If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal

Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 3: Teorema de Green (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Teoremas de Green, de Stokes e da divergência
Teorema de Green (artigos)
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies

Exemplos do teorema de Green

Google Sala de Aula
O teorema de Green é bonito e tudo mais, mas aqui você pode aprender como ele é usado de verdade.

Conhecimentos prévios

Lembrando a fórmula

O teorema de Green é mais comumente apresentado da seguinte forma:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, P, d, x, plus, Q, d, y, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
Essa também é a forma mais comum como os problemas práticos e as questões de prova costumam aparecer. Mas, pessoalmente, eu nunca consigo lembrar neste formato de P e Q.
"Seria start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction ou start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction?"
"Qual termo é subtraído mesmo?"
Eu sempre começo pensando sobre essa forma:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, dot, d, start bold text, r, end bold text, equals, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, start text, r, o, t, space, 2, d, end text, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, d, A
Eu acho isso mais fácil de lembrar, porque tem, na verdade, um significado físico (veja o último artigo para mais detalhes):
  • A integral de linha de um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ao redor de uma curva fechada start color #bc2612, C, end color #bc2612 mede a rotação de um fluido ao redor daquela fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612.
  • A integral dupla do rotacional start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 é composta por todos os minúsculos pedaços de rotação de fluido dentro da região start color #bc2612, R, end color #bc2612 delimitada por start color #bc2612, C, end color #bc2612.
  • Intuitivamente, faz sentido que esses conceitos devam estar relacionados. E, na verdade, eles são iguais.
Para chegar na versão P, Q do teorema, escreva os componentes de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 como P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
F(x,y)=[P(x,y)Q(x,y)]\begin{aligned} \blueE{\textbf{F}}(x, y) = \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \end{aligned}
(Lembre que P é o componente x e Q é o componente y, pense no fato que P vem antes de Q no alfabeto).
E a partir daqui, expanda cada parte da integral de linha, rotacional, etc. Depois de fazer isso algumas vezes, fica natural o suficiente para fazer de cabeça.
∮CF⋅dr=∬Rrot 2d F dA⇓∮C[P(x,y)Q(x,y)]⋅[dxdy]=∬Rrot 2d ([P(x,y)Q(x,y)]) dA⇓∮CP dx+Q dy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dx dy\begin{aligned} \oint_\redE{C} \blueE{\textbf{F}} \cdot d\textbf{r} &= \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\,\blueE{\textbf{F}}\,dA \\\\ &\Downarrow \\\\ \oint_\redE{C} \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} dx \\ dy \end{array} \right] &= \iint_\redE{R} \text{rot 2d}\, \left( \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \right) \,dA \\\\ &\Downarrow \\\\ \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy &= \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy \end{aligned}
Claro, isso requer que você se lembre como calcular o rotacional bidimensional, mas isso é algo que deve ser lembrado fora do contexto do teorema de Green de qualquer forma.
Cuidado: o teorema de Green só se aplica a curvas que estejam no sentido anti-horário. Se você estiver integrando ao longo da curva no sentido horário e deseja aplicar o teorema de Green, deverá inverter o sinal do seu resultado em algum momento.

Como saber quando usar o teorema de Green?

"Matemática não é um esporte para espectadores" - George Polya
A melhor maneira de entender sua utilidade é simplesmente ir direto a alguns exemplos para começar a sentir como as coisas funcionam. Irei questionar você após cada exemplo para tentar ajudá-lo a entender cada caso.

