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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 2: Teorema de Green- Prática envolvendo curvas simples, fechadas, conectadas e suaves por partes
- Demonstração do teorema de Green (parte 1)
- Demonstração do teorema de Green (parte 2)
- Teorema de Green - exemplo 1
- Teorema de Green - exemplo 2
- Forma tangencial do teorema de Green
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Teorema de Green - exemplo 2
Outro exemplo de aplicação do teorema de Green. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - Olá, pessoal! Tudo bem?
Nesta aula, vamos usar um caminho no plano XY e ele é, essencialmente,
um círculo. Vamos ter o eixo Y e o eixo X e, como eu disse,
nosso caminho vai ser um círculo. E vamos ter o caminho
em sentido anti-horário. A equação deste círculo
é a equação x² + y² = 1. O que é importante para nós aqui
é a integral curvilínea sobre essa curva C fechada
que vai na direção 2ydx - 3xdy. Pela situação, somos estimulados a usar
o teorema de Green, e é o que vamos fazer aqui. Temos o caminho e o teorema de Green
diz que a integral é alguma curva F.dr e que F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j. E a integral de cima
é igual à dupla integral sobre a região da parcial de Q
em relação a "x", menos a parcial de P em relação a "y",
e dA, a diferencial. E tem uma parte aqui que pode te confundir
e dar a resposta errada. Caso você tenha visto
em algum de nossos vídeos, afirmamos que o teorema de Green é aplicado
somente em sentido anti-horário. E eu fiz aqui a integral ir
em sentido anti-horário. Mas, em nosso exemplo,
a curva segue em sentido horário. E, como eu disse agora há pouco,
o teorema de Green se aplica na situação em que a região
vai para a esquerda. Isso significa que, em situações
em que a região vai em sentido horário, o teorema de Green
vai ser o negativo da região. No nosso exemplo, vamos ter
a integral de C e vamos na direção horária. Temos F.dr e isto vai ser igual
à dupla integral sobre a região parcial de P
em relação a "y", menos a parcial de Q
em relação a "x" e, depois, dA, que vai ser igual à integral
sobre a região (região esta que vamos manter abstrata
por enquanto). Desta forma, isso significa que temos
P(x, y) e, depois, Q(x, y). E, por ser bem visível que estes
são produtos escalares de dois vetores, eu não vejo realmente necessidade
de pegar o produto várias e várias vezes. É bem notável que este 2y é um componente
de F e o -3x é o componente "y" de F. Vamos pegar agora a derivada parcial
de P em relação a "y". Você pega a derivada de 2y
em relação a "y" e vai conseguir 2. Depois, menos a derivada de Q
em relação a "x", no -3, e assim, vamos conseguir -3. Depois, dA. Isto vai ser igual à integral
sobre a região de 5dA. 5 é uma constante.
Então, podemos tirá-lo da integral. Isto vai ser igual a 5 vezes
a dupla integral sobre a região R de dA. Parece bem abstrato,
mas nós podemos resolver isso. Esta é a área da região,
e é isso que a dupla integral representa. É só você somar o todos os pequenos dA,
e a área desta região é igual a πR². Qual é o raio? O raio é 1. Isso significa que os cálculos
que fizemos antes são iguais a π. Ou seja, a solução desta questão é 5π. Poderíamos ter tido o trabalho de definir
a integral dupla, e escreveríamos que "y" é igual
à raiz quadrada negativa de 1 menos x², y² é igual à raiz quadrada positiva,
"x" que vai de zero a 1... Mas isso seria super nebuloso
e bem mais extenso do que o necessário. O que queremos aqui é só a área. E eu desafio você a resolver esta mesma
integral curvilínea sem usar o teorema de Green,
de forma que gere uma parametrização para esta curva e te forneça
o resultado 5π. Antes de finalizarmos,
um lembrete importante. O motivo de não termos -5π aqui
é porque vamos na direção horária. Como eu disse antes, caso estivéssemos
em uma direção anti-horária, poderíamos ter aplicado diretamente
o teorema de Green. Aí sim, teríamos o -5π. É isso, pessoal. Espero que tenham
aprendido e até a próxima!