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Transcrição de vídeo

Nós agora estabelecemos a base para expressar essa integral de superfície, que é o lado direito da expressão do teorema de Stokes. Nós podemos agora expressar isso como uma integral dupla no domínio dos parâmetros com os quais nos importamos. E nós faremos isso neste vídeo. E na próxima série de vídeos, faremos o mesmo para essa expressão. Nós faremos isso usando o teorema de Green. O que nós iremos fazer é ver se podemos obter as mesmas expressões, que nos mostrarão que o teorema de Stokes é verdadeiro, pelo menos para essa classe especial de superfícies que nós estamos estudando aqui. Mas elas são bastante genéricas. Tentemos fazer isso. A nossa integral de superfície -- vou reescrevê-la logo aqui. É uma integral de superfície, logo sobre a nossa superfície do rotacional de f. Na realidade, deixe-me ir mais para baixo. Nós temos a nossa integral de superfície do produto escalar do rotacional de F e ds. Bom, nós já vimos o que é o rotacional de F dois vídeos atrás. E nós começamos a explicar o que ds significa. ds é o produto vetorial desses dois vetores vezes dA. O produto vetorial desses dois vetores é esse logo aqui. Então nós podemos apenas escrever que ds será igual a isso vezes dA. Esse é o produto vetorial da derivada parcial de r com respeito a x e da derivada parcial de r com respeito a y. E então nós temos que multiplicar isso vezes dA. Essa expressão será somente o produto interno do rotacional de F, que é tudo isso aqui com tudo isso aqui embaixo. E essencialmente nós iremos obter o produto interno desse vetor e daquele vetor e então multiplicá-lo por isso -- nós podemos considerar isso como sendo um valor escalar. Façamos isso. Isso será então igual a -- e que fazemos isso, nós começamos a trabalhar no domínio dos nossos parâmetros. Logo, isso se converterá de uma integral de superfície em uma integral dupla sobre aquele domínio, sobre aquela região do nosso interesse. Esse é o domínio dos nossos parâmetros, essa região R. E assim é como nós manipulamos qualquer integral de superfície que nós já vimos. Nós transformamos elas em integrais duplas no domínio dos parâmetros. Logo, isso irá se transformar em uma integral dupla sobre o domínio dos nossos parâmetros, que é a região R. É a região R no plano XY logo aqui. E agora nós podemos calcular o produto interno do rotacional de F com ds, que é tudo isso aqui. E deixe-me ver se eu posso mostrar ambos os casos na tela ao mesmo tempo. Vamos lá. Primeiramente, pensemos nos componentes x. Então você tem aquilo ali. E daí você tem isso aqui. Você multiplica os dois. Com o sinal negativo podemos trocar a ordem dos elementos ali. Você tem a derivada parcial de Z com respeito a X vezes -- e nós iremos trocar a ordem aqui. A derivada parcial de Q com respeito a Z menos a derivada parcial de R com respeito a Y. Pensemos agora nos componentes j. Você tem a derivada parcial de Z com respeito a Y negativo vezes tudo isso aqui, pelo menos tudo que é multiplicado por a componente j. Esse sinal negativo pode ser cancelado por aquele sinal negativo, e logo você tem a derivada parcial de Z com respeito a Y vezes a derivada parcial de R com respeito a X menos a derivada parcial de P com respeito a Z. Deixe-me esclarecer isso, isso é um R. E então você tem a componente k. E a componente k é na realidade a mais fácil porque é somente 1. Isso será somente 1 vezes -- eu vou fazer isso com a mesma cor -- 1 vezes a derivada parcial de Q com respeito a X menos a derivada parcial de P com respeito a Y. E finalmente, nós temos somente este dA aqui. E esse dA é multiplicado por tudo. Então nós vamos colocar parênteses e escrever dA. E terminamos. Nós expressamos a nossa integral de superfície como uma integral dupla no domínio dos nossos parâmetros. E o que nós vamos fazer nos próximos vídeos é fazer a mesma coisa usando o teorema de Green. E veremos que vamos obter o mesmo resultado. [legendado por Musa Morena Marcusso Manhães]