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Transcrição de vídeo

Vamos parametrizar a nossa superfície. E então, podemos descobrir o que ds é. Definirei a minha função vetorial, para nossa superfície, como r. E farei uma função de dois parâmetros porque nós teremos que definir uma superfície aqui. Posso usar x e y como parâmetros porque a superfície pode ser definida como função de x e y. Direi que a minha parametrização será uma função de x e de y. E na minha direção i, será x vezes i. Na minha direção j, será y vezes j. Na minha direção k, será apenas z. z é uma função de x e y. Quando você faz a parametrização de uma superfície, você deve pensar sobre quais são as restrições no domínio dos seus parâmetros. As restrições do domínio dos meus parâmetros - Direi que cada par xy, cada coordenada, deve fazer parte -este é o símbolo para "membro" - deve ser um membro desta região aqui. Podemos chamar isso de domínio dos parâmetros. Deve ser um membro de r. Na verdade, já assumimos isso. Eu deveria ter escrito isso como coordenadas de x e y - os pares x e y que fazem parte de r - isso nos ajudará a definir a nossa superfície. Para qualquer xy que não fazer parte de r, consideraremos que o z desse xy também não fará parte da superfície. Somente os z's dos pares xy que fazem parte desta região. Agora que temos a nossa parametrização da nossa superfície, podemos pensar sobre o que ds pode ser. Precisamos pensar com cuidado. Primeiro, escreverei um coisa. Depois, podemos confirmar se isso será realmente o caso. ds - e já vimos por que esse será o caso- será o produto vetorial da derivada parcial disso em relação a cada um dos parâmetros vezes o pequeno pedaço de área no domínio. Você pode ver isso como o produto vetorial da derivada parcial de r desta parametrização em relação a x e a derivada parcial de r em relação a y. Tudo isso - queremos que isto seja um vetor, e não apenas o valor absoluto ou o módulo- queremos que isto seja um vetor. Isto vezes - podemos definir uma ordem; dx dy ou dy dx. Se quisermos ser mais gerais, podemos dizer que é o diferencial de área da nossa região, - podemos escrever - em vez de escrever dx dy, ou dy dx, podemos escrever dA. E a razão pela qual disse que devemos ter cuidado é que precisamos garantir, com base na parametrização da nossa função vetor de posição, se este produto vetorial realmente aponta na direção correta. A direção na qual precisamos nos orientar. Lembre-se: se estamos atravessando uma demarcação como esta, precisamos garantir que a superfície está orientada corretamente. Se eu torcer isto assim, isto se moveria para cima. Ou, se você caminhasse em volta desta delimitação nesta direção, com a superfície à sua esquerda, a sua cabeça apontaria para cima. Precisamos garantir que este vetor define a orientação da superfície - estará definitivamente apontando para cima ou acima da superfície, em vez de embaixo. Pensaremos sobre isso um pouco. A derivada parcial em relação a x- à medida que x cresce, irá nesta direção ao longo da superfície. E a derivada parcial em relação a y, à medida que y cresce, irá naquela direção ao longo da superfície. Se eu calcular o produto vetorial de r e y -podemos usar a regra da mão direita- Apontamos o dedo indicador na direção do primeiro termo do produto vetorial e o dedo do meio na direção do segundo termo. Dobramos o dedo do meio. Não nos importamos com os outros dedos. Vou desenhá-los aqui. O dedão irá na direção do produto vetorial. Neste caso, o dedão apontará para cima. E é exatamente o que queríamos que acontecesse. Esta é a ordem correta. O produto vetorial da derivada parcial em relação a y com a derivada parcial em relação a x não estaria certo. Teríamos obtido a outra orientação. Faríamos isso se esta delimitação estivesse para o outro lado. Mas esta é a orientação correta, dada a maneira como atravessaremos a delimitação. Com isso fora do caminho, vamos calcular este produto vetorial. Deixe-me reescrevê-lo. Isso será igual a- vou me concentrar no produto vetorial por enquanto. O produto vetorial da derivada parcial de r em relação a x com a derivada parcial de r em relação a y é igual - fizemos isto várias vezes. Faremos isso em termos mais gerais agora. Será igual ao determinante desta matriz - i, j, e k. Deixe-me usar uma cor diferente. Acho que pensar dessa maneira ajuda. i, j e k. Usarei a cor magenta. i, j, k. Deixe-me escrever esta linha aqui. Queremos escrever as diferentes componentes da derivada parcial em relação a x. A derivada parcial da componente i em relação a x será um. A derivada parcial da componente j em relação a x será zero. E a derivada parcial disto em relação a x- podemos escrever isso como a derivada parcial da função z em relação a x. r sub x - ou a derivada parcial em relação a x - é o vetor um i, mais zero j, mais z sub x k. Faremos o mesmo com esta parte aqui. A derivada parcial em relação a y - a componente i será igual a zero. A componente j será igual a um. A derivada disso em relação a y é um. E a derivada parcial disso em relação a y é a derivada parcial de z em relação a y. Esqueci de escrever k aqui na nossa parametrização. Com tudo isto pronto, podemos calcular o produto vetorial. O produto vetorial será igual a - a nossa componente i será zero vezes a derivada parcial em relação a y, menos um vezes a derivada parcial de z em relação a x. Obtemos menos a derivada parcial de z em relação a x. Seguindo o padrão, teremos menos j vezes - ignore esta coluna e esta linha - um vezes a derivada parcial em relação a y. Isso é z sub y - a derivada parcial de z em relação a y - menos zero vezes isso. Ficamos apenas com isto aqui. E, finalmente, teremos mais k. Aqui temos um vezes um menos zero vezes zero. Ficará k vezes um. Podemos escrever k aqui. Podemos escrever que o produto vetorial é igual a menos z sub x vezes i menos z sub y vezes j mais k. [Legendado por Pilar Dib] [Revisado por Victor Oliveira]