Exemplo 1: integral de linha \to Área

Problema: seja start color #bc2612, C, end color #bc2612 a circunferência de raio 2 centralizada no ponto left parenthesis, 3, comma, minus, 2, right parenthesis:
Se você orientar a circunferência start color #bc2612, C, end color #bc2612 no sentido anti-horário, calcule a seguinte integral:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, 3, y, d, x, plus, 4, x, d, y
Solução
Etapa 1: a curva em questão está orientada no sentido horário ou no sentido anti-horário ?
Escolha 1 resposta:

Sei que pode parecer meio bobo perguntar, dado que isso já estava explícito no enunciado problema. Mas é importante lembrar que você deve sempre se perguntar isso quando for usar o teorema de Green.
Etapa 2: enquanto aplicamos o teorema de Green na integral \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, 3, y, d, x, plus, 4, x, d, y, pelo que devemos substituir P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis?
P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Etapa 3: agora calcule as derivadas parciais de P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, equals
start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals

Etapa 4: finalmente, calcule a integral dupla para o teorema de Green. Nesse caso, start color #bc2612, R, end color #bc2612 representa a região delimitada pelo círculo de raio 2 centralizado em left parenthesis, 3, comma, minus, 2, right parenthesis. (Dica, não trabalhe demais nesse caso).
\iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, equals

Interrogatório do exemplo 1

Por que a integral de linha do último exemplo ficou mais simples que a integral dupla quando aplicamos o teorema de Green? É porque o rotacional da função relevante era constante:
Rotacional 2d([P(x,y)Q(x,y)])=Rotacional 2d([3y4x])=∂∂x(4x)−∂∂y(3y)=4−3=1\begin{aligned} \text{Rotacional 2d}\left( \left[ \begin{array}{c} P(x, y) \\ Q(x, y) \end{array} \right] \right) &= \text{Rotacional 2d}\left( \left[ \begin{array}{c} 3y \\ 4x \end{array} \right] \right) \\\\ &= \dfrac{\partial}{\partial x}(4x) - \dfrac{\partial}{\partial y}(3y) \\\\ &= 4 - 3 \\\\ &= 1 \end{aligned}
De maneira mais geral, caso pareça que a derivada parcial de Q com relação a x é simples, e/ou a derivada parcial de P com relação a y é simples, pense no teorema de Green.
∮CP(x,y)⏞ ∂∂y eˊ simples? dx+Q(x,y)⏞ ∂∂x eˊ simples? dy\begin{aligned} \oint_C \overbrace{ P(x, y) }^{\text{ $\dfrac{\partial}{\redE{\partial y}}$ é simples?}}\,{\blueE{dx}} + \overbrace{ Q(x, y) }^{{\text{ $\dfrac{\partial}{{\blueE{\partial x}}}$ é simples?}}}\,\redE{dy} \end{aligned}
É importante também que a gente consiga calcular facilmente a área da região em questão. Se isso não fosse verdade, a integral dupla não teria sido mais fácil no final das contas.

Exemplo 2: gráfico de duas funções

Problema
Considere as duas seguintes funções:
f, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis
g, left parenthesis, x, right parenthesis, equals, 4, minus, x, squared
Agora considere a região entre os gráficos dessas funções.
Seja start color #bc2612, D, end color #bc2612 a fronteira dessa região no sentido horário (D para descaído). Calcule a seguinte integral de linha:
\oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y
Solução
Etapa 1: a curva em questão está orientada no sentido horário ou no sentido anti-horário ?
Escolha 1 resposta:

Já que o teorema de Green se aplica a curvas no sentido anti-horário, isso significa que precisamos usar o negativo do nosso resultado final.
Etapa 2: pelo que devemos substituir P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis na integral \oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y?
P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals
Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals

Etapa 3: agora calcule as derivadas parciais de P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, equals
start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals

Etapa 4: para aplicar o teorema de Green, vamos realizar uma integral dupla na região descaída start color #bc2612, D, end color #bc2612, que foi definida como a região acima do gráfico y, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis e abaixo do gráfico y, equals, 4, minus, x, squared. Esta integral dupla será alguma coisa parecida com o seguinte:
integral, start subscript, x, start subscript, 1, end subscript, end subscript, start superscript, x, start subscript, 2, end subscript, end superscript, integral, start subscript, y, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, end subscript, start superscript, y, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, end superscript, dots, d, y, d, x
Preencha todos os limites:
x, start subscript, 1, end subscript, equals
x, start subscript, 2, end subscript, equals
y, start subscript, 1, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals
y, start subscript, 2, end subscript, left parenthesis, x, right parenthesis, equals

