 1. O que precisamos fazer agora é calcular a antiderivada disto em relação a "z". Este 2x nós tratamos como constante. Neste caso, você tem que se perguntar: qual foi a função que eu derivei para chegar neste resultado? É daí que vem o termo "antiderivada". Se fizermos isso, teremos um 2x aqui como constante. A integral de 2 em relação a "z" é 2z, menos a integral de "z", que é z²/2. De novo: se você não lembra estas regras de derivadas, eu sugiro que você dê uma olhada nas aulas de integrais e derivadas da Khan Academy. E claro, nós avaliamos isto de zero até 1 - x². Se aplicarmos o Teorema Fundamental do Cálculo, Vamos pegar este 1 - x² e substituir no lugar do "z" e aí vamos ficar com 2 vezes (1 - x²) que é a mesma coisa que 2 - 2x², menos z²/2. Ou seja, no lugar do "z" nós colocamos este 1 - x². E (1 - x²)² é um produto notável. Nós podemos abrir isso colocando 1/2 aqui do lado de fora e, do lado de dentro, aplicar o produto notável. Ou seja, o quadrado do primeiro, que é 1, mais o quadrado do segundo que, neste caso, é (x²)², que é igual a x⁴. Então, mais x⁴. E ainda tem um 2x aqui do lado de fora. E eu posso ajeitar esta expressão aplicando a distributiva aqui. Eu vou repetir o 2x - 2x² e aí vamos ter -1/2 vezes 1, que vai ser igual a -1/2, -1/2 que multiplica -2x², que é a mesma coisa que +x², porque podemos cancelar este 2 com este e temos este sinal de menos e este também. -1/2 vezes +x⁴ é a mesma coisa que -1/2 vezes x⁴. Ainda podemos simplificar mais. Podemos juntar este 2 com este -1/2, que é a mesma coisa que 3/2, menos 2x² + x², que é igual a -x². E ainda tem este -1/2 que multiplica x⁴. E tudo isto está sendo multiplicado por 2x. Se aplicarmos a distributiva aqui, vamos ter 2x, que multiplica 3/2, que é a mesma coisa que 3x, já que cancelamos este 2 com este aqui. 2x vezes -x² é a mesma coisa que -2x³. E 2x vezes -1/2 vezes x⁴ é igual a -x⁵. Ou seja, esta parte foi simplificada nesta. E agora podemos calcular a integral em relação a "x". Ou seja, a integral de -1 até 1 de (3x - 2x³ - x⁵) dx. Integrando isto aqui em relação a "x", vamos ter 3/2x², que é a integral de 3x, menos 1/2 que multiplica x⁴, que é a integral de -2x³, menos x⁶/6, que é a integral de -x⁵. E claro, avaliamos isto de -1 até 1. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, nós ficamos com 3/2 - 1/2 - 1/6, ou seja, pegamos 1 e substituímos aqui no lugar do "x", e subtraímos isto substituindo no lugar de cada "x". Ou seja, aqui vai ser igual a 3/2 - 1/2 - 1/6. Note que esta parte é igual a esta. Como estamos subtraindo uma pela outra, o resultado tem que ser zero. Ou seja, este 3/2 vai se cancelar com este 3/2, este -1/2 se cancela com este 1/2, já que aqui tem um sinal de menos, e aí esta parte vai ficar positiva, e este -1/6 se cancela com este 1/6. Ou seja, o resultado é igual a zero. Sim, fizemos tudo isto para encontrar um resultado zero. Basicamente, eu só quis mostrar que o teorema do divergente ajudou a resolver esta integral. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!