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Conteúdo principal
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Transcrição de vídeo

No último vídeo usamos o teorema da divergência para mostrar que o fluxo através desta superfície agora, que é igual ao divergente de f ao longo ou somado por toda esta região, é igual a zero. E o que quero fazer neste vídeo é pensar um pouco. Quando você obtém uma resposta como zero, você você deve pensar: por quê isto? Isto é dizer que não há fluxo líquido através desta superfície aqui. Ou se você somar todos os divergentes neste volume, obterá zero. Por quê isto ocorre? Uma maneira simples de se pensar o problema é que, quando tomamos o divergente de f, este campo vetorial f é complicado de visualizar, porém o divergente de f é mais fácil de se ver. O divergente é igual a dois vezes x. Portanto você obterá aqui, a medida que vai mais longe nesta direção, a medida que x se torna maior, o divergente se torna mais e mais positivo. Portanto tem-se um tipo de divergente de dois aqui. Temos o divergente de um ao longo desta linha. E temos um divergente de zero bem aqui. E isto também é verdade, é claro, a medida que se vai para cima. Pois apenas o valor de z está sendo mudado. O x não é alterado. Portanto em toda esta região se tem um divergente positivo. Ali temos um divergente positivo, e não apenas ao longo do plano. Porém se vamos ao longo da direção x, em toda esta região do espaço, temos um divergente positivo. Pode-se dizer que em todo o lado positivo de x em nosso octante. Porém quando vamos para este lado, do outro lado, temos um divergente negativo. E este diagrama é simétrico em relação ao plano zy. Portanto estes divergentes se cancelam. Nós poderíamos ter tido um fluxo positivo através desta superfície ou um valor positivo bem aqui, se em vez de calcular o valor para esta região, tivéssemos calculado para a região que estava entre x igual a zero e um. Portanto vamos pensar nesta região. Assim esta região teria sido cortada em aqui. Exatamente nesta região. Logo, a parte de trás -- acho que podemos chamar de parede de trás, a parede de trás desta figura, teria sido o plano zy. Agora se pensamos no volume -- então estamos basicamente eliminando o resto. Vou tentar eliminar da melhor forma possível, mudando as cores. Se eu eliminar esta parte bem aqui e talvez até o que enxergamos, tudo isto -- eu deveria ter deletado esta parte antes. Se eliminarmos a parte de trás disto, e estamos lidando apenas no caso de x ser positivo, portanto toda a nossa solução que fizemos no último vídeo teria sido a mesma, com a exceção de que x irá variar entre -- em vez de um negativo e um, variará entre zero e um. Portanto nossos limites de integração serão com x variando de zero a um. E nesta situação nossa resposta final será -- esta parte, seria entre zero e um. Tudo isto seria zero. E nos restaria 3/2 menos 1/2. 3/2 menos 1/2 é um, menos 1/6, a resposta será 5/6. Portanto quando você pensa apenas nesta parte, neste lado da figura, este que acabamos de desenhar, temos um fluxo positivo de 5/6. Do outro lado, obtivemos um fluxo negativo de 5/6. E eles se cancelaram mutuamente. Uma forma de se interpretar isto, se pensarmos na superfície inteira, como vimos no último vídeo, então temos um fluxo agregado em direção ao interior. Por isto que era negativo. E este valor é compensado pela fluxo saindo do volume bem aqui, o fluxo positivo. Obtivemos um divergente negativo naquela outra região, e um divergente positivo que compensa o negativo completamente nesta região aqui. Legendado por [Bernardo Blasi Villari]