Etapa 5: finalmente, para usar o teorema de Green, devemos substituir os valores corretos na integral. Se a nossa integral fosse no sentido anti-horário, deveríamos usar
start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction
Entretanto, como a curva está no sentido horário, devemos tornar isso negativo:
minus, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, minus, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction
Usando as respostas das últimas duas questões, substituindo esse valor na integral dupla montada, encontre a resposta para integral de linha original da questão:
\oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y, equals

Interrogatório do exemplo 2

Como no exemplo 1, parte do motivo da integral de linha ter se tornado mais simples é que os termos ficaram mais simples quando examinamos as derivadas parciais apropriadas.
∮Cx2y⏞∂∂y eˊ simples?Sim, um pouco. dx+(−y2)⏞ ∂∂x eˊ simples?Sim, muito simples. dy\begin{aligned} \oint_C \overbrace{ x^2 y }^{\substack{ \text{$\dfrac{\partial}{\redE{\partial y}}$ é simples?}\\ \text{Sim, um pouco.}\\ }}\,{\blueE{dx}} + \overbrace{ (-y^2) }^{\substack{ \text{ $\dfrac{\partial}{{\blueE{\partial x}}}$ é simples?} \\ \text{Sim, muito simples.}\\ }}\,\redE{dy} \end{aligned}
Além disso, a região em questão foi definida por duas curvas distintas. Calcular a integral de linha diretamente requer que sejam criadas duas integrais de linha separadas para cada curva. Mas a integral dupla, de maneira muito natural, passou por toda a região de uma só vez.
Uma outra coisa que se deve perceber é que a última integral dupla não era exatamente simples. Você ainda precisou usar muito papel durante os cálculos. Mas isso é normal. Nós ainda podemos nos sentir confiantes que o teorema de Green deixou tudo mais simples, já que cada termo individual se tornou mais simples, dado que evitamos a necessidade de parametrização das curvas, e o que seriam duas integrais de linha se tornaram apenas uma integral dupla.

Cálculo de áreas traiçoeiras

Nos últimos dois exemplos, usamos o teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla. Aqui, vamos fazer o inverso. Dê uma olhada na integral dupla do teorema de Green:
\iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A
Lembre-se de como, no Exemplo 1, nós tivemos a sorte de ter a seguinte propriedade:
left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, equals, 1
Isso significa que a nossa integral estava só calculando a área de start color #bc2612, R, end color #bc2612:
\iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, left parenthesis, start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, right parenthesis, d, A, right arrow, \iint, start subscript, start color #bc2612, R, end color #bc2612, end subscript, d, A, equals, start text, A, with, \', on top, r, e, a, space, d, e, space, end text, start color #bc2612, R, end color #bc2612
Agora imagine que não conhecemos de antemão a área de start color #bc2612, R, end color #bc2612, mas desejamos calculá-la. Uma coisa que você pode fazer é encontrar um par de funções P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que satisfaçam a propriedade de rotacional igual a um:
start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals, 1,
De acordo com o teorema de Green, qualquer par de funções como esse permitirá que você calcule a área de uma determinada região usando uma integral de linha:
∮CP dx+Q dy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y) dA=∬R(1) dA=Aˊrea de R\begin{aligned} \oint_\redE{C} P\,dx + Q\,dy &= \iint_\redE{R} \left( \dfrac{\partial Q}{\partial x} - \dfrac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \\\\ &= \iint_\redE{R} (1) \,dA \\\\ &= \text{Área de }\redE{R} \end{aligned}
Não é estranho, calcular a área de uma região usando uma integral de linha ao redor da fronteira dessa região? Vamos ver como fica isso em ação.

