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Transcrição de vídeo

Neste e nos próximos vídeos, Eu espero explorar diferentes tipos de regiões em três dimensões. E isso será útil para pensar em como avaliar diferentes integrais duplas e triplas e também algumas demonstrações em cálculos com variáveis múltiplas. Então o primeiro tipo de região, que é nomeado apropriadamente , de uma região tipo 1. Primeiramente, eu vou dar uma definição formal. E espero que, a definição formal faça algum senso intuitivo. Mas depois eu vou desenhar um par de regiões tipo 1, então irei mostrar o que não seria uma região tipo 1 porque às vezes esta é a questão mais importante. Então região tipo 1, talvez uma região R tipo 1, é o conjunto -- esses pequenos colchetes significam conjunto-- é o conjunto de todos os X, Y's, e 'Zs. É o conjunto de todos os pontos e três dimensões tais que o X e os Y's são partes de algum domínio, pertence a -- é o que este simbolo representa -- pertence a algum domínio. E z pode -- essencialmente variar entre duas funções de X e Y. Então me deixe escrever aqui. Então f1 de X,Y é uma espécie de limite inferior de Z. Então isso irá ser igual a menor que ou igual a z, na qual é menor que ou igual a outra função de X e Y, que será menor que ou igual a f2 de X e Y. E agora vou fechar o colchete para mostrar que tudo isso é um conjunto. Isto é um conjunto de X, Y's e Z's. E aqui, estamos definindo este conjunto. Então o que seria uma região de tipo 1 razoável? Bem , uma região de tipo 1 muito simples é uma esfera. Então deixe me desenhar uma esfera aqui. Então em uma esfera, onde interseta o plano x,y -- que é essencialmente este domínio D. Então vou fazer em azul. Deixe-me desenhar minha melhor tentativa de desenhar este domínio de modo que este é o domínio D bem aqui para uma esfera. Isto é uma esfera centrada em 0, mas você pode fazer o mesmo argumento para uma esfera em qualque lugar. Então este é o meu domínio. E logo f1 de x,y, na qual é um limite inferior de z, será a metade inferior de uma esfera. Então, você realmente não pode vê-lo muito bem aqui, mas seria -- estes contornos aqui estaria na metade inferior. E eu posso até pintar esta parte aqui. A superfície inferior da nossa esfera será f1 de x,y, e f2 de x,y como pode imaginar, será a parte superior da esfera, o hemisfério superior. então, irá parecer algo deste tipo. Esta coisa que estou desenhando aqui é definitivamente uma região tipo 1. Como podemos ver, isto poderia ser um tipo 1 tipo 2, ou uma região tipo 3. Mas é definitivamente uma região tipo 1. Outro exemplo de uma região tipo 1 -- e este realmente pode ser ainda mais óbvio. Então me deixe desenhar alguns eixos novamente, e desenhar um tipo de cilindro. Só para deixar claro que nosso domínio, onde o plano x,y não tem que estar dentro da nossa região -- vamos imaginar que nosso cilindro está abaixo -- bem, na verdade eu vou desenhar acima -- isto é acima do plano x,y. Então isto é o inferior de um cilindro. Está bem aqui. E mais uma vez, não tem que estar centrado a volta do eixo z. mas eu vou fazer deste modo somente para este vídeo. Na verdade, eu poderia desenhar um pouco melhor que este. Então este é a superfície inferior do nosso cilindro. e então a superfície superior do nosso cilindro pode ser aqui. E essas coisas realmente não tem de sequer ser plana. Eles poderiam ser curvas de alguma forma. E nesta situação, neste cilindro -- deixe me desenhar um pouco mais nítido. Neste cilindro bem aqui, nosso dominio será todos os valores que o x e y's podem assumir. Então nosso domínio será esta região bem aqui no plano x,y. E então para cada um, desses pares x,y, f1 de x.y define o limite inferior da nossa região. Então f1 de x,y será isto aqui. Então você pode me dar qualquer destes x,y's neste dominio D, e então você calcula a função nestes pontos, e irá