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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 3: Teorema de Green (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Teoremas de Green, de Stokes e da divergência
Teorema de Green (artigos)
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Teorema de Green

Google Sala de Aula
O teorema de Green relaciona o rotacional de uma integral dupla a uma certa integral de linha. É realmente muito bonito.

Conhecimentos prévios

Não é estritamente necessário, mas é útil para uma compreensão mais completa:

Outros recursos

Você pode encontrar exemplos de como o Teorema de Green é usado para resolver problemas no próximo artigo. Aqui, falarei sobre o que considero ser uma bela linha de raciocínio para explicar por que ele é verdadeiro. Você pode encontrar uma outra perspectiva no vídeo do Sal sobre esse assunto.

Uma lição, quatro ensinamentos

O Teorema de Green é um dos quatro principais teoremas no ápice do cálculo multivariável:
  • Teorema de Green
  • Teorema da divergência em 2D
  • Teorema de Stokes
  • Teorema da divergência 3D
A boa notícia é que os quatro têm princípios bem parecidos. Então, se você realmente chegar no ponto de estar totalmente familiarizado com o Teorema de Green, já estará bem adiantado para entender os outros três!

O que estamos construindo

  • Estrutura:
    • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 é um campo vetorial bidimensional.
      • start color #bc2612, R, end color #bc2612 é uma região no plano x, y.
      • start color #bc2612, C, end color #bc2612 é a fronteira dessa região, orientada no sentido anti-horário.
  • O Teorema de Green afirma que a integral de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em torno da fronteira de start color #bc2612, R, end color #bc2612 é igual à integral dupla do rotacional de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em start color #bc2612, R, end color #bc2612:
    \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start bold text, F, end bold text, d, A, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
  • Pense no lado esquerdo da equação como sendo a soma de todas as pequenas porções de rotação em todos os pontos dentro da região start color #bc2612, R, end color #bc2612, e no lado direito como a medida da rotação total do fluido ao redor da fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612 de start color #bc2612, R, end color #bc2612.
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 é frequentemente escrito em relação às suas componentes, como a seguir:
    start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top
    Em função de P e Q, o Teorema de Green fica assim:
    \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A

Rotação do fluido ao redor de uma fronteira

A medida que você lê sobre isso, a imagem que deve ter em mente é a de uma região em um campo vetorial.
  • start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis é a função do campo vetorial. E, como você já deve estar se acostumando caso tenha lido outros artigos como esse que envolvem campos vetoriais, imagine que start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 representa um fluxo do fluido.
  • start color #bc2612, R, end color #bc2612 é uma região no plano x, y. Na prática, e em exercícios, ela será uma figura bem definida como um círculo ou a fronteira entre dois gráficos. Mas, enquanto estiver pensando de forma abstrata, gosto de desenhá-la simplesmente como uma mancha.
  • start color #bc2612, C, end color #bc2612 é a fronteira de start color #bc2612, R, end color #bc2612, orientada no sentido anti-horário. Lembre-se dessa orientação, porque ela é realmente importante na hora de resolver problemas. Sentido anti-horário. Está memorizando? Sentido anti-horário.
Verificação de conceito: como você interpreta a seguinte integral de linha em função do fluxo do fluido?
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
(Lembre-se de que, em uma integral de linha por um campo vetorial, o termo d, start bold text, r, end bold text representa um pequeno passo ao longo da curva, como um vetor, que nesse caso sempre apontará no sentido anti-horário.)
Escolha 1 resposta:

Confira aqui uma maneira de pensar sobre a integral de linha \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text : imagine-se remando um bote ao redor da linha start color #bc2612, C, end color #bc2612, no sentido anti-horário.
Em cada ponto de sua trajetória, o vetor d, start bold text, r, end bold text dá o sentido do seu movimento. O produto escalar start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text será positivo em pontos nos quais o fluxo do fluido estiver a seu favor, e negativo nos pontos em que estiver contra você.
No geral, a integral de linha \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text soma todos esses produtos escalares para lhe dizer se o fluxo, na maior parte do tempo, lhe ajudou ou lhe atrapalhou.
Então, essa integral de linha será positiva quando o fluxo do fluido tiver uma tendência geral anti-horária ao redor da fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612 (o que significa que ela, em geral, ajudou), e negativa se tiver uma tendência horária (em geral, atrapalhou).

Trazendo a fronteira para o interior

O Teorema de Green se resume em utilizar essa ideia de rotação do fluido ao redor da fronteira de start color #bc2612, R, end color #bc2612 e relacioná-la com o que acontece dentro de start color #bc2612, R, end color #bc2612. Conceitualmente, isso vai envolver dividir start color #bc2612, R, end color #bc2612 em várias partes pequenas. Em termos de fórmula, o resultado final será calcular a integral dupla de start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99.

