Demonstração do teorema de Green (parte 2)

RKA2JV - Fala, galera do Khan! Neste vídeo, continuaremos a falar sobre o teorema de Green. Na verdade, iremos fazer uma integral muito parecida com o que fizemos lá no vídeo passado. Vamos lá, vamos imaginar um caminho fechado C, igual ao caminho que fizemos lá no último vídeo. Temos aqui o plano XY e neste plano poderemos desenhar o nosso caminho. No vídeo passado, nós lidamos com um campo vetorial que tinha vetores apenas na direção "i". Agora, nós iremos construir um campo vetorial que tem vetores apenas na direção "j". Então, q(x, y) é igual a Q(x, y) vezes o versor "j". E a integral que iremos analisar é a integral de linha fechada no caminho C de "q" vezes o infinitesimal dr. Como nós já vimos, o dr será dx vezes "i", mais dy vezes "j". Dito isto, podemos agora realizar este produto escalar "q" vezes dr. E, como o nosso "q" só tem componente "j", nós teríamos que fazer zero vezes dx vezes "i", que é zero. Então, nem vamos escrever aqui. E o resultado será Q(x, y) vezes dy. Agora, vamos ver se conseguimos resolver esta integral de linha fechada sem ter que recorrer a um terceiro parâmetro "t". Assim como nós fizemos lá no vídeo passado, com a única diferença que antes tínhamos campo vetorial apenas com vetores em "i" e agora nós temos apenas vetores em "j". Agora, podemos definir aqui o nosso "y" mínimo e o "y" máximo. O "y" mínimo será este aqui, que chamaremos de "a", e o máximo será este aqui de cima, que nós chamaremos de "b". Lembrando que este caminho é feito aqui no sentido anti-horário. Anteriormente, para resolver esta integral aqui, nós dividimos o caminho C em duas funções de "x", dois "y" como uma função de "x". Agora nós temos que fazer o inverso: iremos transformar "x" em duas funções de "y". Então, teremos o primeiro caminho à direita aqui, que será o C₁, onde x = x₁(y), e o segundo o caminho à esquerda, que chamaremos de C₂, onde x = x₂(y). E, lembrando, este processo que nós fizemos agora é análogo ao que fizemos no último vídeo, com a diferença que agora estamos expressando "x" como uma função de "y" ao invés de "y" como uma função de "x". Olhando o caminho C como estas duas partes, C₁ e C₂, nós podemos reescrever esta integral de linha fechada como duas integrais definidas. A primeira nós iremos fazer de C₂. Então, será a integral definida entre "b" e "a" de Q. E agora nós expressaremos "x" como uma função de "y". Então, Q(x₂(y)y) vezes o infinitesimal dy mais a integral de C₁, que é a integral entre "a" e "b" de Q(x₁(y)y) vezes o infinitesimal dy novamente. Agora nós podemos padronizar os limites destas integrais, já que, aqui em C₂, temos o limite inferior maior do que o limite superior, podemos trocar esses limites pondo um sinal de menos aqui, antes da integral. E, ao fazer essa padronização, nós podemos agora reescrever estas duas integrais como uma integral entre "a" e "b", que será a integral de Q(x₁(y)y) - Q(x₂(y)y), tudo vezes o infinitesimal dy. Agora, se nós olharmos para dentro desta integral, para esta subtração aqui, podemos perceber que ela é, na verdade, uma avaliação de um resultado de uma integral. Então, esta integral aqui será a integral entre "a" e "b" de Q(x, y) avaliado, ou calculado, entre os limites x = x₂(y) e x = x₁(y). No fim, o que nós fizemos aqui foi o caminho inverso do que geralmente fazemos para uma integral definida. Geralmente, nós obtemos uma primitiva e avaliamos o resultado entre o limite inferior e superior. Mas, desta vez, nós estamos indo da avaliação do resultado para a integral. Agora, novamente, olhando para o que está dentro da integral, essa avaliação de resultado é referente à integral definida entre x₂(y) e x₁(y) de ∂Q/∂x, vezes o dx. Está aí a integral da qual o resultado do passo anterior foi gerada. Em última instância, nós teremos que esta integral de linha fechada aqui do começo é igual à integral entre "a" e "b" da integral entre x₂(y) e x₁(y) da