If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

Se você está atrás de um filtro da Web, certifique-se que os domínios *.kastatic.org e *.kasandbox.org estão desbloqueados.

Conteúdo principal
Tempo atual:0:00Duração total:19:26

Transcrição de vídeo

Digamos que eu tenha o mesmo caminho do último vídeo. Desenhar meu eixo y, e esse é meu eixo x. Digamos que o caminho se pareça com isso. É o mesmo que usamos no último vídeo. Talvez não pareça o mesmo, deixa eu ver o que fiz no último vídeo. Parecia com isso no último vídeo, perto o suficiente. E vamos dizer que estamos lidando com a mesma curva também. Chamamos esse curva de c. No último vídeo, lidamos com um campo vetorial que só tinha vetores na direção i. Vamos construir outro campo vetorial que só tem vetores na direção j, ou na direção vertical. Digamos que q, o campo vetorial q de xy, é igual ao maiúsculo Q de xy vezes j, e vamos nos preocupar com a integral de linha fechada em torno do caminho c de q escalar dr. E já vimos isso. dr pode ser reescrito como dx vezes i, mais dy vezes j. Então se fôssemos pegar o produto escalar desses dois, essa integral de linha vai ser a mesma coisa. Isso vai ser a mesma coisa que a integral de linha fechada sobre c de q escalar dr. Bem, Q só tem a componente j. Então se pegar zero i, bem, zero vezes dx é zero, e aí teremos Q de xy vezes dy. Ele não possui componente i, então vai ser apenas Q, Vou mudar para a mesma cor novamente, Q de x e y vezes dy. Esse é o escalar. Não há componente i, por isso perdemos o dx. Agora vamos ver se tem algum jeito de resolvermos essa integral de linha sem precisarmos de um terceiro parâmetro, t. Como fizemos no último Na verdade, vai ser quase idêntico, só lidamos com y's agora ao invés de x's. Então podemos nos perguntar, qual é nosso y mínimo e nosso y máximo? Nosso y mínimo, digamos que seja aqui. Vamos chamar de a esse y mínimo. E vamos dizer que nosso y máximo está aqui. Vamos chamar de b. E eu esqueci de falar que para vocês a direção da curva. Mas vai ser o mesmo , então vamos na direção anti-horária. Exatamente a mesma curva e exatamente o mesmo caminho. Então vamos nessa direção. No último vídeo, separamos em duas funções de x, dois y como funções de x. Agora queremos os y. Vamos separar em duas funções de y. Então se separarmos esse caminho em dois, esses são nossos pontos extremos, vamos chamar esse caminho aqui, vamos chamá-lo de y, vamos chamá-lo de x de -- aqui, por esse caminho, x é igual a -- ou eu poderia apenas escrever dois, chamá-lo de c2. Poderíamos dizer que, x é igual a x2 de y. Esse é o caminho. E o primeiro caminho, ou não precisa ser o primeiro caminho, podemos começar em qualquer lugar. E esse em magenta. Vamos chamar de caminho um, e poderíamos dizer que ele é definido como x é igual a x1 de y. É um pouco confuso quando temos x como função de y, mas é completamente análogo ao que fizemos no último vídeo. Estamos apenas trocando os x's com os y's. Estamos expressando x como função de y, ao invés de y como função de x. Então temos essas duas curvas. Pode imaginar invertido, e estaríamos fazendo exatamente o que fizemos no último, só que em termos de y. Mas olhando dessa forma, essa integral de linha pode ser reescrita como sendo igual a integral, vamos fazer c2 primeiro. Essa é a integral de b até a. Começamos em b e vamos até a. Estamos voltando do y alto para o y baixo. A integral de b até a de Q de -- nesse cinza. Q de, ao invés de ter um x aqui, sabemos que ao longo dessa curva, x é igual a, queremos tudo em termos de y. Então aqui, x é igual a x2 de y. Então Q de x2 de y, x2 de y vírgula y, talvez eu esteja usando muitas cores aqui, mas acho que pegou a ideia. dy. Essa é a parte da integral de linha, sobre essa curva na esquerda. E vamos adicionar nessa integral de linha, ou uma integral normal aqui, de y é igual a a até y igual a b de Q de, ao invés de x ser x2, agora x é igual a x1 de y, igual a essa curva, essa outra função. Então x1 de y, x1 de y vírgula y, dy, e podemos fazer exatamente o que fizemos no último vídeo. Ao invés de, não gostamos do número maior embaixo, então vamos trocar esses dois. Se você trocar esses dois, se transformar isso em a, e isso em b, temos o negativo da integral, quando trocamos os dois, mudamos a direção. É o que fizemos no último vídeo, então nada de novo. Mas agora que temos os mesmo limites de integração, essas duas integrais definidas, podemos escrevê-las como apenas uma integral definida. Então isso vai ser igual a integral de a até b. E vou escrever esse primeiro, já que é positivo. Vou escrever esse aqui. Q de x1 de y vírgula y, menos