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Transcrição de vídeo

Vamos ver se podemos usar o teorema de Green para resolver algumas integrais de linha. E antes de eu mostrar um exemplo, quero fazer uma ressalva sobre o teorema. Em todos os exemplos que fiz, eu tinha uma região como essa, e a parte interna da região estava à esquerda do sentido do caminho que percorremos. Dessa forma, em todos os exemplo eu ia em um sentido anti-horário e nossa região ficava à esquerda dele -- se você se imaginar andando sobre o caminho nessa direção, ela ficaria à esquerda. E essa é a situação em que o teorema de Green se aplica. Se você fosse pegar uma integral de linha sobre esse caminho, uma integral de linha fechada, poderíamos especificá-la assim. Você vai ver que em alguns livros -- sobre a curva C de f escalar dr. Isso seria igual a integral dupla sobre essa região R, da parcial de Q em função de x, menos a parcial de P em função de y, d área. E como lembrete, esses Q e P vêm das componentes de f. f nessa situação, f seria escrita como f de xy é igual a P de xy vezes a componente i, mais Q de xy vezes a componente j. Essa é uma situação em que o interior da região está à esquerda da direção em que tomamos o caminho. Se fosse o contrário, teríamos que colocar um sinal de menos aqui. Se a seta fosse pro outro lado, colocaríamos um menos, e podemos fazer isso porque sabemos que quando trocamos a direção das integrais de linha em campos vetoriais, temos o negativo disso. Mostramos isso, acho que quatro ou cinco vídeos atrás. Dito isso, é conveniente escrever o teorema de Green aqui. Vamos resolver um problema. Digamos que eu tenha a integral de linha e digamos que estamos sobre uma curva. Vou definir a curva em um segundo. Mas digamos que a integral que queremos resolver é x ao quadrado menos y ao quadrado dx mais dois xy dy. Então nossa curva -- que nos dá os limites. Os limites da região. Vou fazer de outra cor. Então a curva é o limite da região dada por todos os pontos x,y, de forma que x é mais ou igual a zero, menor ou igual a um. E y é maior ou igual a dois x ao quadrado e menor ou igual a dois x. Então vamos desenhar essa curva que estamos lidando. Deixa eu desenhar meu eixo x, ou meu eixo y, desculpe. Meu eixo y e então meu eixo x aqui. E vejamos, x vai de zero a um, então se fizermos -- aqui obviamente é zero. Digamos que isso é x igual a um, então esses são todos os valores de x. E y varia, acima de dois x ao quadrado e abaixo de dois x. Normalmente, se tivermos números grandes, dois x ao quadrado é maior, mas se está abaixo de um, isso será menor que dois x. Então o limite superior é dois x, então aqui é um vírgula dois. Essa é a linha y igual a dois x -- deixa eu desenhar uma mais reta que essa. A linha em que y é igual a dois x é algo assim. Aqui é y igual a dois x. Talvez eu faça isso em amarelo. E a curva de baixo aqui seria y igual ou maior que dois x ao quadrado. Deve ficar algo assim. E claro, a região que eles falam é essa aqui, mas estamos dizendo que a curva é o limite dessa região e estamos indo no sentido anti-horário. Tenho que especificar isso. Sentido anti-horário. Então nossa curva, poderíamos começar em qualquer ponto, mas vamos dessa forma. Até chegar nesse ponto e voltar pela curva de cima assim. E isso bate com a condição de que o interior da região tem que ficar à nossa esquerda, para que possamos ir direto ao teorema de Green, não precisamos fazer o negativo disso. E vamos definir nossa região. Vamos fazer a região. A integral aqui vai -- vou fazer dessa forma -- y varia de y igual a dois x ao quadrado até y igual a dois x. E talvez integremos em função de y primeiro. Depois x, farei o lado de fora. O limite de x vai de zero a um. Então eles nos dá uma forma de montar a integral. Agora só precisamos descobrir o que vem aqui -- teorema de Green. Nosso f ficaria parecido com isso nessa situação. f de xy vai ser igual a x ao quadrado menos y ao quadrado i mais dois xy j. Vimos isso em vários vídeos. Você pega o produto escalar disso com dr, e terá essa coisa aqui. Então essa expressão aqui é o nosso P de xy. E essa expressão aqui é o nosso Q de xy. Aqui dentro, vamos apenas aplicar o teorema de Green direto. A parcial de Q em função de x -- pegando a derivada disso em função de x. Vamos ficar com dois y. E disso, vamos subtrair a parcial de P em função de y. Se você pega a derivada disso em função de y, isso vai virar zero, e então temos -- a derivada em função de y aqui é menos dois y. Dessa forma. E isso simplifica para dois y menos menos dois y. Que é dois y mais dois y. Estou subtraindo um negativo. E isso aqui dentro -- para salvar espaço -- aqui dentro vai ser quatro y. Não quero reescrever os limites. Isso aqui é a mesma coisa que quatro y. A parcial de Q em função de x, dois y, menos a parcial de P em função de y. Que é menos dois y. Subtraindo negativo temos o positivo. Temos quatro y. Vamos pegar a anti derivada de dentro em função de y e teremos dois y ao quadrado. Vou fazer mais embaixo. Teremos dois y ao quadrado, que se pegarmos a parcial em função de y, temos quatro y. Vamos calcular isso quando y é igual a dois x ao quadrado até y igual a dois x. E, é claro, temos a integral do lado de fora aqui ainda. x vai de zero a um dx. Isso aqui vai ser igual a integral de zero a um e depois calculamos primeiro a dois x. Colocando um dois x aqui, dois x ao quadrado é quatro x ao quadrado. Dois ao quadrado, x ao quadrado, então quatro x ao quadrado vezes dois vai ser oito x ao quadrado. Menos -- colocando esse cara aqui. Dois x ao quadrado ao quadrado é dois x à quarta. Quatro x à quarta vezes dois é oito x à quarta. Fiz isso certo? Dois x ao quadrado -- colocá-lo ali pelo y, substituir y por isso. Isso ao quadrado é quatro x à quarta. Vezes dois é oito x à quarta. Bom. Certo. Agora dx. Agora isso é uma integral unidimensional bem direta. Vai ser igual a -- vou fazer aqui. Vai ser igual a antiderivada de oito x ao quadrado, que é oito sobre três x ao cubo. E depois a antiderivada de oito x à quarta é menos oito sobre cinco x à quinta. Assim teremos que calcular de zero a um, ou podemos colocar a linha ali. Quando colocamos um ali, temos -- vou fazer em outra cor. Temos oito sobre cinco vezes um ao cubo, que é oito sobre cinco. Menos oito sobre cinco. Depois teremos um menos -- quando você coloca zero aqui, teremos apenas vários zeros. Desculpe, cometi um erro. Teria sido uma tolice. É oito sobre três. Oito sobre três vezes um ao cubo menos oito sobre cinco vezes um à quinta, aí sim menos oito sobre cinco. E quando você subtrai o zero calculado aqui, vamos apenas ficar com vários zeros, então não precisa fazer nada. Agora só temos que subtrair essas duas frações. Vamos ter um denominador comum de quinze. Oito sobre três é o mesmo que se multiplicássemos o numerador e o denominador por cinco. Ou seja, 40 sobre 15. Depois, se multiplicarmos esse numerador e esse denominador por três, temos 24 sobre 15. Então menos 24 sobre 15 e temos isso igual a 16 sobre 15. E usando o teorema de Green, pudemos encontrar a resposta dessa integral aqui. É igual a 16 sobre 15. Espero que seja útil. Farei outro exemplo no próximo vídeo. Legendado por Pedro Coutinho Revisado por Maria Oberlander