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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 1: Definições formais de divergência e rotacional (leitura opcional)- Por que se importar com as definições formais de divergência e rotacional?
- Definição formal de divergência em duas dimensões
- Definição formal de divergência em três dimensões
- Definição formal de rotacional em duas dimensões
- Definição formal de rotacional em três dimensões
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Definição formal de divergência em duas dimensões
Aprenda como integrais de linha são usadas para formalizar a ideia de divergência.
Conhecimentos prévios
Se ainda não tiver lido, você pode querer ler também "Por que se importar com as definições formais de divergência e rotacional" para motivação.
O que estamos construindo
- Em duas dimensões, a divergência é formalmente definida da seguinte forma:
Há muita coisa acontecendo nessa definição, mas vamos desenvolver uma coisa de cada vez. A maior parte da intuição vem do entendimento sobre fluxo.
"Fluxo de saída" em um ponto realmente não faz sentido
Por este ponto você deveria ter alguma ideia do que a divergência está tentando medir. Quando um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis representa um fluxo de fluido, a divergência mede a tendência do fluido em se afastar de cada ponto.
Entretanto, há uma incoerência entre a ideia de "fluxo de saída" e divergência em si:
- Divergência é uma função que toma pontos individuais no espaço.
- A ideia de fluxo de saída somente faz sentido com relação a uma região no espaço. Você pode se perguntar se um fluido flui para fora ou para dentro de uma dada região, mas não faz sentido falar de fluido fluindo a partir de um único ponto.
Definir formalmente divergência envolverá usar uma integral de fluxo, que mede o fluxo de saída de uma região, e então usar o calcular o limite apropriado conforme essa região diminui em torno de um ponto específico.
De uma região para um ponto
No artigo sobre fluxo bidimensional, tivemos a seguinte configuração:
- start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 é uma função de valor vetorial representando o campo vetorial da velocidade de algum fluido.
- start color #bc2612, C, end color #bc2612 é um circuito fechado no plano x, y.
- start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f é uma função que dá o vetor normal unitário que aponta para fora em todos os pontos da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612.
Eu já mencionei que, se você estivesse rastreando a massa do fluido na região delimitada pela curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, você poderia calcular a taxa na qual a massa está deixando a região usando a seguinte integral de linha:
Isto é chamado de "integral de fluxo". Se for positiva, o fluido tende a sair da região, caso contrário, ele tende a entrar na região. Você pode interpretar essa integral ao imaginar-se andando ao longo da borda start color #bc2612, C, end color #bc2612 e medindo quanto de fluido tende a sair ou entrar na região em cada ponto.
E se, em vez de medir a variação de massa, você quisesse saber a variação da densidade? Bem, apenas divida essa integral pela área da região em questão. Vamos em frente e dar um nome àquela região, start color #bc2612, A, end color #bc2612, e dizer que vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, vertical bar é a área da região.
Para definir formalmente a divergência de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em um ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, nós consideramos o limite dessa variação da densidade conforme a região se contrai em torno do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.
Não há nenhuma notação definitiva para isto, mas é com isto que eu vou seguir:
- Em vez de escrever apenas start color #bc2612, A, end color #bc2612, escreva start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript para enfatizar que essa região contém um ponto específico start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.
Isso é importante porque, à medida que deixamos a região se contrair, nós não queremos que ela se afaste do ponto.
A expressão "vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, \to, 0" indicará que nós estamos considerando o limite à medida que a área de start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript tende a 0, o que significa que start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript está se contraindo em torno do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.
Com tudo isto, aqui está como nós escrevemos a definição formal de divergência:
Exemplo "simples": Divergência constante
Diferente de outros tópicos, o propósito de um exemplo aqui não é praticar uma habilidade de que você precisará, mas ter uma ideia de como essa definição relativamente abstrata realmente se parece com uma função concreta.
Vamos usar o campo vetorial "com fluxo de saída" fundamental em duas dimensões.
Verificação de conceito: usando a fórmula normal de divergência, a que decorre da notação del, dot, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, qual é a divergência de ?
Agora vamos ver como a definição formal de divergência funciona nesse caso. Vamos considerar a origem.
E para nossas regiões que encolhem em torno desse ponto, considere círculos. Considere que C, start subscript, r, end subscriptdenota um círculo de raio r centrado na origem e D, start subscript, r, end subscript representa a região delimitada por esse círculo, onde D significa "Disco".
Note, para todos os valores de r, o disco D, start subscript, r, end subscript irá conter o ponto start color #a75a05, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #a75a05, então, esta é de fato uma boa família de regiões para usar.
A definição formal de divergência em start color #a75a05, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #a75a05 seria, então, escrita assim:
Isso é bastante abstrato, então vamos começar a preencher os detalhes dessa integral.
Verificação de conceito: o que é vertical bar, D, start subscript, r, end subscript, vertical bar?
Verificação de conceito: qual das seguintes opções parametriza start color #bc2612, C, start subscript, r, end subscript, end color #bc2612?
Verificação de conceito: usando essa parametrização, pelo quê deveríamos substituir start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 na integral integral, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, r, end subscript, end color #bc2612, end subscript, dots, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612?
Verificação de conceito: qual das opções a seguir dá um vetor normal unitário apontando para fora de start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f para start color #bc2612, C, start subscript, r, end subscript, end color #bc2612?
Aplicando todas essas respostas à expressão que tínhamos antes, temos:
Então, a definição formal coincide de fato com a fórmula del, dot, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 que nós conhecemos e amamos. Bem, pelo menos para esse exemplo específico.
Acho que você vai concordar, no entanto, que isso é muito mais trabalhoso de calcular. Mas o propósito dessa definição formal não é utilizá-lo para cálculos de verdade. O propósito é que ela faz um ótimo trabalho em ilustrar a ideia de "fluxo externo de fluído" numa fórmula matemática. Ter essa ideia bem consolidada será útil quando você aprender sobre o teorema da divergência de Green.
E quanto a dimensões superiores?
No próximo artigo, vou demonstrar como você pode fazer essencialmente a mesma coisa para definir divergência usando fluxo tridimensional, que envolve um integral de superfície.
Resumo
- Dado um fluxo de fluido, a divergência tenta captar a ideia de "fluxo para fora" em um ponto. Mas isso não faz sentido, porque você só pode medir a mudança na densidade do fluido de uma região.
- Quando se fala sobre uma região, a ideia de "fluxo para fora" é o mesmo que fluxo através do limite dessa região.
- Para adaptar a ideia de "fluxo para fora em uma região" à ideia de "fluxo para fora em um ponto", comece por considerar o fluxo externo médio por unidade de área em uma região. Isso significa simplesmente dividir a integral do fluxo pela área da região.
- Em seguida, considere o limite desse fluxo para fora por unidade de área, à medida que a região encolhe em torno de um ponto específico.
- Se representarmos tudo com símbolos, temos a seguinte definição de divergência:
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