Exemplo 3: área de uma concha

Problema
Considere a espiral definida pelas seguintes equações paramétricas no intervalo 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi.
x(t)=tcos⁡(t)y(t)=tsen⁡(t)\begin{aligned} x(t) &= t \cos(t) \\ y(t) &= t \operatorname{sen}(t) \end{aligned}
Agora, adicione a reta de left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis até left parenthesis, 2, pi, comma, 0, right parenthesis a essa espiral, e considere a forma em concha que essa região engloba.
Qual é a área dessa região?
Solução
Etapa 1: como a fronteira dessa concha está orientada?
Escolha 1 resposta:

Etapa 2: escolha P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis apropriados.
Para usar o truque do teorema de Green, primeiramente, precisamos encontrar um par de funções P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que satisfaçam a seguinte propriedade:
start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals, 1
Na verdade, poucos pares de funções satisfazem essa propriedade.
Verificação conceito: quais dos seguintes pares de funções satisfazem essa propriedade?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

Você deve ter pensado que a segunda e terceira opções acima tornariam as coisas mais simples. O interessante, porém, é que normalmente é a última opção que faz o cálculo da integral de linha fluir melhor. isso significa resolver a seguinte integral:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start underbrace, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, y, d, x, end underbrace, start subscript, P, d, x, end subscript, plus, start underbrace, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x, d, y, end underbrace, start subscript, Q, d, y, end subscript
Ou, escrito de maneira mais limpa,
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, d, y, minus, y, d, x, right parenthesis
Por que isso é mais simples? Você verá em um minuto como os elementos se anulam, e isso tem a ver com incluir x e y na expressão simetricamente. Honestamente, eu não sei como você poderia ter visto isso antes, é muito esperto.
Etapa 3: calcule a integral de linha.
A fronteira da nossa região é definida por duas curvas. Uma é a espiral, definida por essas duas equações no intervalo 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi:
x(t)=tcos⁡(t)y(t)=tsen⁡(t)\begin{aligned} x(t) &= t \cos(t) \\ y(t) &= t \operatorname{sen}(t) \end{aligned}
A outra é a reta entre left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 2, pi, comma, 0, right parenthesis. Note que essa reta está completamente no eixo x. Portanto, y é sempre 0, e d, y também é 0, já que não há mudança em y. Então, considere o valor da integral de linha nesse segmento:
integral, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, start underbrace, d, y, end underbrace, start subscript, 0, end subscript, minus, start underbrace, y, end underbrace, start subscript, 0, end subscript, d, x, right parenthesis
Cada parte do integrante é 0, então podemos ignorá-lo! Portanto, podemos simplesmente calcular essa integral de linha sobre a espiral e chegar à resposta.
Verificação de conceito: dado que x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, s, e, n, left parenthesis, t, right parenthesis, o que devemos substituir por x, d, y, minus, y, d, x na integral de linha? Tente desenvolver isso no papel e simplificar.
x, d, y, minus, y, d, x, equals
d, t

Pode terminar: use a última resposta para calcular a seguinte integral de linha na espiral, que dará a área da concha, como desejado:
integral, start subscript, start text, E, s, p, i, r, a, l, end text, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, d, y, minus, y, d, x, right parenthesis, equals

Resumo

  • O teorema de Green pode transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais simples.
  • Para saber se o teorema de Green realmente tornará uma integral de linha mais simples, faça as duas perguntas a seguir:
∮CP(x,y)⏞ ∂∂y eˊ simples? dx+Q(x,y)⏞ ∂∂x eˊ simples? dy\begin{aligned} \oint_C \overbrace{ P(x, y) }^{\text{ $\dfrac{\partial}{\redE{\partial y}}$ é simples?}}\,{\blueE{dx}} + \overbrace{ Q(x, y) }^{{\text{ $\dfrac{\partial}{{\blueE{\partial x}}}$ é simples?}}}\,\redE{dy} \end{aligned}
  • Além disso, leve em consideração se a região abrangida pela curva C será fácil de descrever com uma integral dupla, ou se sua área é conhecida.
  • Você pode calcular a área da região com a seguinte integral de linha ao redor da fronteira orientada no sentido anti-horário:
\oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, x, d, y, minus, y, d, x, right parenthesis

Quer participar da conversa?

Entrar
Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.