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Exemplos do teorema de Green

O teorema de Green é bonito e tudo mais, mas aqui você pode aprender como ele é usado de verdade.

Conhecimentos prévios

Lembrando a fórmula

O teorema de Green é mais comumente apresentado da seguinte forma:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA
Essa também é a forma mais comum como os problemas práticos e as questões de prova costumam aparecer. Mas, pessoalmente, eu nunca consigo lembrar neste formato de P e Q.
"Seria Qx ou Qy?"
"Qual termo é subtraído mesmo?"
Eu sempre começo pensando sobre essa forma:
CFdr=Rrot 2dFdA
Eu acho isso mais fácil de lembrar, porque tem, na verdade, um significado físico (veja o último artigo para mais detalhes):
  • A integral de linha de um campo vetorial F(x,y) ao redor de uma curva fechada C mede a rotação de um fluido ao redor daquela fronteira C.
  • A integral dupla do rotacional F é composta por todos os minúsculos pedaços de rotação de fluido dentro da região R delimitada por C.
  • Intuitivamente, faz sentido que esses conceitos devam estar relacionados. E, na verdade, eles são iguais.
Para chegar na versão PQ do teorema, escreva os componentes de F como P(x,y) e Q(x,y):
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)]
(Lembre que P é o componente x e Q é o componente y, pense no fato que P vem antes de Q no alfabeto).
E a partir daqui, expanda cada parte da integral de linha, rotacional, etc. Depois de fazer isso algumas vezes, fica natural o suficiente para fazer de cabeça.
CFdr=Rrot 2dFdAC[P(x,y)Q(x,y)][dxdy]=Rrot 2d([P(x,y)Q(x,y)])dACPdx+Qdy=R(QxPy)dxdy
Claro, isso requer que você se lembre como calcular o rotacional bidimensional, mas isso é algo que deve ser lembrado fora do contexto do teorema de Green de qualquer forma.
Cuidado: o teorema de Green só se aplica a curvas que estejam no sentido anti-horário. Se você estiver integrando ao longo da curva no sentido horário e deseja aplicar o teorema de Green, deverá inverter o sinal do seu resultado em algum momento.

Como saber quando usar o teorema de Green?

"Matemática não é um esporte para espectadores" - George Polya
A melhor maneira de entender sua utilidade é simplesmente ir direto a alguns exemplos para começar a sentir como as coisas funcionam. Irei questionar você após cada exemplo para tentar ajudá-lo a entender cada caso.

Exemplo 1: integral de linha Área


Problema: seja C a circunferência de raio 2 centralizada no ponto (3,2):
Se você orientar a circunferência C no sentido anti-horário, calcule a seguinte integral:
C3ydx+4xdy

Solução
Etapa 1: a curva em questão está orientada no sentido horário ou no sentido anti-horário ?
Escolha 1 resposta:

Sei que pode parecer meio bobo perguntar, dado que isso já estava explícito no enunciado problema. Mas é importante lembrar que você deve sempre se perguntar isso quando for usar o teorema de Green.
Etapa 2: enquanto aplicamos o teorema de Green na integral C3ydx+4xdy, pelo que devemos substituir P(x,y) e Q(x,y)?
P(x,y)=
Q(x,y)=

Etapa 3: agora calcule as derivadas parciais de P(x,y) e Q(x,y).
Qx=
Py=

Etapa 4: finalmente, calcule a integral dupla para o teorema de Green. Nesse caso, R representa a região delimitada pelo círculo de raio 2 centralizado em (3,2). (Dica, não trabalhe demais nesse caso).
R(QxPy)dA=

Interrogatório do exemplo 1

Por que a integral de linha do último exemplo ficou mais simples que a integral dupla quando aplicamos o teorema de Green? É porque o rotacional da função relevante era constante:
Rotacional 2d([P(x,y)Q(x,y)])=Rotacional 2d([3y4x])=x(4x)y(3y)=43=1
De maneira mais geral, caso pareça que a derivada parcial de Q com relação a x é simples, e/ou a derivada parcial de P com relação a y é simples, pense no teorema de Green.
CP(x,y) y é simples?dx+Q(x,y) x é simples?dy
É importante também que a gente consiga calcular facilmente a área da região em questão. Se isso não fosse verdade, a integral dupla não teria sido mais fácil no final das contas.

Exemplo 2: gráfico de duas funções


Problema
Considere as duas seguintes funções:
f(x)=(x24)(x21)
g(x)=4x2
Agora considere a região entre os gráficos dessas funções.
Seja D a fronteira dessa região no sentido horário (D para descaído). Calcule a seguinte integral de linha:
Dx2ydxy2dy

Solução
Etapa 1: a curva em questão está orientada no sentido horário ou no sentido anti-horário ?
Escolha 1 resposta:

Já que o teorema de Green se aplica a curvas no sentido anti-horário, isso significa que precisamos usar o negativo do nosso resultado final.
Etapa 2: pelo que devemos substituir P(x,y) e Q(x,y) na integral Dx2ydxy2dy?
P(x,y)=
Q(x,y)=

Etapa 3: agora calcule as derivadas parciais de P(x,y) e Q(x,y).
Qx=
Py=

Etapa 4: para aplicar o teorema de Green, vamos realizar uma integral dupla na região descaída D, que foi definida como a região acima do gráfico y=(x24)(x21) e abaixo do gráfico y=4x2. Esta integral dupla será alguma coisa parecida com o seguinte:
x1x2y1(x)y2(x)dydx
Preencha todos os limites:
x1=
x2=
y1(x)=
y2(x)=