esse. Certo? Temos o menos aqui. Menos Q de x2 de y e y dy. Deixa eu fazer isso nessa cor neutra. dy, multiplicado por tudo isso. Eu distribuí o dy, acho que deu para entender. Mesma coisa que fizemos no último vídeo. E isso pode ser reescrito como isso sendo igual a integral de a até b de, e dentro da integral, estamos calculando a função de Q de xy entre os limites, onde o limite superior vai ser x igual a x1 de y e o limite inferior vai ser x igual a x2 de y. Certo? Todos os x nós substituímos por isso e então teremos uma expressão, e daí, subtraímos isso de x substituído como x2 de y Que é o que fizemos, como eu disse, no último vídeo. Vamos meio que reverter a direção que geralmente vamos. Normalmente chegamos aqui, e depois temos isso. Mas agora vamos na direção inversa com a mesma diferença. E tudo isso vezes dy. E como vimos no último vídeo, vou fazer em laranja, essa expressão aqui, deixa eu desenhar esse dy um pouco depois, para não embolar tudo aqui. Deixa eu colocar o dy aqui fora. Essa expressão toda, é exatamente a mesma coisa que a integral de x igual a, posso escrever aqui, deixa eu escrever nas mesmas cores. x2 de y até x1 de y, da parcial de Q em função de x, dx. Para ficar claro Essa é, na minha opinião, uma parte um pouco confusa. Mas vendo uma integral assim, esse seria o interior de uma dupla integral. E é. A parte de fora é o que vimos aqui, a integral de a até b, dy. Mas se visse isso em uma integral dupla, você tiraria a antiderivada disso em função de x. A antiderivada da parcial de Q em função de x Vai ser Q de xy. E como é uma integral definida, calculamos para x1 de y e subtraímos disso a função calculada em x2 de y, que é o que fizemos. Espero que entenda isso. E então temos nosso resultado, que é bem parecido com o último. O que essa integral dupla representa? Isso representa tudo, se você tem qualquer integral dupla que vá de -- se você imaginar, isso é uma função, deixa eu desenhar em três dimensões Isso é quase uma revisão do que vimos no último vídeo. Se esse é o eixo y, esse é o eixo x e esse é o eixo z. Isso é uma função de x e y, alguma superfície que possa imaginar no plano xy. É uma superfície. E poderíamos chamar isso de parcial de q em função de x. E essa integral dupla faz, é basicamente definir uma região, e você pode ver esse dx vezes dy como se fosse uma pequena diferencial de área. Então na região sob questão, os pontos limites, são de y indo de, embaixo, vai de x2 de y, que vimos que se parece com uma curva mais ou menos assim Esse é o y inferior, e aqui, se desenharmos em duas dimensões, essa é a curva do y inferior. A curva do y superior é x1 de y, então ela se parece com algo assim. A curva do y superior fica parecida com algo assim. Então x varia da curva inferior de y até a curva superior de y, certo? É isso que estamos fazendo aqui. Depois, y varia de a até b. Isso nos mostra que se pegarmos a integral dupla sobre essa região aqui dessa função, estaríamos encontrando o volume, como se esse fosse o teto, e esse limite é basicamente a parede. Seria o volume desse espaço. E não sei como seria se subisse aqui. Mas você pode imaginar algo do tipo Seria o volume disso. Então é isso que tiramos. Esse resultado é idêntico ao que chegamos no último vídeo. E isso é bem agradável. Então de repente, esse vetor, que -- e Q de xy, eu não desenhei como da última vez, Q de xy só tem componentes na direção j, então só tem, se eu fosse desenhar esse campo vetorial, os vetores só vão para cima e para baixo. Eles não têm componentes horizontais. Mas vimos que quando você começa com um campo vetorial assim, você pega a integral de linha em torno dessa volta fechada, e eu vou reescrever isso aqui, você pega a integral de linha em torno dessa curva fechada de Q escalar dr, que é igual a integral em torno da curva fechada de Q de xy dy. Acabamos de descobrir que isso é equivalente a integral dupla sobre a região. Essa região. Certo? É o que estamos fazemos aqui. Se eu desse a região, você teria que defini-la, dizendo que x parte dessa função para essa função, e y vai de a até b, e queira revisar os de integral dupla, se isso confunde Então pegamos a integral dupla sobre a região da parcial de Q em função de x, d -- você poderia escrever dx dy, ou talvez um pequeno dA, certo? A diferencial de área, que imaginamos como dA, que é a mesma coisa que dx dy. E se combinarmos isso com o último vídeo, e essa é a parte agradável, de juntar tudo, o resultado do último vídeo era esse. Que se eu tivesse uma função definida completamente em termos de x, teríamos isso aqui. Esse resultado. Na verdade, vou copiar e colar esses dois para