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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 3: Teorema de Green (artigos)Exemplos do teorema de Green
O teorema de Green é bonito e tudo mais, mas aqui você pode aprender como ele é usado de verdade.
Conhecimentos prévios
Lembrando a fórmula
O teorema de Green é mais comumente apresentado da seguinte forma:
Essa também é a forma mais comum como os problemas práticos e as questões de prova costumam aparecer. Mas, pessoalmente, eu nunca consigo lembrar neste formato de P e Q.
"Seria start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction ou start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, y, end fraction?"
"Qual termo é subtraído mesmo?"
Eu sempre começo pensando sobre essa forma:
Eu acho isso mais fácil de lembrar, porque tem, na verdade, um significado físico (veja o último artigo para mais detalhes):
- A integral de linha de um campo vetorial start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ao redor de uma curva fechada start color #bc2612, C, end color #bc2612 mede a rotação de um fluido ao redor daquela fronteira start color #bc2612, C, end color #bc2612.
- A integral dupla do rotacional start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 é composta por todos os minúsculos pedaços de rotação de fluido dentro da região start color #bc2612, R, end color #bc2612 delimitada por start color #bc2612, C, end color #bc2612.
- Intuitivamente, faz sentido que esses conceitos devam estar relacionados. E, na verdade, eles são iguais.
Para chegar na versão P, Q do teorema, escreva os componentes de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 como P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
(Lembre que P é o componente x e Q é o componente y, pense no fato que P vem antes de Q no alfabeto).
E a partir daqui, expanda cada parte da integral de linha, rotacional, etc. Depois de fazer isso algumas vezes, fica natural o suficiente para fazer de cabeça.
Claro, isso requer que você se lembre como calcular o rotacional bidimensional, mas isso é algo que deve ser lembrado fora do contexto do teorema de Green de qualquer forma.
Cuidado: o teorema de Green só se aplica a curvas que estejam no sentido anti-horário. Se você estiver integrando ao longo da curva no sentido horário e deseja aplicar o teorema de Green, deverá inverter o sinal do seu resultado em algum momento.
Como saber quando usar o teorema de Green?
"Matemática não é um esporte para espectadores" - George Polya
A melhor maneira de entender sua utilidade é simplesmente ir direto a alguns exemplos para começar a sentir como as coisas funcionam. Irei questionar você após cada exemplo para tentar ajudá-lo a entender cada caso.
Exemplo 1: integral de linha \to Área
Problema: seja start color #bc2612, C, end color #bc2612 a circunferência de raio 2 centralizada no ponto left parenthesis, 3, comma, minus, 2, right parenthesis:
Se você orientar a circunferência start color #bc2612, C, end color #bc2612 no sentido anti-horário, calcule a seguinte integral:
Solução
Etapa 1: a curva em questão está orientada no sentido horário ou no sentido anti-horário ?
Sei que pode parecer meio bobo perguntar, dado que isso já estava explícito no enunciado problema. Mas é importante lembrar que você deve sempre se perguntar isso quando for usar o teorema de Green.
Etapa 2: enquanto aplicamos o teorema de Green na integral \oint, start subscript, start color #bc2612, C, end color #bc2612, end subscript, 3, y, d, x, plus, 4, x, d, y, pelo que devemos substituir P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis?
Etapa 3: agora calcule as derivadas parciais de P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
Etapa 4: finalmente, calcule a integral dupla para o teorema de Green. Nesse caso, start color #bc2612, R, end color #bc2612 representa a região delimitada pelo círculo de raio 2 centralizado em left parenthesis, 3, comma, minus, 2, right parenthesis. (Dica, não trabalhe demais nesse caso).
Interrogatório do exemplo 1
Por que a integral de linha do último exemplo ficou mais simples que a integral dupla quando aplicamos o teorema de Green? É porque o rotacional da função relevante era constante:
De maneira mais geral, caso pareça que a derivada parcial de Q com relação a x é simples, e/ou a derivada parcial de P com relação a y é simples, pense no teorema de Green.
É importante também que a gente consiga calcular facilmente a área da região em questão. Se isso não fosse verdade, a integral dupla não teria sido mais fácil no final das contas.
Exemplo 2: gráfico de duas funções
Problema
Considere as duas seguintes funções:
Agora considere a região entre os gráficos dessas funções.
Seja start color #bc2612, D, end color #bc2612 a fronteira dessa região no sentido horário (D para descaído). Calcule a seguinte integral de linha:
Solução
Etapa 1: a curva em questão está orientada no sentido horário ou no sentido anti-horário ?
Já que o teorema de Green se aplica a curvas no sentido anti-horário, isso significa que precisamos usar o negativo do nosso resultado final.
Etapa 2: pelo que devemos substituir P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis na integral \oint, start subscript, start color #bc2612, D, end color #bc2612, end subscript, x, squared, y, d, x, minus, y, squared, d, y?
