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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 9: Demonstração do teorema de Stokes- Demonstração do teorema de Stokes parte 1
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 2
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 3
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 4
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- Demonstração do teorema de Stokes - parte 6
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Demonstração do teorema de Stokes - parte 4
Começando a trabalhar na integral de linha sobre a superfície. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a
mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos continuar conversando
sobre a demonstração do teorema de Stokes. Dessa vez nós vamos nos
concentrar no outro lado do teorema. Tentaremos entender o que é a integral
de linha sobre as fronteira c, onde esse c, logo aqui, é a fronteira
da nossa superfície de f escalar dr. O que nós queremos ver é se chegaremos
ao mesmo resultado que encontramos aqui em cima. Mas antes de fazer isso,
vamos pegar um pequeno desvio para desenvolver isso
aqui que eu coloquei. Sendo assim, vamos colocar
isso de lado por enquanto. Então eu vou apagar isso aqui. O que eu vou fazer, na verdade, é me concentrar
nessa região aqui no plano xy. Esse é o caminho c,
que é o limite da nossa superfície. Eu vou me concentrar no caminho
que é a fronteira dessa região, então é o caminho
que está no plano xy. Por isso eu vou chamar
isso aqui de caminho c₁. Sendo assim, primeiro nós podemos pensar
em uma parametrização somente desse caminho
no plano xy. Nós podemos dizer que c₁ pode ser
parametrizado como x igual a x(t) e y com outra função de t e t é, obviamente,
o nosso parâmetro. Isso pode ir de “a” a “b”. Talvez, quando t for igual a “a”,
ele esteja aqui e quando t for ficando cada vez maior,
daremos uma volta. Assim, eventualmente, quando t
for igual a “b”, chegaremos ao mesmo ponto. Essa é a nossa parametrização aqui. Agora, só para fazer essa demonstração
um pouco mais fácil de se entender, eu farei uma pequena revisão. Imagine que a gente tem
algum campo vetorial g, onde g, no mínimo,
é definido no plano xy. Poderia ser definido em outros lugares, mas digamos que g é igual a
M(x,y)î mais N(x,y)j^. Sabendo que isso é uma revisão
do que já vimos antes, qual seria a integral de
linha sobre o caminho c₁? Eu não estou falando de c, mas sim nesse caminho
que está no plano xy. Então, qual seria a integral
de linha sobre o caminho c₁? Eu gosto de escrever isso
algumas vezes e eu estou usando g
para não me confundir com f, que é o nosso campo
vetorial original de g, nosso campo vetorial
ao longo desse caminho. Assim, teremos aqui g escalar dr. Bem, dr será igual a
dxî mais dyj^. Então, ao calcular o produto
escalar com esses dois aqui, teremos a integral de linha
sobre o nosso caminho c₁. Quando calcula o produto escalar,
você multiplica as componentes de x e adiciona com o produto
das componentes de y. Assim, teremos M vezes
dx mais N vezes dy. Eu só calculei o produto
escalar de g e dr, ok? Quando você calcular isso,
um jeito interessante de pensar é que esse dx aqui é o mesmo
que a derivada de x em relação a t dt. A mesma lógica para y, ou seja, que dy é igual a derivada
de y em relação a t dt. Uma forma de pensar nisso
é que esses dt se cancelam e você fica somente com dx. É importante pensar nisso porque nos permite usar
essa integral de linha no domínio do nosso parâmetro. Sendo assim, isso será igual à integral
no domínio do nosso parâmetro (estamos agora no domínio de t, ok?) e t vai variar entre a e b, ou seja, nós
estamos no domínio de t entre a e b. Isso aqui será igual a M vezes... Em vez de escrever dx, eu vou escrever
(dx sobre dt) vezes dt. Essa é a primeira expressão. Agora,
adicionamos isso à mesma coisa N vezes (dy sobre dt) vezes dt. Essas afirmações são todas equivalentes. Agora, com tudo isso aqui fora
do caminho, após fazer essa revisão, as coisas vão ficar
um pouco mais intuitivas. Sendo assim, podemos pensar na
parametrização desse caminho aqui, para c. Lembre-se: nós analisamos
somente c₁ no plano xy. Agora vamos analisar c,
que fica aqui, como se ele se elevasse
sobre o plano xy. Bem, para c, as parametrizações x e y
ainda podem ser as mesmas porque os valores de x e y
são exatamente os mesmos. Os valores de x e y aqui
são exatamente os mesmos que os valores de x e y
que encontramos antes. A única diferença é que, agora,
temos uma componente z e nós vamos defini-la aqui agora. Nossa componente z
será uma função de x e y, e isso nos diz o quão
alto temos que ir. Então, podemos
parametrizar c como... Eu vou escrever
isso aqui como um vetor, por isso vou usar um vetor r. Não se confunda com esse r aqui.
Esse são dois "r" diferentes, mas eu vou usar r porque ele tende a ser
uma convenção para representar esses vetores. Então, para parametrizar c, teremos o
vetor de posição r, que será uma função de t. x ainda será somente x(t)î, mais y, que é a mesma coisa.
Teremos aqui y(t)j^. Só que, agora, teremos
uma componente z, e z será somente uma função
de x e y, que são funções de t, ou seja, z é uma função de x,
que é uma função de t, e uma função de y, que
também é uma função de t. E então colocamos k^. Isso aqui nos diz o quão alto temos que ir
para, essencialmente, ter cada um desses pontos. Mais uma vez, sabemos que
t está entre “a” e “b”, ou seja, t é maior ou igual a
“a” e menor ou igual a “b”. Pronto, temos a parametrização aqui. Agora, podemos começar a pensar na integral de
linha de f escalar dr ao longo desse caminho. Antes, nós usamos o dr
ao longo desse caminho, agora, vamos usar dr
nesse caminho aqui. Enfim, essa é
a nossa parametrização r. Eu vou parar por aqui, mas em outro vídeo vamos ver
como podemos fazer essa integral de linha, ok? Então mais uma vez eu quero
deixar para você um grande abraço e dizer que nos
encontramos na próxima!