Demonstração do teorema de Stokes - parte 2

RKA22JL - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar a prova do teorema de Stokes e vamos começar parametrizando a nossa superfície e, com isso, descobrir o que é o dS. Eu vou chamar de r a função vetorial para a nossa superfície e ela vai ter dois parâmetros, porque nós temos que definir essa superfície s também. Ou seja, os parâmetros x e y, porque essa função s é uma função de x e y, então, uma função vetorial r (x,y) e que é igual a x em i, mais y em j, mais o z, que é uma função de x e y em k. E quando você faz a parametrização de uma superfície, deve pensar sobre quais são as restrições no domínio dos seus parâmetros, e isso significa que o x e o y pertencem a algo, e, nesse caso, eles pertencem a essa região R. Então, x e y pertencem à região R, e isso é algo que eu assumi bem aqui, ou seja, o x e o y dessa região s pertencem à região R e, agora que temos uma parametrização dessa função vetorial, podemos pensar no que é esse dS. Eu vou escrever uma coisa aqui e, depois, podemos confirmar se é verdade ou não. O dS é igual à derivada parcial disso em relação a cada um desses parâmetros, vezes um pequeno pedaço de área no domínio. Ou seja, o dS é igual ao produto vetorial entre a derivada parcial de r em relação a x e a derivada parcial de r em relação a y. Lembrando que isso aqui é um produto vetorial e, por causa disso, a resposta vai ser um vetor e multiplicamos isso por dxdy, ou dydx, tanto faz. Se você quiser, ainda pode colocar no lugar desse dxdy um “dA” indicando que é o diferencial da área dessa região. Então, ao invés de dxdy, podemos colocar vezes “dA”. E, claro, devemos ter cuidado, porque devemos garantir que esse produto vetorial está apontando na direção correta, porque precisamos garantir que esse produto está percorrendo o sentido correto. Lembre-se, estamos percorrendo a superfície nessa orientação e, por causa disso, precisamos garantir que esse produto vetorial está indo no mesmo sentido, porque nós já até vimos isso. Se estamos indo nesse sentido, é como se você estivesse aqui, com a cabeça apontada para cima. E, aí, o produto vetorial deve estar apontado nesse sentido. E vamos pensar nisso. A derivada parcial de r em relação a x, à medida que o x vai aumentando, vai estar nesse sentido ao longo da superfície e a derivada parcial de r em relação a y, à medida que o y vai aumentando, está nesse sentido, e o produto entre esses dois vetores, se eu utilizar a regra da mão direita, que nós já vimos, nós apontamos o dedo indicador no sentido do primeiro termo do produto vetorial, o dedo do meio na direção do segundo termo do produto vetorial e o dedão vai mostrar o sentido do produto vetorial. Nesse caso, aponta para cima, e é exatamente o que queríamos que acontecesse aqui. Essa é a ordem correta, e, com isso resolvido, podemos calcular esse produto vetorial aqui. Eu posso reescrever esse produto vetorial aqui como o determinante da matriz de i, j e k, e as derivadas parciais em relação a cada um desses componentes e fazemos a derivada parcial de todos os componentes em relação a x. E a derivada parcial de x em relação a x é igual a 1, a derivada parcial de y em relação a x é igual a zero, e a derivada parcial dessa função z em relação a x, nós podemos reescrever a derivada parcial da função z em relação a x. E agora precisamos calcular a derivada de r em relação a y, o que significa que nós pegamos todos esses componentes e derivamos em relação a y. Fazendo isso, temos que a derivada de x em relação a y é igual a zero, a derivada de y em relação a y é igual a 1, e a derivada de z em relação a y, nós podemos reescrever desta forma. Agora, precisamos resolver esse determinante, e você pode fazê-lo de várias maneiras. O que eu vou fazer aqui é analisar primeiro a componente i. Eu pego esse zero, multiplico por essa derivada parcial e subtraio por essa multiplicação aqui. Zero vezes isso vai dar zero menos 1 vezes a derivada parcial de z em relação a x, e subtraímos isso pelo componente j e, com isso, ignoramos essa coluna e essa linha, e multiplicamos 1 pela derivada parcial de z em relação a y e subtraímos por zero vezes a derivada parcial de z em relação a x. Quando fazemos isso, vamos ficar com a derivada parcial de z em relação a y e, por fim, somamos com o componente k e isso significa que ignoramos essa coluna e essa linha e fazemos esse produto cruzado, ou seja, 1 vezes 1, menos zero vezes zero, e que é a mesma coisa que 1. Mas, se você quiser, pode colocar somente k. Tanto faz, tá? E, aí, você pode reescrever o produto vetorial e, se ajeitarmos isso, vamos ficar com menos a derivada parcial de z em relação a x, em i, menos a derivada parcial de z em relação a y, em j, mais 1 vezes k, que é a mesma coisa que a componente k. Enfim, eu espero que essa aula tenha ajudado você e vamos continuar provando o teorema de Stokes na próxima aula. Até a próxima, pessoal!