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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 1: Definições formais de divergência e rotacional (leitura opcional)

Definição formal de divergência em duas dimensões

Aprenda como integrais de linha são usadas para formalizar a ideia de divergência.

Conhecimentos prévios

Se ainda não tiver lido, você pode querer ler também "Por que se importar com as definições formais de divergência e rotacional" para motivação.

O que estamos construindo

Em duas dimensões, a divergência é formalmente definida da seguinte forma:
$\begin{aligned} \text{div}\, \blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} = \lim_{\left|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}\right| \to 0} \underbrace{ \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}\right|} \overbrace{ \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} }^{\text{Fluxo bidimensional através de $\redE{C}$}} }_{\text{Fluxo por área unitária}} \end{aligned}$
[Separação dos termos]

Há muita coisa acontecendo nessa definição, mas vamos desenvolver uma coisa de cada vez. A maior parte da intuição vem do entendimento sobre fluxo.

"Fluxo de saída" em um ponto realmente não faz sentido

Por este ponto você deveria ter alguma ideia do que a divergência está tentando medir. Quando um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis representa um fluxo de fluido, a divergência mede a tendência do fluido em se afastar de cada ponto.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Entretanto, há uma incoerência entre a ideia de "fluxo de saída" e divergência em si:

Divergência é uma função que toma pontos individuais no espaço.
A ideia de fluxo de saída somente faz sentido com relação a uma região no espaço. Você pode se perguntar se um fluido flui para fora ou para dentro de uma dada região, mas não faz sentido falar de fluido fluindo a partir de um único ponto.

Definir formalmente divergência envolverá usar uma integral de fluxo, que mede o fluxo de saída de uma região, e então usar o calcular o limite apropriado conforme essa região diminui em torno de um ponto específico.

De uma região para um ponto

No artigo sobre fluxo bidimensional, tivemos a seguinte configuração:

start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0c7f99 é uma função de valor vetorial representando o campo vetorial da velocidade de algum fluido.
start color #bc2612, C, end color #bc2612 é um circuito fechado no plano x, y.
start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #0d923f é uma função que dá o vetor normal unitário que aponta para fora em todos os pontos da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612.

Eu já mencionei que, se você estivesse rastreando a massa do fluido na região delimitada pela curva start color #bc2612, C, end color #bc2612, você poderia calcular a taxa na qual a massa está deixando a região usando a seguinte integral de linha:

$\begin{aligned} \underbrace{ -\dfrac{d(\text{massa do fluido na região})}{dt} }_{\text{Taxa à qual a massa deixa a região}} = \underbrace{ \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} }_{\text{Integral do fluxo}} \end{aligned}$

Isto é chamado de "integral de fluxo". Se for positiva, o fluido tende a sair da região, caso contrário, ele tende a entrar na região. Você pode interpretar essa integral ao imaginar-se andando ao longo da borda start color #bc2612, C, end color #bc2612 e medindo quanto de fluido tende a sair ou entrar na região em cada ponto.

E se, em vez de medir a variação de massa, você quisesse saber a variação da densidade? Bem, apenas divida essa integral pela área da região em questão. Vamos em frente e dar um nome àquela região, start color #bc2612, A, end color #bc2612, e dizer que vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, vertical bar é a área da região.

$\begin{aligned} \underbrace{ -\dfrac{d(\text{$\blueE{\text{densidade}}$ do fluido na região})}{dt} }_{ \text{Variação na massa } \blueE{\text{por área unitária em }} \redE{A} } = \dfrac{1}{|\redE{A}|} \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \end{aligned}$

Para definir formalmente a divergência de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em um ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, nós consideramos o limite dessa variação da densidade conforme a região se contrai em torno do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.

Não há nenhuma notação definitiva para isto, mas é com isto que eu vou seguir:

Em vez de escrever apenas start color #bc2612, A, end color #bc2612, escreva start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript para enfatizar que essa região contém um ponto específico start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.

Isso é importante porque, à medida que deixamos a região se contrair, nós não queremos que ela se afaste do ponto.

A expressão "vertical bar, start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript, vertical bar, \to, 0" indicará que nós estamos considerando o limite à medida que a área de start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript tende a 0, o que significa que start color #bc2612, A, end color #bc2612, start subscript, start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, end subscript está se contraindo em torno do ponto start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05.

Com tudo isto, aqui está como nós escrevemos a definição formal de divergência:

$\begin{aligned} \text{div}\, \blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} = \!\!\!\!\!\! \underbrace{ \lim_{|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}| \to 0} }_{\substack{ \text{A região está se contraindo} \\ \text{em torno de $\goldE{(x, y)}$} }} \!\!\! \overbrace{ \dfrac{1}{|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}|} \underbrace{ \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} }_{\text{Fluxo através de $\redE{C}$}} }^{\substack{ \text{Variação negativa da} \\ \text{$\blueE{\text{densidade}}$ do fluido em $\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}$} }} \end{aligned}$

Exemplo "simples": Divergência constante

Diferente de outros tópicos, o propósito de um exemplo aqui não é praticar uma habilidade de que você precisará, mas ter uma ideia de como essa definição relativamente abstrata realmente se parece com uma função concreta.

Vamos usar o campo vetorial "com fluxo de saída" fundamental em duas dimensões.

$\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \end{aligned}$

Verificação de conceito: usando a fórmula normal de divergência, a que decorre da notação del, dot, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, qual é a divergência de

\blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]

del, dot, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

[Resposta]

Agora vamos ver como a definição formal de divergência funciona nesse caso. Vamos considerar a origem.

start color #a75a05, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, end color #a75a05, equals, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis

E para nossas regiões que encolhem em torno desse ponto, considere círculos. Considere que C, start subscript, r, end subscriptdenota um círculo de raio r centrado na origem e D, start subscript, r, end subscript representa a região delimitada por esse círculo, onde D significa "Disco".

