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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 1: Definições formais de divergência e rotacional (leitura opcional)

Definição formal de divergência em três dimensões

Aprenda como integrais de superfície e fluxo tridimensional são usados para formalizar a ideia de divergência em três dimensões.

Conhecimentos prévios

É um passo muito pequeno entre entender esses dois pré-requisitos e a definição formal de divergência em três dimensões. Por isso, esse artigo será relativamente curto, supondo que você já entenda a intuição por trás desses dois conhecimentos.

O que estamos construindo

O objetivo é capturar a intuição de fluxo de fluido para fora em um ponto em uma fórmula matemática.
Em três dimensões, a divergência é definida usando o seguinte limite:

$\begin{aligned} \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y, z)} = \lim_{|\redE{R}_{\goldE{(x, y, z)}}| \to 0} \!\!\!\! \overbrace{ \dfrac{1}{|\redE{R}_{\goldE{(x, y, z)}}|} \!\!\!\!\! \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\, \redE{d\Sigma} }_{\text{Fluxo pela superfície de $\redE{R}$}} }^{\text{Fluxo para fora médio de $\redE{R}$ por unidade de volume}} \end{aligned}$

[Separação dos termos]

Há muita coisa acontecendo nessa definição, mas a maior parte da complexidade reside nas integrais de campos vetoriais. Se você entender essa parte, o resto vem de calcular o limite em relação a uma região cada vez menor em torno do ponto.

De uma região para um ponto

Digamos que você tenha um campo vetorial tridimensional.

start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, left arrow, start text, C, a, m, p, o, space, v, e, t, o, r, i, a, l, space, t, r, i, d, i, m, e, n, s, i, o, n, a, l, end text

Como sempre, pense nesse campo vetorial como representando um fluxo de fluido. A divergência start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99 tenta medir o "fluxo para fora" desse fluido em cada ponto. Entretanto, não faz muito sentido falar sobre o que significa o fluxo de fluido para fora de um ponto.

O que de fato faz sentido é a ideia de um fluxo de fluido para fora de uma região. Especificamente, imagine uma região start color #bc2612, R, end color #bc2612 no campo vetorial.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Vamos chamar a superfície dessa região de "start color #bc2612, S, end color #bc2612". No artigo sobre fluxo em três dimensões, eu mostrei como você pode medir a taxa na qual o fluido deixa essa região, tomando o fluxo de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 sobre a superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612:

$\displaystyle \underbrace{ -\dfrac{d(\text{massa do fluído em $\redE{R}$})}{dt} }_{\text{Taxa na qual o fluído sai de $\redE{R}$}} = \underbrace{ \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\; \redE{d\Sigma} }_{\text{Integral da superfície de fluxo}}$ start underbrace, minus, start fraction, d, left parenthesis, start text, m, a, s, s, a, space, d, o, space, f, l, u, ı, with, \', on top, d, o, space, e, m, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, right parenthesis, divided by, d, t, end fraction, end underbrace, start subscript, start text, T, a, x, a, space, n, a, space, q, u, a, l, space, o, space, f, l, u, ı, with, \', on top, d, o, space, s, a, i, space, d, e, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, end subscript, equals, start underbrace, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612, end underbrace, start subscript, start text, I, n, t, e, g, r, a, l, space, d, a, space, s, u, p, e, r, f, ı, with, \', on top, c, i, e, space, d, e, space, f, l, u, x, o, end text, end subscript

Aqui, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é uma função vetorial que retorna o vetor normal unitário virado para fora em cada ponto de start color #bc2612, S, end color #bc2612.

A divergência em si se preocupa com a mudança na densidade de fluído ao redor de cada ponto, como massa oposta. Nós podemos obter a mudança na densidade de fluído de start color #bc2612, R, end color #bc2612 dividindo a integral de fluxo pelo volume de start color #bc2612, R, end color #bc2612. Para denotar o volume de start color #bc2612, R, end color #bc2612, coloque barras ao redor dele:

vertical bar, start color #bc2612, R, end color #bc2612, vertical bar, left arrow, start text, V, o, l, u, m, e, space, d, e, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text

Então é assim que a taxa na qual a densidade de fluído varia dentro de start color #bc2612, R, end color #bc2612 se parece:

minus, start fraction, d, left parenthesis, start text, start color #0c7f99, start text, d, e, n, s, i, d, a, d, e, end text, end color #0c7f99, space, d, e, space, f, l, u, ı, with, \', on top, d, o, space, e, m, space, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end text, right parenthesis, divided by, d, t, end fraction, equals, start fraction, 1, divided by, vertical bar, start color #bc2612, R, end color #bc2612, vertical bar, end fraction, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612

A divergência de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em um ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05 é definida como o limite da expressão de variação da densidade do fluido à medida que a região encolhe em torno do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05.

$\displaystyle \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y, z)} = \!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \underbrace{ \lim_{\redE{R} \to \goldE{(x, y, z)}} }_{\redE{R}\text{ diminui ao redor de }\goldE{(x, y, z)}} \!\!\!\! \dfrac{1}{|\redE{R}|} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\; \redE{d\Sigma}$ start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, equals, start underbrace, limit, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, \to, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, end underbrace, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, start text, space, d, i, m, i, n, u, i, space, a, o, space, r, e, d, o, r, space, d, e, space, end text, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, start fraction, 1, divided by, vertical bar, start color #bc2612, R, end color #bc2612, vertical bar, end fraction, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612

Nessa equação, eu escrevi start color #bc2612, R, end color #bc2612, \to, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05 para passar a ideia de que start color #bc2612, R, end color #bc2612 está diminuindo ao redor do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05. No final das contas, toda essa notação é apenas uma tentativa desesperada de comunicar com símbolos uma ideia fortemente visual. Você verá diferentes autores usando diferentes notações. Se você preferir, pode começar dizendo que start color #bc2612, R, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript é uma região que contém o ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, e então escrever o seguinte:

$\displaystyle \text{div}\,\blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y, z)} = \lim_{|\redE{R}_\goldE{(x, y, z)}| \to 0} \dfrac{1}{|\redE{R}_\goldE{(x, y, z)}|} \iint_\redE{S} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\; \redE{d\Sigma}$ start text, d, i, v, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, equals, limit, start subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, \to, 0, end subscript, start fraction, 1, divided by, vertical bar, start color #bc2612, R, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, end fraction, \iint, start subscript, start color #bc2612, S, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f, start color #bc2612, d, \Sigma, end color #bc2612

Eu tenho uma leve preferência por essa última notação, apenas porque ela faz com que seja um pouco mais fácil ver a conexão entre start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, end color #a75a05 no lado esquerdo e o lado direito sem se apoiar muito no contexto em que todos os termos são definidos.

Parabéns!

Se você está no ponto em que consegue entender essa definição (bastante complicada), isso é um bom sinal de que você tem uma sólida compreensão sobre divergência e integrais de superfície. Também significa que você tem fortes condições de entender o teorema da divergência, que conecta essa ideia àquela das integrais triplas.

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