Dividir a região

Imagine dividir ao meio a região start color #bc2612, R, end color #bc2612 com uma linha reta de cima a baixo, gerando duas sub-regiões start color #bc2612, R, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612 e start color #bc2612, R, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612:
Denomine as fronteiras dessas duas regiões start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f e start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05. O que acontece se pegarmos as integrais de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao redor dessas duas fronteiras e as somarmos?
\oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
Observe que essas integrais de linha se anularão ao longo do corte vertical que você fez. Notadamente, a integral ao redor de start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f vai para "cima" por essa linha, enquanto a integral ao redor de start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05 integra essa linha para "baixo". (Lembre-se de que, ao realizar uma integral de linha em um campo vetorial, mudar a direção ao longo de uma curva multiplica seu resultado por minus, 1).
Isso significa que a soma de nossas duas integrais é igual a simplesmente percorrer toda a fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612.
\oint, start subscript, start color #0d923f, C, start subscript, 1, end subscript, end color #0d923f, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #a75a05, C, start subscript, 2, end subscript, end color #a75a05, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Dividi-la novamente

Você poderia fazer isso mais uma vez, talvez agora com um corte horizontal:
Se você integrar ao redor das fronteiras das quatro sub-regiões resultantes, todas as integrais se anularão ao longo das divisões que você fez no interior de start color #bc2612, R, end color #bc2612:
Em uma fórmula, isso significa que a soma das integrais de linha em torno das quatro sub-regiões acabam simplesmente se igualando à integral de linha em torno da região inteira:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 3, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, plus, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, 4, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
Devo salientar que isso só funciona se nos certificarmos de que todas fronteiras start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, 4, end subscript, end color #bc2612 estão orientadas da mesma forma. Caso contrário, elas podem não se anular ao longo das divisões. É comum pensar no sentido anti-horário como sendo o sentido positivo, então considere tudo como sendo orientado no sentido anti-horário.

Dividi-la várias e várias vezes

Você já deve ter entendido onde eu quero chegar com isso. Imagine dividir a região start color #bc2612, R, end color #bc2612 em muitas e muitas pequenas partes, start color #bc2612, R, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, R, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612. Oriente todas as suas fronteiras start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612 no sentido anti-horário e integre a função start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 sobre cada uma.
As integrais se anularão ao longo de todas as divisões no interior de start color #bc2612, R, end color #bc2612. Isso ocorre porque, para qualquer número de divisões, uma das integrais percorrerá uma divisão em um sentido enquanto outra a percorrerá no sentido contrário. Por fim, as únicas partes nas quais estas integrais não se anulam são as partes da fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612.
Isso significa que somar as integrais de linha ao longo das fonteiras das pequenas partes resultará no mesmo que apenas fazer a integração sobre a região completa:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, F, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text

Integrando o rotacional

Então, por que estou fazendo isso? Porque existe uma outra maneira de interpretar cada uma dessas integrais de linha em torno de uma pequena parte usando um rotacional bidimensional. Escolha uma dessas partes e a amplie.
  • Considere start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 a parte escolhida, com fronteira start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612.
  • Considere vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar a área de start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, que estamos considerando ter um valor muito pequeno.
  • Considere start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05 um ponto dentro dessa parte (pode ser qualquer ponto).
A rotação do fluido ao redor dessa parte por causa de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 pode ser medida pela integral de linha \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text. Pense no pequeno bote a remo. Mas, como essa é uma parte bem pequena, existe outro conceito de cálculo multivariável que mede a rotação do fluido: o rotacional.
Essa integral de linha pode ser aproximada calculando o start text, r, o, t, space, 2, d, end text de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 em qualquer ponto dentro de start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, e multiplicando-o pela (pequena) área vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar:
∮CkF⋅dr⏟Integral ao redor de umapequena parte Rk≈(rot 2d F(xk,yk)⏟Ponto em Rk)∣Rk∣⏟Aˊrea de Rk\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral ao redor de uma} \\ \text{pequena parte $\redE{R_k}$} }} \approx \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Ponto em $\redE{R_k}$}} \right) \underbrace{|\redE{R_k}|}_{\text{Área de $\redE{R_k}$}}
Ademais, e isso é importante, quanto menor for start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, melhor será essa aproximação.
Ao somar essas aproximações para todas as pequenas partes start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, você obterá:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, approximately equals, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, P, o, n, t, o, space, e, m, space, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis
Com base na seção anterior, chegamos à conclusão de que o lado esquerdo acima é igual a uma única integral de linha ao redor da fronteira inteira de start color #bc2612, E, end color #bc2612, então podemos reescrever essa aproximação assim:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, approximately equals, sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, P, o, n, t, o, space, e, m, space, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis
Agora, preste atenção na soma do lado direito.
  • Ela inclui uma função de valor escalar, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99
  • A soma é calculada sobre várias partes pequenas start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 de uma região bidimensional, start color #bc2612, R, end color #bc2612.
  • Para cada parte dentro da soma, a função é calculada em um ponto dentro dessa parte e, em seguida, multiplicada pela sua área.
Isso lhe soa familiar? Esta é a receita para uma integral dupla! (Se isto não lhe soa familiar, considere a leitura deste artigo sobre integrais duplas.)
Em particular, se você se imaginar dividindo verticalmente a região start color #bc2612, R, end color #bc2612 em partes cada vez mais finas, você poderá substituir a soma acima por uma integral dupla de start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 sobre start color #bc2612, R, end color #bc2612:
sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start underbrace, start color #a75a05, left parenthesis, x, start subscript, k, end subscript, comma, y, start subscript, k, end subscript, right parenthesis, end color #a75a05, end underbrace, start subscript, start text, P, o, n, t, o, space, e, m, space, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end text, end subscript, vertical bar, start color #bc2612, R, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, vertical bar, right parenthesis, right arrow, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
Resumindo, temos:
∮CF⋅dr=∑k=1n(∮CkF⋅dr)≈∑k=1n(rot 2d F(xk,yk)⏟Ponto em Rk ∣Rk∣)→∬Rrot 2d F dA\begin{aligned} \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} &= \sum_{k = 1}^n \left( \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} \right) \\\\ &\approx \sum_{k = 1}^n \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Ponto em $\redE{R_k}$}} \,|\redE{R_k}| \right) \\\\ &\to \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \,\redE{dA} \end{aligned}
Isto é, na verdade, mais que uma simples aproximação. A integral de linha ao redor da fronteira equivale à integral dupla do rotacional bidimensional:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612
Este fato maravilhoso se chama Teorema de Green. Ao observá-lo, você pode lê-lo como dizendo que a rotação de um fluido ao redor da fronteira completa de uma região (lado esquerdo) é o mesmo que considerar todos os pequenos "pedaços de rotação" dentro da região e somá-los (lado direito).