Etapa 5: finalmente, para usar o teorema de Green, devemos substituir os valores corretos na integral. Se a nossa integral fosse no sentido anti-horário, deveríamos usar
QxPy
Entretanto, como a curva está no sentido horário, devemos tornar isso negativo:
(QxPy)=PyQx
Usando as respostas das últimas duas questões, substituindo esse valor na integral dupla montada, encontre a resposta para integral de linha original da questão:
Dx2ydxy2dy=

Interrogatório do exemplo 2

Como no exemplo 1, parte do motivo da integral de linha ter se tornado mais simples é que os termos ficaram mais simples quando examinamos as derivadas parciais apropriadas.
Cx2yy é simples?Sim, um pouco.dx+(y2) x é simples?Sim, muito simples.dy
Além disso, a região em questão foi definida por duas curvas distintas. Calcular a integral de linha diretamente requer que sejam criadas duas integrais de linha separadas para cada curva. Mas a integral dupla, de maneira muito natural, passou por toda a região de uma só vez.
Uma outra coisa que se deve perceber é que a última integral dupla não era exatamente simples. Você ainda precisou usar muito papel durante os cálculos. Mas isso é normal. Nós ainda podemos nos sentir confiantes que o teorema de Green deixou tudo mais simples, já que cada termo individual se tornou mais simples, dado que evitamos a necessidade de parametrização das curvas, e o que seriam duas integrais de linha se tornaram apenas uma integral dupla.

Cálculo de áreas traiçoeiras

Nos últimos dois exemplos, usamos o teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla. Aqui, vamos fazer o inverso. Dê uma olhada na integral dupla do teorema de Green:
R(QxPy)dA
Lembre-se de como, no Exemplo 1, nós tivemos a sorte de ter a seguinte propriedade:
(QxPy)=1
Isso significa que a nossa integral estava só calculando a área de R:
R(QxPy)dARdA=Área de R
Agora imagine que não conhecemos de antemão a área de R, mas desejamos calculá-la. Uma coisa que você pode fazer é encontrar um par de funções P(x,y) e Q(x,y) que satisfaçam a propriedade de rotacional igual a um:
QxPy=1,
De acordo com o teorema de Green, qualquer par de funções como esse permitirá que você calcule a área de uma determinada região usando uma integral de linha:
CPdx+Qdy=R(QxPy)dA=R(1)dA=Área de R
Não é estranho, calcular a área de uma região usando uma integral de linha ao redor da fronteira dessa região? Vamos ver como fica isso em ação.

Exemplo 3: área de uma concha


Problema
Considere a espiral definida pelas seguintes equações paramétricas no intervalo 0t2π.
x(t)=tcos(t)y(t)=tsen(t)
Agora, adicione a reta de (0,0) até (2π,0) a essa espiral, e considere a forma em concha que essa região engloba.
Qual é a área dessa região?

Solução
Etapa 1: como a fronteira dessa concha está orientada?
Escolha 1 resposta:

Etapa 2: escolha P(x,y) e Q(x,y) apropriados.
Para usar o truque do teorema de Green, primeiramente, precisamos encontrar um par de funções P(x,y) e Q(x,y) que satisfaçam a seguinte propriedade:
QxPy=1
Na verdade, poucos pares de funções satisfazem essa propriedade.
Verificação conceito: quais dos seguintes pares de funções satisfazem essa propriedade?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Você deve ter pensado que a segunda e terceira opções acima tornariam as coisas mais simples. O interessante, porém, é que normalmente é a última opção que faz o cálculo da integral de linha fluir melhor. isso significa resolver a seguinte integral:
C12ydxPdx+12xdyQdy
Ou, escrito de maneira mais limpa,
C12(xdyydx)
Por que isso é mais simples? Você verá em um minuto como os elementos se anulam, e isso tem a ver com incluir x e y na expressão simetricamente. Honestamente, eu não sei como você poderia ter visto isso antes, é muito esperto.
Etapa 3: calcule a integral de linha.
A fronteira da nossa região é definida por duas curvas. Uma é a espiral, definida por essas duas equações no intervalo 0t2π:
x(t)=tcos(t)y(t)=tsen(t)
A outra é a reta entre (0,0) e (2π,0). Note que essa reta está completamente no eixo x. Portanto, y é sempre 0, e dy também é 0, já que não há mudança em y. Então, considere o valor da integral de linha nesse segmento:
12(xdy0y0dx)
Cada parte do integrante é 0, então podemos ignorá-lo! Portanto, podemos simplesmente calcular essa integral de linha sobre a espiral e chegar à resposta.
Verificação de conceito: dado que x(t)=tcos(t) e y(t)=tsen(t), o que devemos substituir por xdyydx na integral de linha? Tente desenvolver isso no papel e simplificar.
xdyydx=
dt

Pode terminar: use a última resposta para calcular a seguinte integral de linha na espiral, que dará a área da concha, como desejado:
Espiral12(xdyydx)=

Resumo

  • O teorema de Green pode transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais simples.
  • Para saber se o teorema de Green realmente tornará uma integral de linha mais simples, faça as duas perguntas a seguir:
CP(x,y) y é simples?dx+Q(x,y) x é simples?dy
  • Além disso, leve em consideração se a região abrangida pela curva C será fácil de descrever com uma integral dupla, ou se sua área é conhecida.
  • Você pode calcular a área da região com a seguinte integral de linha ao redor da fronteira orientada no sentido anti-horário:
C12(xdyydx)

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