Demonstração do teorema de Stokes - parte 4

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos continuar conversando sobre a demonstração do teorema de Stokes. Dessa vez nós vamos nos concentrar no outro lado do teorema. Tentaremos entender o que é a integral de linha sobre as fronteira c, onde esse c, logo aqui, é a fronteira da nossa superfície de f escalar dr. O que nós queremos ver é se chegaremos ao mesmo resultado que encontramos aqui em cima. Mas antes de fazer isso, vamos pegar um pequeno desvio para desenvolver isso aqui que eu coloquei. Sendo assim, vamos colocar isso de lado por enquanto. Então eu vou apagar isso aqui. O que eu vou fazer, na verdade, é me concentrar nessa região aqui no plano xy. Esse é o caminho c, que é o limite da nossa superfície. Eu vou me concentrar no caminho que é a fronteira dessa região, então é o caminho que está no plano xy. Por isso eu vou chamar isso aqui de caminho c₁. Sendo assim, primeiro nós podemos pensar em uma parametrização somente desse caminho no plano xy. Nós podemos dizer que c₁ pode ser parametrizado como x igual a x(t) e y com outra função de t e t é, obviamente, o nosso parâmetro. Isso pode ir de “a” a “b”. Talvez, quando t for igual a “a”, ele esteja aqui e quando t for ficando cada vez maior, daremos uma volta. Assim, eventualmente, quando t for igual a “b”, chegaremos ao mesmo ponto. Essa é a nossa parametrização aqui. Agora, só para fazer essa demonstração um pouco mais fácil de se entender, eu farei uma pequena revisão. Imagine que a gente tem algum campo vetorial g, onde g, no mínimo, é definido no plano xy. Poderia ser definido em outros lugares, mas digamos que g é igual a M(x,y)î mais N(x,y)j^. Sabendo que isso é uma revisão do que já vimos antes, qual seria a integral de linha sobre o caminho c₁? Eu não estou falando de c, mas sim nesse caminho que está no plano xy. Então, qual seria a integral de linha sobre o caminho c₁? Eu gosto de escrever isso algumas vezes e eu estou usando g para não me confundir com f, que é o nosso campo vetorial original de g, nosso campo vetorial ao longo desse caminho. Assim, teremos aqui g escalar dr. Bem, dr será igual a dxî mais dyj^. Então, ao calcular o produto escalar com esses dois aqui, teremos a integral de linha sobre o nosso caminho c₁. Quando calcula o produto escalar, você multiplica as componentes de x e adiciona com o produto das componentes de y. Assim, teremos M vezes dx mais N vezes dy. Eu só calculei o produto escalar de g e dr, ok? Quando você calcular isso, um jeito interessante de pensar é que esse dx aqui é o mesmo que a derivada de x em relação a t dt. A mesma lógica para y, ou seja, que dy é igual a derivada de y em relação a t dt. Uma forma de pensar nisso é que esses dt se cancelam e você fica somente com dx. É importante pensar nisso porque nos permite usar essa integral de linha no domínio do nosso parâmetro. Sendo assim, isso será igual à integral no domínio do nosso parâmetro (estamos agora no domínio de t, ok?) e t vai variar entre a e b, ou seja, nós estamos no domínio de t entre a e b. Isso aqui será igual a M vezes... Em vez de escrever dx, eu vou escrever (dx sobre dt) vezes dt. Essa é a primeira expressão. