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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 1: Definições formais de divergência e rotacional (leitura opcional)

Definição formal de divergência em duas dimensões

Aprenda como integrais de linha são usadas para formalizar a ideia de divergência.

Conhecimentos prévios

Se ainda não tiver lido, você pode querer ler também "Por que se importar com as definições formais de divergência e rotacional" para motivação.

O que estamos construindo

Em duas dimensões, a divergência é formalmente definida da seguinte forma:
$\begin{array}{r} div F (x, y) = lim_{| A_{(x, y)} | \to 0} \underset{Fluxo por área unitária}{\underset{⏟}{\frac{1}{| A_{(x, y)} |} \overset{Fluxo bidimensional através de C}{\overset{⏞}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} \end{array}$ ‍
$F (x, y)$ ‍ é um campo vetorial bidimensional.
$(x, y)$ ‍ é um ponto específico no plano $x y$ ‍.
$A_{(x, y)}$ ‍ é alguma região do plano $x y$ ‍ que inclui o ponto $(x, y)$ ‍. Por exemplo, você pode pensar nisto como sendo um círculo cujo centro é $(x, y)$ ‍.
$| A_{(x, y)} |$ ‍ é a área de $A_{(x, y)}$ ‍.
$lim_{| A_{(x, y)} | \to 0}$ ‍ indica que estamos considerando o limite conforme a área $| A_{(x, y)} |$ ‍ tende a zero. Em outras palavras, conforme $A_{(x, y)}$ ‍ se contrai em torno do ponto $(x, y)$ ‍.
$C$ ‍ é a fronteira de $A_{(x, y)}$ ‍.
$\hat{n} (x, y)$ ‍ é uma função que dá um vetor normal unitário apontando para fora em cada ponto em $C$ ‍.
A integral de linha $\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s$ ‍ representa o fluxo bidimensional de $F$ ‍ através de $C$ ‍.

Há muita coisa acontecendo nessa definição, mas vamos desenvolver uma coisa de cada vez. A maior parte da intuição vem do entendimento sobre fluxo.

"Fluxo de saída" em um ponto realmente não faz sentido

Por este ponto você deveria ter alguma ideia do que a divergência está tentando medir. Quando um campo vetorial

F (x, y)

representa um fluxo de fluido, a divergência mede a tendência do fluido em se afastar de cada ponto.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Entretanto, há uma incoerência entre a ideia de "fluxo de saída" e divergência em si:

Divergência é uma função que toma pontos individuais no espaço.
A ideia de fluxo de saída somente faz sentido com relação a uma região no espaço. Você pode se perguntar se um fluido flui para fora ou para dentro de uma dada região, mas não faz sentido falar de fluido fluindo a partir de um único ponto.

Definir formalmente divergência envolverá usar uma integral de fluxo, que mede o fluxo de saída de uma região, e então usar o calcular o limite apropriado conforme essa região diminui em torno de um ponto específico.

De uma região para um ponto

No artigo sobre fluxo bidimensional, tivemos a seguinte configuração:

$F (x, y)$ ‍ é uma função de valor vetorial representando o campo vetorial da velocidade de algum fluido.
$C$ ‍ é um circuito fechado no plano $x y$ ‍.
$\hat{n} (x, y)$ ‍ é uma função que dá o vetor normal unitário que aponta para fora em todos os pontos da curva $C$ ‍.

Eu já mencionei que, se você estivesse rastreando a massa do fluido na região delimitada pela curva

C

, você poderia calcular a taxa na qual a massa está deixando a região usando a seguinte integral de linha:

$\begin{array}{r} \underset{Taxa à qual a massa deixa a região}{\underset{⏟}{- \frac{d (massa do fluido na região)}{d t}}} = \underset{Integral do fluxo}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}} \end{array}$ ‍

Isto é chamado de "integral de fluxo". Se for positiva, o fluido tende a sair da região, caso contrário, ele tende a entrar na região. Você pode interpretar essa integral ao imaginar-se andando ao longo da borda

C

e medindo quanto de fluido tende a sair ou entrar na região em cada ponto.

E se, em vez de medir a variação de massa, você quisesse saber a variação da densidade? Bem, apenas divida essa integral pela área da região em questão. Vamos em frente e dar um nome àquela região,

A

, e dizer que

| A |

é a área da região.

