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Transcrição de vídeo

e fala galera buscam Neste vídeo continuaremos a falar sobre o teorema de Green e na verdade iremos fazer uma integral muito parecida com o que fizemos lá no vídeo passado Então vamos lá vamos imaginar um caminho fechado ser igual ao caminho que fizemos lá no último vídeo Então temos aqui o plano XY e neste plano poderemos desenhar o nosso caminho e no vídeo passado nós lidamos com um campo vetorial que tinha vetores apenas na direção e e agora nós iremos construir um campo vetorial que tem vetores apenas na direção J então quê que X Y = quesão de X Y X o versor j&a Integral queremos analisar é a integral de linha Fechada no caminho se de que vezes o infinitesimal Dr e como nós já vimos o Dr será de x e mais de y x J dito isto podemos agora a realizar este produto escalar que vezes Dr e como nosso que só tem componente J nós temos que fazer isso às vezes de x que é zero Então nem vamos escrever aqui e o resultado será tesão de x e y x de y agora vamos ver se conseguimos resolver esta integral de linha fechada sem ter que recorrer a um terceiro parâmetro de Assim como nós fizemos lá no vídeo passado e com a única diferença que antes tínhamos Campo vetorial apenas com vetores em E Agora Nós temos apenas vetores em J agora podemos definir aqui o nosso Y mínimo eu Y máximo o y mínimos será este aqui que chamaremos de azinho e o máximo será este aqui de cima que nós chamaremos de bebezinho e lembrando que este caminho é feito aqui no sentido anti-horário e anteriormente para resolver essa integral Aqui nós dividimos o caminho ser em duas funções de x-2y como uma função de X agora nós temos que fazer o inverso iremos transformar X em duas funções de y então teremos o primeiro caminho à direita quem será os e um ou um de x = x 1 de y e o segundo o caminho à esquerda que chamaremos de C2 onde x é igual a x 2 de y e lembrando aí este processo que nós fizemos agora é análogo ao que fizemos no último vídeo com a diferença que agora estamos expressando x como uma função de y ao invés de Y como uma função de x e olhando o caminhos e como estas duas partes C1 e C2 nós podemos reescrever essa integral de linha fechada como duas integrais definidas a primeira nós livros fazer descer dois então será a integral definida entre B EA de que e agora nós precisaremos x como uma função de y então que destes dois dyy vezes o infinitesimal de y mais a integral de ser um que a integral entre a e b de que de X1 de y&y vezes o infinitesimal de y novamente agora nós podemos para e os limites dessas integrais Jack aqui em C2 temos o limite inferior maior do que o limite superior então podemos trocar esses limites pondo um sinal de menos aqui antes da integral e ao fazer essa padronização nós podemos agora a reescrever essas duas integrais como uma integral entre a e b que será a integral de rede X1 dyy - qd x 2 de y y e tudo vezes o infinitesimal de y agora se nós olharmos para dentro dessa integral para essa subtração aqui podemos perceber que ela é na verdade uma variação de um resultado de uma integral Então esta integral Aqui será a integral entre a e b de que dxy avaliado o calculado entre os limites X = X2 de y e x = x 1 de y então no fim o que nós fizemos aqui foi o caminho inverso do que geralmente fazemos para o integral definida geralmente nós obtemos uma permite e avaliarmos o resultado entre o limite inferior e superior mas desta vez nós estamos indo da avaliação do resultado para a integral agora novamente olhando para o que está dentro da integral essa avaliação de resultado é referente a integral definida entre x 2 de y e x 1 dyp é o quê por peixes o DX então está aí a integral da qual o resultado do Passo anterior foi girado em última instância nós teremos que esta integral de linha fechada aqui no começo é igual a integral entre a e b da integral e entre x-2y ex-1d Y da parcial da o que perdeu xdx o infinitesimal de y tendo Este resultado o que nós podemos nos perguntar agora é o que essa integral dupla a que significa e para explicar isso vamos desenhar aqui os três eixos do espaço o eixo X ou eixo Y e o eixo Z e este é o que puder X é uma eu fiz e qualquer no espaço tomamos desenhar aqui uma superfície qualquer e essencialmente essa integral duplo aqui nos estado definindo uma região e este dxdy é uma infinitesimal diária então poderemos até reescrevendo né como de até uma região em questão é definida por x 2 g y que é o nosso C2 aqui no plano XY e X1 de y que é o nosso C1 aqui do plano XY então x varia entre o limite superior eo inferior e o que essa integral duplo aqui está nos dizendo é vamos pegar a integral dupla desta região aqui em relação a essa função e o resultado que nós iremos obter seria o volume deste sólido criado pela projeção do caminho C2 na nossa superfície de é o que por gel x onde o caminho seria o chão né Desse sólido e a superfície da o quê por 10x seria o teto deste volume aí e agora para deixar o nosso resultado bem claro vamos voltar um pouquinho aqui se temos é um caminho fechado c e um campo vetorial que dxy que só possui componente na direção j ou seja apenas vetores aponta para cima ou para baixo se eu pegar a integral de linha fechada de Quinzinho por Dr ela vai ser igual a integral de linha fechada em ser de que de x y d y e que no fim vai ser igual a integral dupla na região RD del que por del XX o infinitesimal de área de a e o que nós podemos fazer agora é por lado a lado o resultado do vídeo anterior a este e o resultado que nós obtivemos Neste vídeo e vamos imaginar também um campo vetorial arbitrário que nós chamaremos aqui de fxy que é igual a p&d XY vezes o versor e mais que dxy vezes o ver soro J você pode pensar nesse Campo vetorial aqui como sendo a adição do campo vetorial do vídeo anterior com o campo vetorial que nós utilizamos Neste vídeo mas no fim essas É mas aqui vão servir para qualquer Campo vetorial beleza e digamos que nós queremos a integral de linha fechada de este Campo vetorial em um caminho arbitrários e também e nós podemos até desenhar este caminho aqui no plano XY como fizemos anteriormente e vamos escrever o que nós queremos aqui que a integral de linha fechada em CDF produto escalar Dr e como nós já vimos várias vezes de R = de x e mais de yxj então teremos a integral de linha fechada ele XY vezes DX mais que dxy xty que podemos reescrever como sendo duas integrais diferentes e agora ficou fácil Já que todo o esforço que nós tivemos até este momento foi justamente para ter um resultado destas integrais aqui então teremos que essas duas integrais são iguais a integral dupla da região RD - delpy por deu Y vezes o infinitesimal de ar mais a integral dupla na região RD o Cordel x vezes o infinitesimal de ar de novo e aqui nós podemos simplificar essas duas integrais duplas como a integral dupla da diferença e aí sim teremos o resultado que é a grande conclusão desta série de vídeos aqui então temos que a integral de linha fechada em CDF vezes Dr é igual a integral dupla na região RD del que por del X - delpy por deu y e tudo isso vezes o infinitesimal da então este aqui é justamente o teorema de Green beleza que relaciona a integral de linha fechada em um caminho CD um campo vetorial é produto escalar Dr com a integral dupla na região associada e agora como uma sub conclusão deste vídeo nós já vimos diversas vezes que se o campo F for conservativo então a integral de linha fechada DF vezes Dr igual a zero e para isso acontecer isso aqui que está dentro da integral dupla tende ser igual a bom então del que por Deus x - del cuerpo del Y = 0 ou podemos dizer até que são iguais estão quase como que um colateral né do Teorema de brim nós temos que se o campo vetorial em questão foram conservativo del que por gel x será igual a delpy por del y e acredito que para esse vídeo é só isso galera do clã nós nos vemos por aqui