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Agora vamos pensar em regiões do tipo dois. E você verá que elas têm definições semelhantes, trata-se apenas de uma questão de orientação. Região tipo dois é uma região - Eu a chamarei de R dois - que é conjunto de todos os x's, y's e z's em três dimensões - e agora ao invés de pensar no nosso domínio em termos de coordenadas xy, vamos pensar em termos de coordenadas yz, de modo que nossos pares yz são membros de algum domínio. Chamarei isso de D2, visto que estamos falando sobre regiões do tipo dois. E x está limitado por baixo por alguma função de yz. Então direi que g um de yz é menor ou igual a x, que é menor ou igual a alguma outra função de yz, g dois de yz. E você verá imediatamente uma maneira semelhante de pensar sobre isto, mas ao invés de termos z variando entre duas funções de x e y como nós temos em um região do tipo um, agora nós temos x variando entre duas funções de y e z. Agora vamos pensar sobre algumas formas que exploramos. Nós vimos que estes dois aqui em cima, esta esfera e o cilindro, eram regiões do tipo um, mas esta aresta, do modo que eu a orientei aqui, não era uma região do tipo um. Vamos pensar sobre quais destas são regiões do tipo dois e qual não pode ser uma região do tipo dois. Então podemos começar pela esfera. Aqui estão meus eixos. Deixe me rolar um pouco para baixo Tenho meus eixos. E aqui temos nosso domínio, nós ainda podemos construir nossa esfera, mas nosso domínio estará no plano yz. O plano yz é isto aqui. E isto será nosso domínio. Quero deixá-la mais esférica do que isto. Logo, nosso domínio é este aqui no plano yz. É o nosso D dois. E o nosso limite inferior, a fim de construir a região sólida da esfera ou do globo ou qualquer coisa que possamos chamá-lo, o limite inferior em x pode ser a metade de trás da esfera, aquela que está longe de nós. Então o limite inferior - deixe me ver o quão bem eu posso conectá-los primeiramente. Eu posso fazer um trabalho melhor do que isto. Com a sombra posso fazer algo assim, então eu faço algo como isto. Mas isto é se este domínio for transparente Mas tudo que podemos capturar - vamos vislumbrar isto atrás disto aqui. Logo é o lado da esfera que está voltado para nós. O limite superior em x pode ser o lado da esfera que está voltado para nós. Logo se fizermos alguns contornos, pode parecer com algo como isto e então se parecer com algo como isto. Então vamos colorir esta região inteira aqui. E x pode assumir todos os valores da região em magenta e abaixo desta superfície verde. E essencialmente vou preencher o globo para cada ponto yz em nosso domínio. A esfera é tanto uma região tipo um quanto tipo dois. Na verdade, veremos que isto será uma região tipo três. E este cilindro aqui? Podemos construir ou pensar em uma forma de ser uma região do tipo dois? Vamos tentar fazer isto. Deixe-me copiar aqui. E se eu tivesse o domínio - se o nosso domínio fosse algo parecido com isto? É um retângulo no plano yz. Logo este é o nosso domínio, um retângulo no plano yz. Que seria meu D dois. E se o meu limite inferior fosse algo na parte de trás do cilindro? Assim a parte de trás do cilindro; tentar desenhar é uma boa coisa que posso fazer. E se nós virmos o lado de fora, seria algo parecido com isto. Podemos ver por dentro do cilindro ou ver o pequeno corte no plano fora do cilindro. Será parecido com isto. Então aquilo ali será g um. E nosso g dois pode ser na parte da frente do cilindro. G dois pode ser na parte da frente do cilindro. Deixe-me colorir da melhor forma possível. G dois será a parte da frente do cilindro, e x pode variar entre g um e g dois preenchendo o cilindro por completo. Este mesmo cilindro que é uma região tipo um também pode ser visto como uma região tipo dois. Agora em relação a esta ampulheta que vimos que não pode ser uma região tipo um? Pode ser uma região tipo dois? Bom, vamos pensar a respeito. Eu farei da mesma forma. Vamos definir um domínio. Talvez nosso domínio possa ser em y - pode ser no plano yz se afirmarmos que é uma região tipo dois, ou se pensarmos nisto como uma região tipo dois. O nosso domínio pode ser algo como um pedaço da ampulheta no plano yz. Então nosso domínio pode ser uma região como esta no plano yz. Portanto, esta parte é meio achatada. Então este é o nosso domínio. E o limite inferior em x, g um pode ser uma superfície, uma função de y e z, algo na parte de trás de nossa ampulheta. Você pode ver a parte de trás de nossa ampulheta. Tentarei mostras os contornos da parte inferior bem aqui. Este pode ser nosso g um. E nosso g dois pode ser a parte da frente da ampulheta. Minha melhor tentativa de desenhar a parte da frente da ampulheta. E eu posso colorir internamente. De qualquer forma, eu desenhei de uma forma um pouco confusa. Você vê que esta ampulheta está orientada de uma forma que pode ser uma região tipo dois. Agora, se rotacionarmos assim, --deixe-me desenhar. Editar.-- E se fizermos assim então aquele topo da minha ampulheta está voltado para nós. Farei o meu melhor para desenhá-lo. Digamos que o topo intercepta o eixo x bem aqui. Está é a parte de baixo da minha ampulheta. E então se curva e em seguida volta para fora deste jeito. Se curva e em seguida volta para fora deste jeito. Pelo mesmo motivo que faz com que esta não seja uma região tipo um, esta não é uma região tipo dois. Para qualquer xy, agora podemos ver que existem múltiplos pontos -- me desculpe -- Para qualquer zy, podemos ver que existem múltiplos pontos em x que são associados com diferentes pontos desta ampulheta. Agora não temos simplesmente limites inferiores e superiores nesta função aqui. Isto aqui não é uma região tipo dois. Você pode rotacionar e então isto se torna uma região tipo um. Você pode criar uma região bem aqui no plano xy e ter um limite superior e outro inferior para z. Então pode ser uma região tipo um, mas não será uma região tipo dois. Legendado por [Rodrigo Melges] Revisado por [Pilar Dib]