$\begin{array}{r} \underset{Variação na massa por área unitária em A}{\underset{⏟}{- \frac{d (densidade do fluido na região)}{d t}}} = \frac{1}{| A |} \oint_{C} F \cdot \hat{n} d s \end{array}$ ‍

Para definir formalmente a divergência de

F

em um ponto

(x, y)

, nós consideramos o limite dessa variação da densidade conforme a região se contrai em torno do ponto

(x, y)

Não há nenhuma notação definitiva para isto, mas é com isto que eu vou seguir:

Em vez de escrever apenas $A$ ‍, escreva $A_{(x, y)}$ ‍ para enfatizar que essa região contém um ponto específico $(x, y)$ ‍.

Isso é importante porque, à medida que deixamos a região se contrair, nós não queremos que ela se afaste do ponto.

A expressão "

| A_{(x, y)} | \to 0

" indicará que nós estamos considerando o limite à medida que a área de

A_{(x, y)}

tende a

0

, o que significa que

A_{(x, y)}

está se contraindo em torno do ponto

(x, y)

Com tudo isto, aqui está como nós escrevemos a definição formal de divergência:

$\begin{array}{r} div F (x, y) = \underset{\begin{array}{c} A região está se contraindo \\ em torno de (x, y) \end{array}}{\underset{⏟}{lim_{| A_{(x, y)} | \to 0}}} \overset{\begin{array}{c} Variação negativa da \\ densidade do fluido em A_{(x, y)} \end{array}}{\overset{⏞}{\frac{1}{| A_{(x, y)} |} \underset{Fluxo através de C}{\underset{⏟}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} \end{array}$ ‍

Exemplo "simples": Divergência constante

Diferente de outros tópicos, o propósito de um exemplo aqui não é praticar uma habilidade de que você precisará, mas ter uma ideia de como essa definição relativamente abstrata realmente se parece com uma função concreta.

Vamos usar o campo vetorial "com fluxo de saída" fundamental em duas dimensões.

$\begin{array}{r} F (x, y) = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \end{array}$ ‍

Verificação de conceito: usando a fórmula normal de divergência, a que decorre da notação

\nabla \cdot F

, qual é a divergência de

F (x, y) = [\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]

\nabla \cdot F (x, y) =

Agora vamos ver como a definição formal de divergência funciona nesse caso. Vamos considerar a origem.

$(x, y) = (0, 0)$ ‍

E para nossas regiões que encolhem em torno desse ponto, considere círculos. Considere que

C_{r}

denota um círculo de raio

r

centrado na origem e

D_{r}

representa a região delimitada por esse círculo, onde

D

significa "Disco".

Note, para todos os valores de

r

, o disco

D_{r}

irá conter o ponto

(0, 0)

, então, esta é de fato uma boa família de regiões para usar.

A definição formal de divergência em

(0, 0)

seria, então, escrita assim:

$\begin{array}{r} div F (0, 0) = lim_{| D_{r} | \to 0} \frac{1}{| D_{r} |} \oint_{C_{r}} F \cdot \hat{n} d s \end{array}$ ‍

Isso é bastante abstrato, então vamos começar a preencher os detalhes dessa integral.

Verificação de conceito: o que é

| D_{r} |

$| D_{r} | =$ ‍

Verificação de conceito: qual das seguintes opções parametriza

C_{r}

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} \cos (t) \\ sen (t) \end{array}] \end{array}$ ‍ conforme $t$ ‍ varia de $0$ ‍ a $2 π$ ‍.
(Escolha B)
$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} r \cos (t) \\ r sen (t) \end{array}] \end{array}$ ‍ conforme $t$ ‍ varia de $0$ ‍ a $2 π$ ‍.

Verificação de conceito: usando essa parametrização, pelo quê deveríamos substituir

d s

na integral

\int_{C_{r}} \dots d s

$d s =$ ‍
$d t$ ‍

Se você não estiver familiarizado com essa etapa, considere fazer uma revisão dos artigos sobre integrais de linha ou comprimento do arco.
O valor $d s$ ‍ representa uma pequena parte do comprimento do arco na curva $C_{r}$ ‍. Comece calculando a derivada da função que parametriza $C_{r}$ ‍:
$\begin{array}{r} \frac{d}{d t} [\begin{array}{c} r \cos (t) \\ r sen (t) \end{array}] = [\begin{array}{c} - r sen (t) \\ r \cos (t) \end{array}] \end{array}$ ‍
Então, calcule sua magnitude:
$\begin{aligned} \sqrt{(- r sen (t))^{2} + (r \cos (t))^{2}} \\ = \sqrt{r^{2} ({sen}^{2} (t) + \cos^{2} (t))} \\ = r \end{aligned}$ ‍
Quando você multiplica isso por $d t$ ‍, obtém um pequeno trecho de comprimento do arco:
$d s = r d t$ ‍

