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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 1: Definições formais de divergência e rotacional (leitura opcional)

Definição formal de rotacional em duas dimensões

Aprenda como o rotacional é realmente definido, que envolve capturar matematicamente a intuição da rotação de fluido. Esse é um bom preparo para o teorema de Green.

Conhecimentos prévios

Se ainda não tiver lido, você pode querer ler também "Por que se importar com as definições formais de divergência e rotacional" para motivação.

O que estamos construindo

Em duas dimensões, o rotacional é formalmente definido como o seguinte limite de uma integral de linha:

start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, equals, limit, start subscript, vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, \to, 0, end subscript, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, end fraction, \oint, start subscript, start color #e84d39, C, end color #e84d39, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis

[Descrição de termos ]

Isso é complicado, mas vai fazer sentido à medida que o desenvolvermos um passo de cada vez.

Formalização de rotação de fluido

Suponha que você tem um fluido cuja velocidade é dada pelo campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, semelhante ao que vimos no artigo sobre rotacional bidimensional.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Se você já não soubesse sobre a rotacional, e tivesse acabado de aprender sobre integrais de linha através de um campo vetorial, como você mediria a rotação de fluido em uma região?

Para dar um exemplo relativamente simples, considere o campo vetorial

$\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] \end{aligned}$

Este é o campo vetorial com rotação anti-horária clássico.

Como podemos compreender a ideia de rotação de fluido matemática (antes de saber sobre rotacional)? Uma maneira de fazer isso é imaginar-se andando ao redor do perímetro de uma região, como um círculo trigonométrico centrado na origem e medir se o fluido parece fluir com você ou contra você em cada ponto.

Verificação de conceito: considere C a circunferência de um círculo trigonométrico centrado na origem, orientada no sentido anti-horário. Dada a imagem do campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 acima, considere a seguinte integral de linha:

$\begin{aligned} \oint_C \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \end{aligned}$

Sem calcular, qual é o sinal dessa integral? (Lembre-se que o símbolo \oint só enfatiza o fato de que a integral de linha está sendo feita ao longo de um anel fechado, mas ele é calculado da mesma forma que qualquer outra integral de linha).

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Positivo
(Escolha B)
Negativo
(Escolha C)
Zero

[Resposta]

De forma geral, se um fluido tende a fluir no sentido anti-horário ao redor de uma região, você imaginaria que a integral de linha do campo vetorial velocidade do fluido ao redor do perímetro da região seria positiva (quando ele é orientado no sentido anti-horário).

Você também poderia imaginar um campo vetorial mais complicado, em que o fluido flui a seu favor em alguns pontos na sua caminhada no sentido anti-horário ao redor do círculo, mas contra você em outros.

O valor start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text vai ser positivo quando o fluxo estiver com você, e negativo quando for contra você. De certa forma, a integral \oint, start subscript, C, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text é como um sistema de votação onde se conta o quanto essas direções diferentes se anulam mutuamente e qual delas ganha em geral.

Permitindo que o tamanho da região varie

Então, depois de expressar matematicamente a ideia de rotação de fluido ao redor de uma região, você pode querer compreender a ideia mais elusiva de rotação de fluido em um ponto. Como você faria isso?

Você poderia começar por considerar regiões cada vez menores em torno desse ponto, tais como círculos de raios cada vez menores, e ver como fica o fluxo de fluido ao redor dessas regiões.

Verificação de conceito: de volta ao nosso campo vetorial

\blueE{\textbf{F}} = \left[\begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right]

, em vez de examinar apenas o círculo trigonométrico, seja C, start subscript, R, end subscript a representação de um círculo centralizado na origem com raio R. Esse círculo ainda estará orientado no sentido anti-horário.

Calcule a integral de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 sobre este círculo como função de R.

$\begin{aligned} \oint_{C_R} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} = \end{aligned}$

[Resposta]

Como esse valor se relaciona ao círculo C, start subscript, R, end subscript?

Rotação média por unidade de área

A resposta a esta última pergunta sugere algo interessante. A rotação ao redor de uma região parece ser proporcional à área dessa região. Claro, você só demonstrou isso para círculos centrados na origem, e não para todas as regiões possíveis, mas, assim mesmo, isso é sugestivo. Isto pode lhe dar uma ideia.

Ideia-chave: Talvez se você calcular \oint, start subscript, C, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, que mede o fluxo de fluido ao redor de uma região, e dividi-lo pela área da região, isso pode lhe dar alguma noção da rotação média por unidade de área.

A ideia de "rotação média por unidade de área" pode parecer um pouco estranha, mas se você voltar à interpretação de rotacional, isso é basicamente o que queremos que o rotacional represente. Em vez de pensar em rotação de fluido em uma grande região, o rotacional deve medir como o fluido tende a girar perto de um ponto.

Verificação de conceito: o campo vetorial do exemplo anterior é um pouco especial, no sentido de que a "rotação por unidade de área" de círculos ao redor da origem é o mesmo valor para todos os círculos. O que é esse valor?

