Por que se importar com as definições formais de divergência e rotacional?

De certa forma, a grande arte da matemática é encontrar as definições corretas. Isso envolve pegar uma ideia solta na cabeça, uma intuição, e transformá-la em algo absolutamente concreto.

Pelos próximos artigos, estou pressupondo que você aprendeu sobre divergência e rotacional. Particularmente, você deve saber como calculá-los, e mais importante, você deve se sentir familiarizado com a interpretação de cada operação em termos de fluxo do fluido.

O objetivo desses artigos, então, será o de transformar essas interpretações de fluxo do fluido em definições matemáticas.

Bom, divergência e rotacional são duas operações engraçadas em que a maneira com que elas são definidas não é a mesma maneira com que elas são calculadas na prática. As fórmulas que usamos para cálculos, isto é, aquelas que vêm da notação $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{F}}$‍ e $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{F}}$‍, não são as definições formais. As definições formais envolvem certas integrais que capturam o raciocínio apropriado do fluxo do fluido.

Infelizmente, essas definições não são muito práticas de usar para cálculos reais, então é mais comum apenas introduzir as fórmulas $\mathrm{\nabla }\cdot \mathbf{\text{F}}$‍ e $\mathrm{\nabla }\times \mathbf{\text{F}}$‍. Na verdade, é uma sorte que essas fórmulas relativamente calculáveis existam.

Sim e não. Sim, essas definições não serão algo que você precisa memorizar ou tirar do bolso para uma aplicação prática. Porém, na minha opinião, não existe maneira melhor de solidificar seu entendimento de como interpretar tanto a divergência como o rotacional do que entender essas definições. Elas também servem como uma ótima prática da aplicação de integrais de linha e integrais de superfície.

Além disso, e talvez mais importante, alguns dos tópicos importantes que você aprenderá em breve em cálculo multivariável incluem o teorema de Green e o teorema de Stokes, que relacionam o rotacional a integrais de linha e integrais de superfície. Eu lhe prometo que será muito mais fácil ver o que esses teoremas realmente estão dizendo se você possuir um entendimento sólido de como o rotacional realmente é definido.

E o mesmo vale para a divergência; o teorema da divergência de Green e o teorema da divergência tridimensional são mais dois tópicos importantes que se tornam mais fáceis de entender quando você sabe o que a divergência realmente significa.

Dito isso, é possível entender todos esses teoremas sem aprender as definições formais de divergência e rotacional, então você pode ver esses artigos como leitura opcional. Mas você estaria fazendo um grande favor ao seu eu futuro se adiantasse a sobrecarga de entendimento conceitual aqui.