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Vamos ver se somos capazes de fazer algum uso do teorema da divergência. Então, eu tenho esta região, este sólido simples bem aqui. x pode estar entre um negativo e um. z, esta parte tipo um arco aqui, será uma função de x. Este é o limite superior de z. O limite inferior de z é apenas zero. y pode estar em qualquer lugar entre zero, e então é delimitada aqui por este plano, onde podemos expressar y como uma função de z. y é dois menos z ao longo deste plano aqui. E nos foi dado este campo vetorial estranho. Tem logaritmos naturais e tangentes na mesma. E nos foi pedido para avaliar a integral de superfície, ou deveria dizer, o fluxo do nosso campo vetorial entre o limite desta região, em toda a superfície desta região bem aqui. E integrais de superfície são bem confusas, especialmente quando você tem um campo de vetores estranho como este. Mas você poderia imaginar haver uma maneira de simplificar isto, talvez usando o teorema da divergência. O teorema da divergência nos diz que o fluxo através do limite desta simples região sólida será a mesma coisa que a integral tripla em relação ao seu volume, ou apenas chamarei de região, da divergência de F dv, onde dv é uma combinação de dx, dy, dz. A divergência vezes cada pequeno volume cúbico, volume cúbico infinitesimal, vezes dv. Então, vamos ver se isto simplifica as coisas um pouco. Vamos calcular a divergência de F em primeiro lugar. Assim, a divergência de F será a parcial do componente x, ou parcial de-- você poderia dizer que o componente i ou o componente x em relação à x. Bem, a derivada disto em relação à x é apenas x. A derivada disto em relação à x, felizmente, é apenas zero. Esta é uma constante em termos de x. Vamos examinar aqui, a parcial disto em relação à y. A parcial disto em relação a y é apenas x. Isto é apenas uma constante em termos de y, então será zero quando você tomar a derivada em relação à y. E finalmente, a parcial disto relação à z, Bem, isto é apenas uma constante em termos de z. Não muda quando z varia. Assim, a parcial em relação à z será apenas zero. E assim, tomar a divergência realmente, simplifica as coisas. A divergência de F é simplificada para dois x. E agora podemos reformular o fluxo através da superfície como uma integral tripla de dois x. Deixe-me escrever dois x aqui. E vamos pensar sobre a ordem. y pode estar entre zero e este plano, que é uma função de z. Vamos escrever isso. Então y é limitada em baixo por zero e acima por este plano dois menos z. z é delimitado abaixo por zero e acima por-- você poderia chamar estas parábolas de um menos x ao quadrado. E então x é delimitado abaixo por um negativo e delimitado acima por um. Então, um negativo é menor ou igual a x que é menor ou igual a um. Isto é, provavelmente, uma boa ordem de integração. Podemos integrar com relação a y primeiro, e depois obteremos uma função de z. Então podemos integrar com relação à z, e obteremos uma função de x. E então podemos integrar em relação a x. Vamos fazer nesta ordem. Primeiro vamos integrar com relação a y, temos dy. y é delimitada abaixo por zero e acima pelo plano dois menos z. Portanto, isto aqui é um plano y igual a zero. E isto aqui é o plano y igual a dois menos z. Então podemos integrar com relação à z. E z, mais uma vez, é delimitada abaixo por zero e delimitada acima por estas parábolas, um menos x ao quadrado. E então, finalmente, podemos integrar com relação à x. E x é delimitado abaixo por um negativo e delimitada acima por um. Vamos fazer uma integração aqui. A primeira coisa quando estamos integrando em relação a x-- desculpe, quando estamos integrando em relação a y, dois x é apenas uma constante. Portanto, esta expressão bem aqui será apenas dois x vezes y, e então nós vamos calculá-la de zero até dois menos z. Portanto, será dois x vezes dois menos z menos dois x vezes zero. Bem, esta segunda parte será apenas zero. Então, isto será igual a-- eu vou escrever desta maneira-- dois x vezes dois menos z. E eu vou deixar assim. E então nós vamos integrar isto em relação a z. Vamos integrar em relação a z. E isto irá de zero até um menos x ao quadrado, e depois temos nosso dz lá. E depois disto, vamos integrar em relação à x, um negativo até um dx. Vamos calcular a antiderivada em relação a z. Isto você pode ver como uma constante. Na verdade, podemos trazê-lo para frente, mas eu vou deixá-lo lá. Esta parte aqui-- eu vou fazer com a cor de z-- esta parte aqui, veja, nós podemos deixar dois x na frente. Na verdade, deixarei dois x na frente da coisa toda. Será dois x vezes-- então a antiderivada disto em relação a z será dois z. Antiderivada disto é z negativo ao quadrado sobre dois, e nós calcularemos isto de zero até um menos x ao quadrado. De zero até um menos x ao quadrado. Quando calculamos em zero, nós obtemos zero aqui. E então só nos preocuparemos sobre quando z é igual a um menos x ao quadrado. Fiz isto certo? Sim. dois z e depois menos z ao quadrado sobre dois. Você toma a derivada, você obtém z negativo. Tome a derivada aqui, você obtém dois. Está certo. Então, isto será igual a dois x-- deixe-me fazer na mesma cor-- será igual a dois x vezes-- deixe-me fazer direito, farei com a cor rosa-- dois x vezes dois z. Bem, z será um menos x ao quadrado, então será dois menos dois x ao quadrado. Isto foi duas vezes aquilo. E então menos-- escreverei 1/2 vezes esta quantidade ao quadrado. Então, esta quantidade ao quadrado será um menos dois x ao quadrado mais x elevado a quatro. Isto é apenas álgebra básica. E então disto, você irá subtrair esta coisa calculada em zero, que será zero. Então você não precisa pensar nele. E agora precisamos simplificar isto um pouco. E nós vamos obter, se simplificarmos isto, obtemos dois menos dois x ao quadrado menos 1/2, e depois mais-- isto é 1/2 negativo vezes dois x negativo ao quadrado. Isto será x positivo ao quadrado menos 1/2 x elevado a quatro. Agora, vamos ver, podemos simplificar esta parte? Deixe-me certificar de que sabemos o que fazemos. Então nós temos este dois x aqui. Quero ter certeza que fiz os sinais corretos. Parece que fiz. Vamos olhar para isso. Vamos ver, posso simplificar um pouco? Eu tenho dois menos 1/2, que é 3/2. Então, eu tenho 3/2. Isso é este termo e este termo levados em conta. E então eu tenho dois x negativo ao quadrado mais x ao quadrado. Isto resultará em x negativo ao quadrado, se eu usar este termo e este termo. E então eu tenho 1/2 x negativo elevado a quatro, e eu estou multiplicando esta coisa toda por dois x. Por dois x. E isto nos dará-- nós temos, vamos ver, dois x vezes 3/2. Estou fazendo devagar, para nâo cometer erros. Os dois se cancelam. Você obtém três x e depois, dois x vezes x negativo ao quadrado é dois x negativo elevado a três. E depois dois x vezes isto aqui. O dois se cancela com 1/2 negativo, você tem x negativo elevado a cinco. Então, tudo isso é simplificado a isto. Então toda esta coisa é simplificado a uma integral em relação à x, x irá de um negativo até um deste negócio, de três x menos dois x elevado a três menos x elevado a cinco, e então temos dx. E agora nós tomamos a antiderivativa com relação a x, que será 3/2 x ao quadrado menos-- vamos ver, x à quarta potência-- menos 1/2, porque será 2/4, x à quarta. Isso está certo? Porque se multiplicá-lo, você obterá dois. Sim, x elevado a três, e depois menos x elevado a seis sobre seis. E irá de um até um negativo ou um negativo até um. Quando você calcula em um-- eu vou escrever mais rápido. Primeiro, quando calcula em um, você obtém 3/2 menos 1/2 menos 1/6. E disto, iremos subtrair 3/2 menos 1/2 mais 1/6. Na verdade, não, eles realmente irão se cancelar. Isso está certo? Todos eles irão se cancelar? Sim, eu acho que está certo. Todos eles se anulam. Portanto, isto realmente será mais, ou devo dizer menos 1/6 bem aqui. E todos eles se cancelam. Isto se anula com isto. Isto se anula com isto porque estamos subtraindo o 1/2 negativo. E isto se cancela com isso. E então o que sobra é zero. Depois de fazer todo este trabalho, essa coisa toda será zero, que é, na verdade, uma simplificação pura. Então, esta coisa toda aqui calculado, muito convenientemente, calculado como sendo igual a zero. Legendado por [Raul Guimaraes]. Revisado por [Pilar Dib]