Verificação de conceito: qual das opções a seguir dá um vetor normal unitário apontando para fora de

\hat{n}

para

C_{r}

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x / r \\ y / r \end{array}] \end{array}$ ‍
(Escolha B)
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] \end{array}$ ‍
(Escolha C)
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} r x \\ r y \end{array}] \end{array}$ ‍

A primeira opção de resposta está correta:
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x / r \\ y / r \end{array}] \end{array}$ ‍
Considere um ponto $(x, y)$ ‍ sobre o círculo $C_{r}$ ‍.
O vetor $[\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}]$ ‍ não apenas aponta da origem para $(x, y)$ ‍ como também dá um vetor normal nesse ponto.
No entanto, já que $(x, y)$ ‍ está no círculo de raio $r$ ‍, a magnitude deste vetor é $r$ ‍. Para obter um vetor normal unitário devemos dividir cada componente por $r$ ‍:
$\begin{array}{r} \hat{n} (x, y) = [\begin{array}{c} x / r \\ y / r \end{array}] \end{array}$ ‍

Aplicando todas essas respostas à expressão que tínhamos antes, temos:

$\begin{aligned} div F (0, 0) \\ ⇓ \\ = lim_{| D_{r} | \to 0} \frac{1}{| D_{r} |} \oint_{C_{r}} F \cdot \hat{n} d s \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} F (r \cos (t), r sen (t)) \cdot \hat{n} (r \cos (t), r sen (t)) r d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} [\begin{array}{c} r \cos (t) \\ r sen (t) \end{array}] \cdot [\begin{array}{c} (r \cos (t)) / r \\ (r sen (t)) / r \end{array}] r d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} \underset{r}{\underset{⏟}{(r \cos^{2} (t) + r {sen}^{2} (t))}} r d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} \int_{0}^{2 π} r^{2} d t \\ = lim_{r \to 0} \frac{1}{π r^{2}} 2 π r^{2} \\ = 2 \end{aligned}$ ‍

Então, a definição formal coincide de fato com a fórmula

\nabla \cdot F

que nós conhecemos e amamos. Bem, pelo menos para esse exemplo específico.

Acho que você vai concordar, no entanto, que isso é muito mais trabalhoso de calcular. Mas o propósito dessa definição formal não é utilizá-lo para cálculos de verdade. O propósito é que ela faz um ótimo trabalho em ilustrar a ideia de "fluxo externo de fluído" numa fórmula matemática. Ter essa ideia bem consolidada será útil quando você aprender sobre o teorema da divergência de Green.

E quanto a dimensões superiores?

No próximo artigo, vou demonstrar como você pode fazer essencialmente a mesma coisa para definir divergência usando fluxo tridimensional, que envolve um integral de superfície.

Resumo

Dado um fluxo de fluido, a divergência tenta captar a ideia de "fluxo para fora" em um ponto. Mas isso não faz sentido, porque você só pode medir a mudança na densidade do fluido de uma região.
Quando se fala sobre uma região, a ideia de "fluxo para fora" é o mesmo que fluxo através do limite dessa região.
Para adaptar a ideia de "fluxo para fora em uma região" à ideia de "fluxo para fora em um ponto", comece por considerar o fluxo externo médio por unidade de área em uma região. Isso significa simplesmente dividir a integral do fluxo pela área da região.
Em seguida, considere o limite desse fluxo para fora por unidade de área, à medida que a região encolhe em torno de um ponto específico.
Se representarmos tudo com símbolos, temos a seguinte definição de divergência:
$\begin{array}{r} div F (x, y) = lim_{| A_{(x, y)} | \to 0} \underset{Fluxo por área unitária}{\underset{⏟}{\frac{1}{| A_{(x, y)} |} \overset{Fluxo bidimensional}{\overset{⏞}{\oint_{C} F \cdot \hat{n} d s}}}} \end{array}$ ‍

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