Etapa 3: agora calcule as derivadas parciais de P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
Etapa 4: para aplicar o teorema de Green, vamos realizar uma integral dupla na região descaída start color #bc2612, D, end color #bc2612, que foi definida como a região acima do gráfico y, equals, left parenthesis, x, squared, minus, 4, right parenthesis, left parenthesis, x, squared, minus, 1, right parenthesis e abaixo do gráfico y, equals, 4, minus, x, squared. Esta integral dupla será alguma coisa parecida com o seguinte:
Preencha todos os limites:
Etapa 5: finalmente, para usar o teorema de Green, devemos substituir os valores corretos na integral. Se a nossa integral fosse no sentido anti-horário, deveríamos usar
Entretanto, como a curva está no sentido horário, devemos tornar isso negativo:
Usando as respostas das últimas duas questões, substituindo esse valor na integral dupla montada, encontre a resposta para integral de linha original da questão:
Interrogatório do exemplo 2
Como no exemplo 1, parte do motivo da integral de linha ter se tornado mais simples é que os termos ficaram mais simples quando examinamos as derivadas parciais apropriadas.
Além disso, a região em questão foi definida por duas curvas distintas. Calcular a integral de linha diretamente requer que sejam criadas duas integrais de linha separadas para cada curva. Mas a integral dupla, de maneira muito natural, passou por toda a região de uma só vez.
Uma outra coisa que se deve perceber é que a última integral dupla não era exatamente simples. Você ainda precisou usar muito papel durante os cálculos. Mas isso é normal. Nós ainda podemos nos sentir confiantes que o teorema de Green deixou tudo mais simples, já que cada termo individual se tornou mais simples, dado que evitamos a necessidade de parametrização das curvas, e o que seriam duas integrais de linha se tornaram apenas uma integral dupla.
Cálculo de áreas traiçoeiras
Nos últimos dois exemplos, usamos o teorema de Green para transformar uma integral de linha em uma integral dupla. Aqui, vamos fazer o inverso. Dê uma olhada na integral dupla do teorema de Green:
Lembre-se de como, no Exemplo 1, nós tivemos a sorte de ter a seguinte propriedade:
Isso significa que a nossa integral estava só calculando a área de start color #bc2612, R, end color #bc2612:
Agora imagine que não conhecemos de antemão a área de start color #bc2612, R, end color #bc2612, mas desejamos calculá-la. Uma coisa que você pode fazer é encontrar um par de funções P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que satisfaçam a propriedade de rotacional igual a um:
start fraction, \partial, Q, divided by, \partial, x, end fraction, minus, start fraction, \partial, P, divided by, \partial, y, end fraction, equals, 1,
De acordo com o teorema de Green, qualquer par de funções como esse permitirá que você calcule a área de uma determinada região usando uma integral de linha:
Não é estranho, calcular a área de uma região usando uma integral de linha ao redor da fronteira dessa região? Vamos ver como fica isso em ação.
Exemplo 3: área de uma concha
Problema
Considere a espiral definida pelas seguintes equações paramétricas no intervalo 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi.
Agora, adicione a reta de left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis até left parenthesis, 2, pi, comma, 0, right parenthesis a essa espiral, e considere a forma em concha que essa região engloba.
Qual é a área dessa região?
Solução
Etapa 1: como a fronteira dessa concha está orientada?
Etapa 2: escolha P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis apropriados.
Para usar o truque do teorema de Green, primeiramente, precisamos encontrar um par de funções P, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis e Q, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis que satisfaçam a seguinte propriedade:
Na verdade, poucos pares de funções satisfazem essa propriedade.
Verificação conceito: quais dos seguintes pares de funções satisfazem essa propriedade?
Você deve ter pensado que a segunda e terceira opções acima tornariam as coisas mais simples. O interessante, porém, é que normalmente é a última opção que faz o cálculo da integral de linha fluir melhor. isso significa resolver a seguinte integral:
Ou, escrito de maneira mais limpa,
Por que isso é mais simples? Você verá em um minuto como os elementos se anulam, e isso tem a ver com incluir x e y na expressão simetricamente. Honestamente, eu não sei como você poderia ter visto isso antes, é muito esperto.
Etapa 3: calcule a integral de linha.
A fronteira da nossa região é definida por duas curvas. Uma é a espiral, definida por essas duas equações no intervalo 0, is less than or equal to, t, is less than or equal to, 2, pi:
A outra é a reta entre left parenthesis, 0, comma, 0, right parenthesis e left parenthesis, 2, pi, comma, 0, right parenthesis. Note que essa reta está completamente no eixo x. Portanto, y é sempre 0, e d, y também é 0, já que não há mudança em y. Então, considere o valor da integral de linha nesse segmento:
Cada parte do integrante é 0, então podemos ignorá-lo! Portanto, podemos simplesmente calcular essa integral de linha sobre a espiral e chegar à resposta.
Verificação de conceito: dado que x, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, cosine, left parenthesis, t, right parenthesis e y, left parenthesis, t, right parenthesis, equals, t, s, e, n, left parenthesis, t, right parenthesis, o que devemos substituir por x, d, y, minus, y, d, x na integral de linha? Tente desenvolver isso no papel e simplificar.
Pode terminar: use a última resposta para calcular a seguinte integral de linha na espiral, que dará a área da concha, como desejado:
Resumo
- O teorema de Green pode transformar integrais de linha complicadas em integrais duplas mais simples.
- Para saber se o teorema de Green realmente tornará uma integral de linha mais simples, faça as duas perguntas a seguir:
- Além disso, leve em consideração se a região abrangida pela curva C será fácil de descrever com uma integral dupla, ou se sua área é conhecida.
- Você pode calcular a área da região com a seguinte integral de linha ao redor da fronteira orientada no sentido anti-horário:
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