parcial ∂Q/∂x vezes dx vezes o infinitesimal dy. Tendo este resultado, o que nós podemos nos perguntar agora é: o que esta integral dupla aqui significa? Para explicar isso, vamos desenhar aqui os três eixos do espaço: o eixo "x", o eixo "y" e o eixo "z". E este ∂Q/∂x é uma superfície qualquer no espaço. Então, vamos desenhar aqui uma superfície qualquer. E, essencialmente, esta integral dupla aqui nos está definindo uma região. E este dxdy é um infinitesimal de área. Então, poderíamos até reescrevê-lo como "dA". A região em questão é definida por x₂(y), que é o nosso C₂ aqui no plano XY, e x₁(y), que é o nosso C₁ aqui do plano XY. O "x" varia entre o limite superior e o inferior. E o que esta integral dupla está nos dizendo é: vamos pegar a integral dupla desta região aqui em relação a esta função e o resultado que nós iríamos obter seria o volume deste sólido criado pela projeção do caminho C₂ na nossa superfície ∂Q/∂x, onde o caminho seria o "chão" deste sólido e a superfície ∂Q/∂x seria o "teto" deste volume. E agora, para deixar o nosso resultado bem claro, vamos voltar um pouquinho aqui. Se temos aqui um caminho fechado C e um campo vetorial Q(x, y), que só possui componentes na direção "j", ou seja, apenas vetores apontando para cima ou para baixo, se eu pegar a integral de linha fechada de "q" por dr, ela vai ser igual à integral de linha fechada em C de Q(x, y)dy, e que, no fim, vai ser igual à integral dupla na região R de ∂Q/∂x vezes o infinitesimal de área dA. O que nós podemos fazer agora é pôr lado a lado o resultado do vídeo anterior a este e o resultado que nós obtivemos neste vídeo. Vamos imaginar, também, um campo vetorial arbitrário, que nós chamaremos aqui de F(x, y), que é igual a P(x, y) vezes o versor "i" mais Q(x, y) vezes o versor "j". Você pode pensar neste campo vetorial aqui como sendo a adição do campo vetorial do vídeo anterior com o campo vetorial que nós utilizamos neste vídeo. Mas, no fim, estas proposições aqui vão servir para qualquer campo vetorial. Digamos que nós queremos a integral de linha fechada deste campo vetorial em um caminho arbitrário C, também, Nós podemos até desenhar este caminho aqui no plano XY, como fizemos anteriormente. E vamos escrever o que nós queremos aqui, que é a integral de linha fechada em C de F produto escalar dr. E, como nós já vimos várias vezes, dr é igual a dx vezes "i", mais dy vezes "j". Então, teremos a integral de linha fechada P(x, y) vezes dx + Q(x, y) vezes dy, que podemos reescrever como sendo duas integrais diferentes. E agora ficou fácil, já que todo o esforço que nós tivemos até este momento foi justamente para ter o resultado destas integrais aqui. Então, teremos que estas duas integrais são iguais à integral dupla da região R de: -∂P/∂x vezes o infinitesimal dA, mais a integral dupla na região R de ∂Q/∂x vezes o infinitesimal dA, de novo. E aqui nós podemos simplificar estas duas integrais duplas como a integral dupla da diferença. E aí sim, teremos o resultado que é a grande conclusão desta série de vídeos. Então, temos que a integral de linha fechada em C de F vezes dr é igual à integral dupla na região R de ∂Q/∂x - ∂P/∂y, tudo isso vezes o infinitesimal dA. Este aqui é justamente o teorema de Green, que relaciona a integral de linha fechada em um caminho C de um campo vetorial F produto escalar dr com a integral dupla na região associada. E agora, como uma conclusão deste vídeo, nós já vimos diversas vezes que, se o campo F for conservativo, então, a integral de linha fechada de F vezes dr é igual a zero. E, para isso acontecer, isto aqui que está dentro da integral dupla tem de ser igual a zero. Então, ∂Q/∂x - ∂P/∂y = 0. Ou podemos dizer até que são iguais. Então, quase como que um colateral do teorema de Green, nós temos que, se o campo vetorial em questão for conservativo, ∂Q/∂x será igual a ∂P/∂y. Acredito que para este vídeo é só isso, galera do Khan. Nós nos vemos por aqui!