Notação alternativa

É muito comum ver o teorema de Green escrito assim:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
Isto está apenas explicitando o produto escalar na integral de linha do lado esquerdo, assim como o rotacional na integral dupla do lado direito. Por alguma razão, é comum usar as letras P e Q para denotar as componentes da função de valor vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
F(x,y)=P(x,y)i^+Q(x,y)j^=[P(x,y)Q(x,y)]\displaystyle \blueE{\textbf{F}}(x, y) = P(x, y)\hat{\textbf{i}} + Q(x, y)\hat{\textbf{j}} = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right]
No próximo artigo, você encontrará exemplos de como essa fórmula pode ser usada para tornar tanto integrais de linha quanto integrais duplas mais simples.

Resumo

  • Você pode pensar na integral de linha \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text como a medição do rotacional do fluxo do fluido representado pelo campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ao redor da curva start color #bc2612, C, end color #bc2612. Convencionou-se pensar na rotação no sentido anti-horário como sendo positiva, então, nesse caso, start color #bc2612, C, end color #bc2612 deve estar orientada no sentido anti-horário.
  • Imagine dividir a região bidimensional start color #bc2612, R, end color #bc2612 delimitada por start color #bc2612, C, end color #bc2612 em várias pequenas partes. Denomine as fronteiras dessas partes de start color #bc2612, C, start subscript, 1, end subscript, end color #bc2612, comma, dots, comma, start color #bc2612, C, start subscript, n, end subscript, end color #bc2612, e oriente todas elas no sentido anti-horário. Então, somar as integrais de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao redor de cada fronteira start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612 das partes resulta no mesmo que a integral de linha ao redor da fronteira completa start color #bc2612, C, end color #bc2612.
    sum, start subscript, k, equals, 1, end subscript, start superscript, n, end superscript, left parenthesis, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, start subscript, k, end subscript, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, right parenthesis, equals, \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text
    Isto é, as pequenas integrais de linha se anulam ao longo de todas as divisões dentro de start color #bc2612, R, end color #bc2612.
  • Como você considera partes cada vez menores, a integral de linha em torno de cada pequena parte pode ser aproximada usando um rotacional bidimensional.
∮CkF⋅dr⏟Integral ao redor de umapequena parte Rk≈(rot 2d F(xk,yk)⏟Ponto em Rk)∣Rk∣⏟Aˊrea de Rk\displaystyle \underbrace{ \oint_\redE{C_k} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} }_{\substack{ \text{Integral ao redor de uma} \\ \text{pequena parte $\redE{R_k}$} }} \approx \left( \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}} \underbrace{ \goldE{(x_k, y_k)} }_{\text{Ponto em $\redE{R_k}$}} \right) \underbrace{|\redE{R_k}|}_{\text{Área de $\redE{R_k}$}}
  • Ao somar essas pequenas "porções de rotacional" usando uma integral dupla sobre start color #bc2612, R, end color #bc2612, e aplicar o fato de que a soma das integrais de linha se anulam ao longo das divisões interiores, você obtém o teorema de Green.
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, start color #bc2612, d, A, end color #bc2612

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