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Transcrição de vídeo

Neste vídeo, eu vou tentar provar-- na verdade, neste e os próximos videos-- tentarei provar um caso especial do teorema de Stokes, o teorema de Stokes para um caso especial. Estou fazendo isso pois a prova será mais simples. Mas, ao mesmo tempo, é bastante convincente. O caso especial que vamos assumir é que a superfície que estamos lidando é uma função de x e y. Então, se você me der qualquer x e y particular, ele só determina um ponto na superfície. Assim, uma superfície como esta seria o caso. Portanto, é um mapeamento da região no plano xy em três dimensões. Para qualquer xy, podemos achar a altura. Assim, essencialmente, z será uma função de x e y e podemos obter um ponto na superfície. Portanto, esta prova não é aplicável a uma superfície como uma esfera ou algo parecido, onde qualquer ponto do plano xy poderia, na verdade, determinar dois pontos na nossa superfície. Mas este é um bom começo. A outra coisa que vamos assumir, vamos assumir que z, que é essencialmente uma função de x e y-- que esta função de x e y tem derivadas de segunda ordem contínuas. E a razão pela qual farei esta suposição é que nos ajudará em nossa prova mais tarde. Nós permitirá dizer que a parcial de nossa superfície ou parcial de z em relação a x, e então tomar a derivada disto em relação a y. será o mesmo que a parcial de z em relação à y e então tomar a derivada disto em relação a x Para dizer esta afirmação, temos que assumir que este z-- ou este z aqui, z é uma função de x e tem y-- tem derivadas de segunda ordem contínuas. E aqui escrevemos o campo vetorial F que lidaremos quando tentarmos brincar com o teorema de Stokes. E assumimos que tem derivadas de primeira ordem contínuas. Com isto fora do caminho, pensaremos sobre o que teorema de Stokes nos diz, e então vamos pensar, para este caso particular, como podemos escrevê-lo. E espero que a gente veja que as duas coisas são iguais. Deixe-me escrevê-lo. Assim, o teorema de Stokes nos diz que F ponto dr sobre algum caminho-- e o caminho que nos interessa é essencialmente este caminho aqui. Eu farei em azul. É este caminho aqui. Este é o limite. Este é o limite da nossa superfície. Então isto aqui é o C. Teorema de Stokes nos diz que isto deve ser a mesma coisa, isto deve ser equivalente à integral de superfície sobre a superfície de rot F ponto dS, ponto com a própria superfície. Neste vídeo, eu quero focar-- provavelmente neste e no próximo, quero me concentrar na segunda metade. Eu quero focar nisto. Quero ver como expressamos isto dadas as suposições que fizemos. E depois disso, vamos ver como podemos expressar isto dadas as mesmas suposições. E espero que consigamos fazer com que eles sejam iguais entre si. Então vamos começar a descobrir o que é rot F. Rot F é igual a-- você poderia vê-lo como o operador del multiplicado vetorialmente com o campo vetorial F, que é igual a-- podemos escrever nossas componentes. Farei em cores diferentes-- as componentes i, j, e k . E então eu preciso escrever meu operador del, ou meus operadores parciais. A parcial em relação a x, a parcial em relação a y, a parcial em relação a z, e tenho que escrever as componentes i, j, k do meu campo vetorial F. E farei isso em verde-- bem, eu vou fazer em azul. E assim, temos P, que é uma função de x, y, z. Q, que é uma função de x, y, e z. E R, que é uma função de x, y, z. E então, isto será avaliado em, será i vezes-- zere esta coluna e esta linha, será a parcial de r em relação a y, menos a parcial de Q em relação a z. E então, padrão quadriculado-- menos j-- farei este chapéu um pouco melhor-- menos j vezes a parcial de R em relação a x menos a parcial de P em relação a z. E finalmente, mais k. E isto será vezes a parcial de Q em relação a x menos a parcial de P em relação a y. Descobrimos rot F. Deixarei você aqui. Estou tentando fazer vídeos curtos agora. No próximo vídeo, temos que descobrir como expressar ds. E então vamos avaliar toda essa operação. Tomaremos o produto escalar. Legendado por [Raul Guimaraes] Revisado por [Victor Oliveira].