Explicação do exemplo 1

RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? No vídeo em que fizemos um exercício a respeito do teorema do divergente, nós utilizamos esse teorema para mostrar que o fluxo através dessa superfície era igual ao divergente de f ao longo de toda a região e que o resultado disso era zero. Nessa aula, vamos entender o porquê desse resultado. Isso porque quando você pensa nesse zero, isso quer dizer que não há fluxo líquido através dessa superfície aqui. Ou seja, se somarmos todos os pequenos volumes da superfície, o resultado vai ser zero. Por que isso acontece? O que fizemos na aula passada foi simplificar essa integral dupla e transformar isso no divergente de f. Isso porque o divergente de f é igual a 2x, algo que é mais simples de resolver. Ou seja, o divergente depende do x. Isso significa que à medida que o x vai ficando cada vez mais positivo, o divergente se torna maior. Ou seja, temos um divergente 2 aqui, temos outro divergente aqui, outro aqui e também, à medida que você vai para cima, o divergente também vai mudando, porque o valor de z vai se tornando maior. Nesse caso, o x não é alterado. Com isso, toda essa região tem um divergente positivo. Quando você vai no caminho oposto, você vai encontrando valores negativos para o divergente e, claro, essa parte é simétrica a essa aqui, com isso, esses divergentes se cancelam. Você teria um valor positivo se considerasse a região de x igual a zero até x igual a 1. Ou seja, essa região aqui, como se tivesse uma barreira separando as partes simétricas. Nesse caso, seria uma parede no plano (z,y). É como se tirássemos essa parte de trás, algo mais ou menos assim. Nesse caso, estamos lidando apenas com o x positivo, ou seja, de zero até 1. Com isso, em vez de aqui ser -1, o x vai estar entre zero e 1. Com isso, o limite de integração dessas integrais vai mudar, ou seja, agora vai ser zero em cada uma delas e o resultado final do teorema fundamental do cálculo também vai mudar. Aqui vai ser zero, o que significa que toda essa expressão vai zerar e, resolvendo isso, vamos ter ⅚. Ou seja, o volume dessa parte aqui vai ter um fluxo positivo de ⅚. E se você considerar somente a parte de trás, você vai obter um resultado igual a -⅚ e, se somar o volume das duas partes, você vai ter um fluxo igual a zero. Uma forma de entender isso é que, como vimos no vídeo anterior, tem um fluxo negativo indo na direção interior e, para compensar isso, tem um fluxo negativo saindo. Ou seja, essas duas coisas se anulam. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês e até a próxima, pessoal!