uma parte limpa do quadro, e aí podemos continuar com a conclusão. Deixa eu copiar e colar isso. Então isso é o que tiramos do último vídeo E nesse vídeo, tiramos esse resultado. Vou copiar e colar isso aqui. Você já deve poder prever aonde isso vai. E deixa eu colar aqui. Esse é o resultado desse vídeo. Agora vamos pensar num campo vetorial qualquer, mas definido como, vou fazer em rosa, digamos que F é um campo vetorial definido sobre o plano xy, e F é igual a P de xy i mais Q de xy j. Você pode até imaginar que F é a soma dos nossos campos vetoriais, P e Q, que fizemos nos últimos vídeos. Q nesse vídeo, e P no último. Mas esse é um campo vetorial qualquer. E digamos que queremos pegar o campo vetorial, desculpe, a integral de linha desse campo vetorial, sobre algum caminho. Poderia ser o mesmo que fizemos, que foi um bastante aleatório. É de fato um caminho aleatório. Então deixa eu desenhar esse caminho aqui. Esse é meu caminho aleatório, minha curva aleatória. Digamos que vai na direção anti-horária, dessa forma. E estou interessado na integral de linha, a integral fechada de linha, em torno desse caminho onde F escalar dr está. E vimos várias vezes. dr é igual a dx i mais dy j. Então essa integral de linha pode ser reescrita como, isso sendo igual a integral de linha em torno do caminho c. F escalar dr, que vai ser esse termo vezes dx, esse é P de xy vezes dx, mais esse termo, Q de xy vezes dy. E tudo isso aqui, é basicamente igual a integral de linha de P de xy dx, mais a integral de linha de Q de xy dy. E o que é isso? Isso é o que descobrimos no primeiro vídeo, e isso é o que vimos nesse vídeo. Essa coisa aqui é exatamente a mesma coisa que isso daqui. Então isso vai ser igual a integral dupla sobre essa região aqui, menos a parcial de P em função de y. Ao invés de dy dx, podemos dizer que é apenas a diferencial de área. E então mais esse resultado. Q. Isso é o que provamos, exatamente o que mostramos nesse vídeo. Então aqui é mais, e vou deixar ali em cima, vou fazer de amarelo, mais a integral dupla sobre a mesma região da parcial de Q em função de x. dA, que é apenas dy dx ou dx dy, você pode mudar a ordem, é a diferencial de área. E agora, adicionamos essas duas integrais. O que temos? Isso é igual a, e essa é a nossa grande conclusão. Talvez magenta seja necessário aqui. A integral dupla sobre a região, vou escrever esse primeiro porque é positivo, esse é negativo, da parcial de Q em função de x, menos a parcial de P em função de y, d, a diferencial da área. Essa é nossa grande tirada. Essa é nossa grande tirada. Deixa eu escrever aqui. A integral de linha da curva fechada de F escalar dr é igual a integral dupla dessa expressão. E é algo -- lembre-se. Estamos pegando a função que estava associada com a componente x, ou componente i, e tiramos a parcial em função de y. E a função associada com a componente y, tiramos a parcial em função de x. E tiramos a negativa dessa primeira. É uma boa forma de lembrar. Mas esse resultado aqui, talvez eu devesse escrever em verde, esse é o Teorema de Green. E é uma forma simples de relacionar a integral de linha de um campo vetorial que tem essas derivadas parciais, assumindo que haja essas derivadas parciais, para a região, para a integral dupla da região. Agora, é uma pequena nota, vimos em vários vídeos antes, aprendemos que se F é conservativo, que significa que é o gradiente de uma função, temos uma independência de caminho, a integral fechada em torno de qualquer caminho é igual a zero. E isso ainda é verdade. Então isso nos diz que se F é conservativo, essa coisa aqui tem que ser igual a zero. É a única forma de sempre aplicar que toda essa integral vai ser igual a zero, sobre qualquer região. Sei que deve estar pensando em maneiras deles se cancelarem, mas sobre qualquer região, essa é a única maneira de ser verdade, que essa coisa vai ser zero. Então poderia dizer, a parcial de Q em função de x, menos a parcial de P em função de y, tem que ser zero, ou seja, esses dois precisam ser iguais. E esse é um corolário do Teorema de Green. Algo fácil que poderia ter percebido. A parcial de Q em função de x igual a parcial de P em função de y. E quando você estuda equações exatas em equações diferenciais, vai ver isso bastante. E na verdade, n vou muito a fundo, mas campos conservativos, é uma forma diferencial do que vemos nas integrais de linha, se for conservativo, seria uma equação exata. Mas estamos indo a fundo Espero que tenha visto esse paralelo se já estudou equações exatas em equações diferenciais. Mas essa é uma grande tirada, e vamos fazer alguns exemplos usando isso no próximo vídeo.