Demonstração do teorema de Stokes - parte 3

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar conversando sobre a prova do teorema de Stokes. Só para relembrar: no último vídeo, nós estabelecemos a base para expressar essa integral de superfície, que é o lado direito da expressão do teorema de Stokes. Agora, nós podemos expressar isto como uma integral dupla no domínio dos parâmetros com os quais nos importamos. Isso é o que faremos aqui neste vídeo. Nos próximos vídeos, nós faremos o mesmo para esta outra expressão, e faremos isso utilizando o teorema de Green. O que nós vamos fazer é ver se podemos obter as mesmas expressões, que nos mostrarão que o teorema de Stokes é verdadeiro (pelo menos para esta classe especial de superfícies que estamos estudando aqui, já que elas são muito genéricas). Enfim, vamos tentar fazer isso. A nossa integral de superfície (e eu vou reescrevê-la logo aqui) é uma integral de superfície sobre a nossa superfície do rotacional de F. Na verdade, teremos a nossa integral de superfície do produto escalar do rotacional de F e ds. Nos vídeos passados, nós já vimos o que é o rotacional de F, inclusive, eu comecei a explicar o que o ds significa: ds é o produto vetorial destes dois vetores, vezes dA. Então, nós podemos apenas escrever que ds será igual a isto vezes dA. Este é o produto vetorial da derivada parcial de "r" em relação a "x" e da derivada parcial de "r" em relação a "y". Aí, nós temos que multiplicar isto com o dA. Esta expressão será somente o produto interno do rotacional de F, que é tudo isto aqui com tudo isto aqui embaixo. Essencialmente, nós iremos obter o produto interno deste vetor e daquele vetor e, então, multiplicá-los por isto. Nós podemos considerar isto como um valor escalar, e vamos fazer isso. Sendo assim, isto será igual a... Nós começamos a trabalhar no domínio dos nossos parâmetros. Logo, isto vai ser transformar de uma integral de superfície em uma integral dupla sobre aquele domínio, sobre aquela região do nosso interesse. Este é o domínio dos nossos parâmetros (neste caso, esta região "r"). Agora nós podemos calcular o produto interno do rotacional de "f" com ds, que é tudo isto aqui. Primeiramente, vamos pensar nas componentes "x". Então, você tem aquilo ali e tem isto. E você multiplica os dois. Com o sinal negativo, podemos trocar a ordem dos elementos ali. Você tem a derivada parcial de Z com respeito a "x", vezes, nós iremos trocar a ordem aqui, a derivada parcial de Q em relação a "z", menos a derivada parcial de R em relação a "y". Vamos pensar agora nas componentes "j". Assim, temos aqui a derivada parcial de -Z em relação a "y", vezes tudo isto aqui, pelo menos tudo que é multiplicado pela componente "j". Este sinal negativo pode ser cancelado com aquele sinal negativo. Assim, teremos aqui a derivada parcial de Z em relação a "y", vezes a derivada parcial de R em relação a "x", menos a derivada parcial de P em relação a "z". E aí temos a componente "k". E a componente "k", na realidade, é a mais fácil, porque é somente 1. Isto será somente 1, vezes a derivada parcial de Q em relação a "x", menos a derivada parcial de P em relação a "y". E este "da" é multiplicado por tudo. Então, nós vamos colocar parênteses e escrever "dA". E terminamos. Nós expressamos a nossa integral de superfície como um integral dupla no domínio dos nossos parâmetros. O que nós vamos fazer nos próximos vídeos é fazer a mesma coisa, usando o teorema de Green. E aí veremos como vamos obter o mesmo resultado. Eu espero que você tenha compreendido direitinho tudo que vimos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!