Teorema de Green - exemplo 2

RKA2MP - Olá, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, vamos usar um caminho no plano XY e ele é, essencialmente, um círculo. Vamos ter o eixo Y e o eixo X e, como eu disse, nosso caminho vai ser um círculo. E vamos ter o caminho em sentido anti-horário. A equação deste círculo é a equação x² + y² = 1. O que é importante para nós aqui é a integral curvilínea sobre essa curva C fechada que vai na direção 2ydx - 3xdy. Pela situação, somos estimulados a usar o teorema de Green, e é o que vamos fazer aqui. Temos o caminho e o teorema de Green diz que a integral é alguma curva F.dr e que F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j. E a integral de cima é igual à dupla integral sobre a região da parcial de Q em relação a "x", menos a parcial de P em relação a "y", e dA, a diferencial. E tem uma parte aqui que pode te confundir e dar a resposta errada. Caso você tenha visto em algum de nossos vídeos, afirmamos que o teorema de Green é aplicado somente em sentido anti-horário. E eu fiz aqui a integral ir em sentido anti-horário. Mas, em nosso exemplo, a curva segue em sentido horário. E, como eu disse agora há pouco, o teorema de Green se aplica na situação em que a região vai para a esquerda. Isso significa que, em situações em que a região vai em sentido horário, o teorema de Green vai ser o negativo da região. No nosso exemplo, vamos ter a integral de C e vamos na direção horária. Temos F.dr e isto vai ser igual à dupla integral sobre a região parcial de P em relação a "y", menos a parcial de Q em relação a "x" e, depois, dA, que vai ser igual à integral sobre a região (região esta que vamos manter abstrata por enquanto). Desta forma, isso significa que temos P(x, y) e, depois, Q(x, y). E, por ser bem visível que estes são produtos escalares de dois vetores, eu não vejo realmente necessidade de pegar o produto várias e várias vezes. É bem notável que este 2y é um componente de F e o -3x é o componente "y" de F. Vamos pegar agora a derivada parcial de P em relação a "y". Você pega a derivada de 2y em relação a "y" e vai conseguir 2. Depois, menos a derivada de Q em relação a "x", no -3, e assim, vamos conseguir -3. Depois, dA. Isto vai ser igual à integral sobre a região de 5dA. 5 é uma constante. Então, podemos tirá-lo da integral. Isto vai ser igual a 5 vezes a dupla integral sobre a região R de dA. Parece bem abstrato, mas nós podemos resolver isso. Esta é a área da região, e é isso que a dupla integral representa. É só você somar o todos os pequenos dA, e a área desta região é igual a πR². Qual é o raio? O raio é 1. Isso significa que os cálculos que fizemos antes são iguais a π. Ou seja, a solução desta questão é 5π. Poderíamos ter tido o trabalho de definir a integral dupla, e escreveríamos que "y" é igual à raiz quadrada negativa de 1 menos x², y² é igual à raiz quadrada positiva, "x" que vai de zero a 1... Mas isso seria super nebuloso e bem mais extenso do que o necessário. O que queremos aqui é só a área. E eu desafio você a resolver esta mesma integral curvilínea sem usar o teorema de Green, de forma que gere uma parametrização para esta curva e te forneça o resultado 5π. Antes de finalizarmos, um lembrete importante. O motivo de não termos -5π aqui é porque vamos na direção horária. Como eu disse antes, caso estivéssemos em uma direção anti-horária, poderíamos ter aplicado diretamente o teorema de Green. Aí sim, teríamos o -5π. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!