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Transcrição de vídeo

Vamos dizer que eu tenho um caminho sobre o plano xy que é essencialmente um círculo unitário. Então esse é meu eixo y, esse é meu eixo x E nosso caminho vai ser o círculo unitário E nós vamos atravessá-lo bem assim. Vamos atravessá-lo no sentido horário. Acho que deu para entender. Então sua equação é a do círculo unitário. A equação será x ao quadrado mais y ao quadrado igual a um; sabendo que o círculo unitário tem o raio igual a um. E o que nos interessa é a integral da linha sobre essa curva c. É uma curva fechada c. Está indo na direção de dois y dx menos três x dy. Então, ficamos tentados a usar o teorema de Green e por que não? Vamos tentar. Então, esse é o nosso caminho. E o teorema de Green nos diz que a integral de uma curva f vezes dr sobre um caminho onde f é igual a -- deixe-me escrever para ficar melhor organizado. Onde f de x,y é igual a P de x,y i mais Q de x,y j. Que essa integral é igual a integral dupla sobre a região; essa seria a região em questão nesse exemplo. Sobre a região da derivada parcial de Q em x menos a derivada parcial de P em y. Tudo isso vezes dA, a diferencial da área. E é claro, a região é essa que acabei de mostrar. Agora, você pode ou não lembrar; bem, tem um pequeno porém, algo bem sutil nisso, que pode nos dar uma resposta errada. No último vídeo, dissemos que o teorema de Green se aplica quando vamos no sentido anti-horário. Perceba esse detalhe na integral; ela vai no sentido anti-horário No nosso exemplo, a curva vai no sentido horário. A região está a nossa direita. O teorema de Green é aplicado quando a região está à esquerda. Então nessa situação onde a região está a direita, nós vamos -- isso é anti-horário. No nosso exemplo, ao ir no sentido horário, a região está para nossa direita, o teorema de Green será o negativo disso. No nosso exemplo, teremos a integral de c e vamos pelo sentido horário de direção. Então talvez eu deva desenhar f vezes dr dessa maneira. Isso será igual ao dobro da integral sobre a região. Você poderia apenas trocar esses dois -- a derivada parcial de P em y menos a derivada parcial de Q em x, dA. Vamos fazer isso. Isso será igual a, nesse exemplo, a integral sobre a região -- vamos deixar na abstração por enquanto. Podemos começar definindo os limites, mas vamos deixar a região como abstrata. E o que é derivada parcial de P em -- vamos relembrar, isso aqui é o nosso -- eu acho que poderíamos reconhecer agora que se tirarmos f vezes dr, teremos isso. O dr é análogo a esses componentes. O f é análogo a esses dois componentes. Então esse é P de x,y. E esse será Q de x,y. E nós vimos isso. Eu não quero ter que fazer toda a multiplicação por escalar de novo. Acho que pode ver que isso é o produto entre dois vetores. Essa é a componente x de f, componente y de f. Essa é a componente x de dr, componente y de dr. Então vamos pegar a derivada parcial de P em y. Pegando a derivada disso em função de y, temos dois. Derivada de dois y é somente dois. Então temos dois, e então, menos a derivada de Q em função de x. Derivada disso em x é menos três. Então teremos menos três, e tudo isso dA. E isso será igual a integral sobre a região. O que é isso, dois menos menos três? É a mesma coisa que dois mais três. Então teremos a integral sobre a região de cinco dA. Cinco é apenas uma constante, então podemos tirar da integral. Portanto, chegamos em um problema bem simples. Isso será igual a cinco vezes a integral dupla sobre a região R dA. Agora, o que é isso? O que é isso bem aqui? Parece bem abstrato, mas podemos resolver. Isso é apenas a área da região. É o que integrais duplas representam. Você apenas soma todos os pequenos dA's. Isso é um dA, isso é um dA. Você faz a soma infinita desses pequenos dA's sobre a região. Bem, qual é a área desse círculo unitário? Aqui nós voltamos ao nono ano -- na verdade, até antes -- pré-álgebra ou geometria de ensino médio. A área é igual a pi vezes r ao quadrado. Qual é o nosso raio? Sendo círculo unitário, nosso raio é igual a um. Comprimento é um. Então a área aqui é pi. Isso bem aqui, tudo isso aqui é igual a pi. Assim, a resposta para a nossa integral de linha é apenas cinco pi, que é bem direta. Quero dizer, poderíamos ter tentado resolver a integral dupla, onde pegaríamos a antiderivada em função de y e escreveríamos que y é igual a menos a raiz quadrada de um menos x; y ao quadrado igual a raiz quadrada positiva. x indo de menos um a um. Mas isso seria bem mais complicado e daria muito mais trabalho. E temos que perceber que isso é apenas a área. E outra coisa interessante é: eu desafio você a resolver a mesma integral sem usar o teorema de Green. Você sabe, depois de gerar parâmetros para essa curva, indo nessa direção, pegando as derivadas de x de t e y de t. Multiplicando pelo termo apropriado e pegando a antiderivada -- bem mais difícil do que acabamos de fazer usando o teorema de Green para chegar em cinco pi. E lembre-se, o motivo de não ser menos cinco pi aqui é porque estamos indo no sentido horário. Se formos pelo sentido anti-horário, nós poderíamos ter aplicado diretamente o teorema e teríamos menos cinco pi. De qualquer forma, espero que tenha achado útil.