corresponder a esta superfície bem aqui. E então f2 de x,y, mais uma vez, me dê qualquer um destes pontos x,y no nosso domínio, e então calcula f2 nesses pontos, e vai te dar esta superfície aqui. E estamos a dizer que z vai ter todos os valores entre, e então será todo este sólido -- é realmente toda a área deste sólido. Da mesma forma, ao longo daqui, z pode tomar quaisquer valores entre esta superfície vermelha e esta superficie verde. Então essencialmente vai preencher todo o volume de modo que iria transformar uma região sólida. Agora, você pode estar se perguntando o que não seria uma região tipo 1? Então vamos pensar nisto. Por isso, seria essencialmente algo que não possamos definir desta forma, e irei fazer o meu melhor para desenhá-lo. Mas você pode imaginar uma forma que faça algo estranho assim. Então há algo como um grande -- Eu penso que você pode imaginar um haltere de lado. Então um haltere de lado -- e eu vou talvez encurvá-lo um pouco. Então isto é tipo o topo de um haltere -- ou um relógio de vidro, E acho que você pode dizer, ou um haltere. E iria parecer algo dessa forma. Então eu estou a tentar o meu melhor para desenhá-lo. e iria parecer algo como isso. E o motivo por que isso não é definível dessa forma -- é bastante óbvia se você olhar para a sessão que se cruza. Não é possível definir somente duas funções que é um limite inferior e um limite superior em termos de z. Então mesmo que você diga, hey, talvez meu domínio seria todo o x, valores de y que podem ser tomados -- deixe-me ver quão bem posso desenhar isso. Então você diz meus valores x,y -- então deixe me tentar desenhar tudo isso melhor, uma melhor tentativa. Então você talvez diga, OK, para algo como um haltere -- deixe me limpar essa parte também. Para algo com um haltere -- me deixa apagar isso. Para algo como um haltere, talvez meu domínio esteja bem aqui. Então estes são todos os valores x,y que você pode tomar. Mais em ordem para ter uma forma de haltere, para quaisquer x,y z tem que tomar -- não há somente um limite superior e inferior, e z não toma todos os valores entre. Bem, me deixe somente desenhar um pouco mais claro. Então nosso haltere -- talvez centrado no eixo z. Este é o meio do nosso haltere, e então isso vai para fora. e então sobre aqui, o eixo z -- então parece com algo assim. e então vai para baixo do plano x,y. e faz algo meio similar. Vai abaixo do plano x,y e parece algo assim. Note que, para quaisquer x,y dado que seria -- se você tentar fazer que seja uma região tipo 1, você diria, bem, talvez esta seja a superfície superior. E talvez você que aqui em baixo é a superfície inferior. Mas repare que, z não pode tomar todos os valores entre os dois. Você meio que têm que quebrar isso se você quer que seja possível algo como isso. Você iria ter que quebrar isto em duas regiões separadas onde isso seria a região inferior, e esse aqui seria outra região superior. Então essa forma haltere não é uma região tipo 1, mas você pode na verdade quebrar em duas, separadas regiões tipo 1. Então eu espero que tenha ajudado. E na verdade, outra forma de pensar nisso, essa pode ser a forma mais fácil-- se formos olhar para isso nessa direção, e se nós formos pensar somente sobre o z, y, se pensarmos somente sobre o que acontece no plano z,y-- então este é um z, e isto é y bem aqui-- nossa forma haltere iria parecer algo como isso, minha melhor tentativa de desenhar nossa forma haltere. E se você pega um dado x ou y, talvez x é igual a 0, e você está situado aqui no eixo y, note z não está, sequer aqui em cima, não pode ser uma função de somente y. Nesta parte superior, há duas possibilidades de valores de z que precisamos tirar para um dado y-- dois valores de z possíveis para esse dado y. Então você não pode definir em termos simples de somente uma função de limite inferior e uma função de limite superior.