[Resposta]

Verificação de conceito: lembre-se que a fórmula para start text, r, o, t, space, 2, d, end text é

$\begin{aligned} \text{rot 2d}\; \blueE{\textbf{F}} = \dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y} \end{aligned}$

onde F, start subscript, 1, end subscript e F, start subscript, 2, end subscript são os componentes de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99. Dada a definição

$\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} -y \\ x \end{array} \right] \end{aligned}$

calcule o rotacional de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99.

$\begin{aligned} \text{rot 2d}\; \blueE{\textbf{F}} = \end{aligned}$

[Resposta]

[O que torna este exemplo atípico]

Definindo rotacional bidimensional

Essas duas últimas perguntas mostram que a "a rotação média por unidade de área" em círculos centrada na origem acaba sendo o mesmo que o rotacional da função, pelo menos para o nosso exemplo específico. Isso se aplica de forma mais ampla. Na verdade, a maneira como definimos o rotacional de um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em um ponto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis deve ser o limite desta rotação média por unidade de área em regiões cada vez menores em torno do ponto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.

Especificamente, (rufar de tambores, por favor), esta é a fórmula definindo rotacional bidimensional:

$\begin{aligned} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} = \lim_{|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}| \to 0} \underbrace{\left( \dfrac{1}{|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}|} \oint_\redD{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right)}_{ \text{Rotação média por unidade de área} } \end{aligned}$

em que

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 é um campo vetorial bidimensional.
start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05 é algum ponto específico no plano.
start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript representa alguma região em torno do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05. Por exemplo, um círculo centrado em start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.
vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar indica a área de start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript
limit, start subscript, vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, \to, 0, end subscript indica que estamos considerando o limite à medida que a área de start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript se aproxima de 0, o que significa que essa região está se reduzindo em torno de start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.
start color #e84d39, C, end color #e84d39 é a fronteira de start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript orientada no sentido anti-horário.
\oint, start subscript, start color #e84d39, C, end color #e84d39, end subscript é a integral de linha em torno de start color #e84d39, C, end color #e84d39, escrito como \oint em vez de integral para enfatizar que start color #e84d39, C, end color #e84d39 é uma curva fechada.

Essa fórmula é impraticável para a computação, mas a conexão entre isso e rotação de fluido é muito clara, uma vez que você compreender o conceito. É muito bonito o fato de que essa definição dá o mesmo resultado que a fórmula usada para calcular o rotacional bidimensional.

$\begin{aligned} \text{rot 2d}\; \blueE{\textbf{F}} = \dfrac{\partial F_2}{\partial x} - \dfrac{\partial F_1}{\partial y} \end{aligned}$

Mais uma característica de campos vetoriais conservativos

Conhecimentos prévios: Campo vetorial conservativo

Se start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é um campo vetorial conservativo, todas as integrais de linha ao longo de circuitos fechados são 0. Olhando para a integral acima, o que isso implica?

(Escolha A)
O rotacional bidimensional é sempre 0.
(Escolha B)
A rotação de fluido ao redor da região não é necessariamente 0, mas à medida que a área da região se aproxima de 0, a integral \oint, start subscript, C, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text aproxima-se de 0 mais rápido do que a área se aproxima de 0.

[Resposta]

Isso nos dá um fato importante: Se um campo vetorial é conservativo, é irrotacional, ou seja, o rotacional é zero em todo lugar.

Em particular, como campos de gradiente são sempre conservativos, o rotacional do gradiente é sempre zero. Isso é um fato que você pode encontrar simplesmente digerindo as fórmulas. No entanto, acho que a percepção será melhor se usarmos a definição de rotacional juntamente com a intuição do porquê campos de gradiente são conservativos.

E o inverso? Se um campo vetorial tem rotacional zero em todo lugar, isso significa que deve ser conservativo?

[Resposta]

Resumo

Se um campo vetorial representa o fluxo de fluido, você pode quantificar a "rotação fluida em uma região" ao calcular a integral de linha desse campo vetorial ao longo do limite daquela região.
Para passar da ideia de rotação de fluido em uma região para o fluxo de fluido em torno de um ponto (que é o que o rotacional mede), apresentamos a ideia de "rotação média por unidade de área" em uma região. Então, considere a que esse valor se aproxima à medida que sua região encolhe em torno de um ponto.
Em fórmulas, isso nos dá a definição de rotacional bidimensional da seguinte forma:
$\displaystyle \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} = \lim_{\redE{A}_{\goldE{(x, y)}} \to 0} \underbrace{\left( \dfrac{1}{|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}|} \oint_\redD{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right)}_{ \text{Rotação média por unidade de área} }$ start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, equals, limit, start subscript, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, \to, 0, end subscript, start underbrace, left parenthesis, start fraction, 1, divided by, vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, end fraction, \oint, start subscript, start color #e84d39, C, end color #e84d39, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, R, o, t, a, ç, a, with, \~, on top, o, space, m, e, with, \', on top, d, i, a, space, p, o, r, space, u, n, i, d, a, d, e, space, d, e, space, a, with, \', on top, r, e, a, end text, end subscript
Essa relação entre rotacional e integrais de linha de circuito fechado implica que campos irrotacionais e conservativos são a mesma coisa.

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