Regiões tipo II em três dimensões

RKA2JV - Fala, galera do Khan! Neste vídeo iremos continuar a nossa análise sobre tipos de regiões no espaço tridimensional. E, mais especificamente, iremos falar um pouco sobre regiões do tipo 2. Você verá, no decorrer desta série de vídeos, que os três tipos de regiões possuem definições bem similares e que, no fim, se trata apenas de uma questão de orientação da região analisada em relação aos eixos do espaço. Então, vamos começar por definir o que é uma região do tipo 2. Teremos R₂, que é o conjunto de todos os "x", "y" e "z" em três dimensões, tal que, e agora, em vez de pensar no nosso domínio em função das coordenadas (x, y), nós iremos pensar em função das coordenadas (y, z). Então, R₂ será o conjunto de todos os "x", "y" e "z", tal que os pares (y, z) pertencem a um domínio, vamos chamar aqui de D₂. E "x" tem o seu limite inferior dado por uma função g₁(y, z) e seu limite superior é dado por uma função g₂(y, z). E, como dissemos anteriormente, a definição das regiões do tipo 2 é bem similar ao que vimos no vídeo passado em relação às regiões do tipo 1. Mas, em vez de termos "z" variando entre funções de (x, y), nós temos o "x" variando entre funções de (y, z). Agora, vamos pensar um pouco sobre as regiões que nós exploramos no primeiro vídeo. Nós vimos que estas duas regiões aqui, tanto a esfera quanto o cilindro, são, de fato, regiões do tipo 1. Porém, esta ampulheta, da forma que nós orientamos, não era uma região do tipo 1. Vamos pensar quais destas regiões aqui são também do tipo 2 e pensar o que não pode ser uma região do tipo 2, também. Primeiro, vamos analisar a esfera. Nós podemos construir a esfera, porém, desta vez o nosso domínio será no plano YZ. Então, este aqui é o nosso D₂. O limite inferior da esfera seria esta parte que está virada para o sentido contrário ao nosso. E o limite superior será a parte da esfera virada para nós. Com isso, nós podemos dizer que a esfera é tanto uma região do tipo 1 como também uma região do tipo 2. Agora, e este cilindro aqui? Será que nós podemos construi-lo de uma forma que ele seria uma região do tipo 2? Vamos ver aqui. Desta vez, nós iremos pensar no domínio deste cilindro não como um círculo, mas sim como um retângulo no plano YZ. E, neste caso, o limite inferior da região, assim como no caso da esfera, será a metade do cilindro virada para o sentido contrário a nós e o limite superior será a metade do cilindro virada para nós. Então, de fato, o mesmo cilindro analisado e classificado como uma região do tipo 1 também é uma região do tipo 2. Agora, e esta ampulheta, que nós vimos no vídeo anterior que não poderia ser uma região do tipo 1? Será que ela pode ser classificada como uma região do tipo 2? Vamos analisar. Assim como as outras regiões, nós temos que, primeiramente, pensar no domínio D₂ da região, domínio este que deve estar contido sempre no plano YZ. E aqui nós podemos pensar neste corte, ou na silhueta desta ampulheta, que será o D₂. O limite inferior g₁, assim como nas outras regiões, será a metade virada para o sentido contrário a nós e o limite superior g₂ será a metade virada para nós. Então, nós podemos concluir, a partir deste desenho aqui, que de fato, esta ampulheta, orientada da forma que está, é, sim, uma região do tipo 2. Porém, se mudarmos a orientação desta região, será que ela continua a ser uma região do tipo 2? Vamos imaginar esta ampulheta orientada de uma forma que ela estivesse não de pé, mas sim, deitada no plano XY. E pelos mesmos motivos pelos quais esta primeira região que a gente desenhou aqui não é uma região do tipo 1, nós podemos dizer também que essa mesma região orientada de outra forma, deitada aqui, também não é uma região do tipo 2, já que, para qualquer par (y, z), você pode observar que existem diversos pontos "x" associados. Porém, podemos demonstrar que esta região aqui, deitada no plano XY, é, na verdade, uma região do tipo 1. Galera, para este vídeo é só isso. Nós nos vemos aqui pela Khan!