Note, para todos os valores de r, o disco D, start subscript, r, end subscript irá conter o ponto start color #a75a05, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #a75a05, então, esta é de fato uma boa família de regiões para usar.

A definição formal de divergência em start color #a75a05, left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis, end color #a75a05 seria, então, escrita assim:

$\begin{aligned} \; \text{div}\, \blueE{\textbf{F}}\goldE{(0, 0)} = \lim_{|D_r| \to 0} \dfrac{1}{|D_r|} \oint_{\redE{C_r}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \end{aligned}$

Isso é bastante abstrato, então vamos começar a preencher os detalhes dessa integral.

Verificação de conceito: o que é vertical bar, D, start subscript, r, end subscript, vertical bar?

vertical bar, D, start subscript, r, end subscript, vertical bar, equals

[Resposta]

Verificação de conceito: qual das seguintes opções parametriza start color #bc2612, C, start subscript, r, end subscript, end color #bc2612?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} \cos(t) \\ \operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}$ conforme t varia de 0 a 2, pi.
(Escolha B)
$\begin{aligned} \left[ \begin{array}{c} r\cos(t) \\ r\operatorname{sen}(t) \end{array} \right] \end{aligned}$ conforme t varia de 0 a 2, pi.

[Resposta]

Verificação de conceito: usando essa parametrização, pelo quê deveríamos substituir start color #bc2612, d, s, end color #bc2612 na integral integral, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, r, end subscript, end color #bc2612, end subscript, dots, start color #bc2612, d, s, end color #bc2612?

start color #bc2612, d, s, end color #bc2612, equals
d, t

[Resposta]

Verificação de conceito: qual das opções a seguir dá um vetor normal unitário apontando para fora de start color #0d923f, start bold text, n, end bold text, with, hat, on top, end color #0d923f para start color #bc2612, C, start subscript, r, end subscript, end color #bc2612?

Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$\begin{aligned} \greenE{\hat{\textbf{n}}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} x/r \\ y/r \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha B)
$\begin{aligned} \greenE{\hat{\textbf{n}}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] \end{aligned}$
(Escolha C)
$\begin{aligned} \greenE{\hat{\textbf{n}}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} rx \\ ry \end{array} \right] \end{aligned}$

[Resposta]

Aplicando todas essas respostas à expressão que tínhamos antes, temos:

$\begin{aligned} \; &\quad \text{div}\, \blueE{\textbf{F}}\goldE{(0, 0)} \\\\ &\qquad \Downarrow \\\\ &= \lim_{|D_r| \to 0} \dfrac{1}{|D_r|} \oint_{\redE{C_r}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} \\\\ &= \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{\pi r^2} \int_0^{2\pi} \blueE{\textbf{F}(r\cos(t), r\operatorname{sen}(t))} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}(r\cos(t), r\operatorname{sen}(t))}\; r\,dt \\\\ &= \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{\pi r^2} \int_0^{2\pi} \blueE{\left[ \begin{array}{c} r\cos(t) \\ r\operatorname{sen}(t) \end{array} \right]} \cdot \greenE{\left[ \begin{array}{c} (r\cos(t))/r \\ (r\operatorname{sen}(t))/r \end{array} \right]} \;r\,dt \\\\ &= \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{\pi r^2} \int_0^{2\pi} \underbrace{(r\cos^2(t) + r\operatorname{sen}^2(t))}_{r} r\,dt \\\\ &= \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{\pi r^2} \int_0^{2\pi} r^2 dt \\\\ &= \lim_{r \to 0} \dfrac{1}{\pi r^2} 2\pi r^2 \\\\ &= 2 \end{aligned}$

Então, a definição formal coincide de fato com a fórmula del, dot, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 que nós conhecemos e amamos. Bem, pelo menos para esse exemplo específico.

Acho que você vai concordar, no entanto, que isso é muito mais trabalhoso de calcular. Mas o propósito dessa definição formal não é utilizá-lo para cálculos de verdade. O propósito é que ela faz um ótimo trabalho em ilustrar a ideia de "fluxo externo de fluído" numa fórmula matemática. Ter essa ideia bem consolidada será útil quando você aprender sobre o teorema da divergência de Green.

E quanto a dimensões superiores?

No próximo artigo, vou demonstrar como você pode fazer essencialmente a mesma coisa para definir divergência usando fluxo tridimensional, que envolve um integral de superfície.

Resumo

Dado um fluxo de fluido, a divergência tenta captar a ideia de "fluxo para fora" em um ponto. Mas isso não faz sentido, porque você só pode medir a mudança na densidade do fluido de uma região.
Quando se fala sobre uma região, a ideia de "fluxo para fora" é o mesmo que fluxo através do limite dessa região.
Para adaptar a ideia de "fluxo para fora em uma região" à ideia de "fluxo para fora em um ponto", comece por considerar o fluxo externo médio por unidade de área em uma região. Isso significa simplesmente dividir a integral do fluxo pela área da região.
Em seguida, considere o limite desse fluxo para fora por unidade de área, à medida que a região encolhe em torno de um ponto específico.
Se representarmos tudo com símbolos, temos a seguinte definição de divergência:
$\begin{aligned} \text{div}\, \blueE{\textbf{F}}\goldE{(x, y)} = \lim_{\left|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}\right| \to 0} \underbrace{ \dfrac{1}{\left|\redE{A}_{\goldE{(x, y)}}\right|} \overbrace{ \oint_{\redE{C}} \blueE{\textbf{F}} \cdot \greenE{\hat{\textbf{n}}}\;\redE{ds} }^{\text{Fluxo bidimensional}} }_{\text{Fluxo por área unitária}} \end{aligned}$

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