Demonstração do teorema de Stokes parte 1

RKA2JV - Fala, galera do Khan! Iniciamos aqui uma série de vídeos onde nós iremos provar um caso especial do teorema de Stokes. E o caso especial que vamos analisar neste vídeo é quando a superfície em questão é uma função de "x" e "y". Então, dado um par ordenado (x, y), esse par de pontos nos dará apenas um ponto na superfície, como se fosse um mapeamento desta região aqui desenhada no plano XY no espaço tridimensional Para cada par ordenado, nós achamos uma altura "z" e obtemos um ponto da nossa superfície. Dadas essas premissas, esta prova não valeria para uma superfície de uma esfera, por exemplo, ou qualquer outra superfície onde dois pontos de um plano determinam mais de um ponto da nossa superfície. E, para que esta prova faça sentido, nós temos que assumir que Z(x, y) possui uma derivada de segunda ordem contínua. Essa continuidade nos ajudará mais tarde, já que ela assegura que derivar parcialmente Z, primeiramente em relação a "x" e depois em relação a "y", é a mesma coisa que derivar Z primeiramente em relação a "y" depois em relação a "x". Aqui ao lado, nós também descrevemos um campo vetorial que iremos utilizar quando formos adentrar a parte que diz respeito ao teorema de Stokes. Nós iremos assumir, para este campo vetorial, que ele possui derivada de primeira ordem contínua, também. Agora, vamos tentar entender o que o teorema de Stokes nos diz e depois pensaremos como ele se dá para este caso particular. O teorema de Stokes nos diz que a integral de Fdr em um caminho C, lembrando que este C representa o limite da nossa superfície, então, integral de Fdr é igual à integral de superfície da rotacional de F por dS, sendo que dS é o infinitesimal da nossa superfície. Neste vídeo, nós iremos focar justamente nesta parte à direita do sinal de igual, que é a integral de superfície. Iremos checar como se dá esta integral, dadas todas as nossas premissas e suposições, e depois, nos próximos vídeos, iremos ver como esta primeira parte da equação aqui se dá para este nosso caso específico. Por fim, nós iremos ver que as duas são, de fato, iguais. Vamos começar por desenvolver o que está dentro desta integral aqui e entender o que é esta rotacional de F. A rotacional de F é igual ao operador diferencial del (∇) produto vetorial com o nosso campo vetorial. E este produto vetorial é igual a uma matriz, então, nós iremos escrever a nossa matriz de componentes. Para a primeira linha da nossa matriz, iremos pôr "i", "j" e "k". Na segunda linha, teremos o operador diferencial ∂. Então, parcial em relação a "x" (∂/∂x), parcial em relação a "y" (∂/∂y) e parcial em relação a "z" (∂/∂z). Na última linha aqui, nós teremos as componentes do campo vetorial. Na primeira coluna teremos P, que é uma função de "x" e "y", Q, que também é uma função de "x", "y" e "z", e, por último, teremos R, que também se dá em função das mesmas variáveis. Por fim, teremos o resultado deste produto vetorial, que nada mais é do que o determinante desta matriz aqui das componentes. Então, teremos: "i" vezes parcial de R em relação a "y" menos parcial de Q em relação a "z", tudo isso menos "j" vezes parcial de R em relação a "x" menos parcial de P em relação a "z", e finalmente, tudo isso mais K vezes parcial de Q em relação a "x" menos a parcial de P em relação a "y". Nós podemos acabar este vídeo por aqui e, nos próximos vídeos, iremos descobrir como este dS se dá e iremos analisar a integral aqui, à direita do igual, como um todo. Então, é isso, galera do Khan. Até mais!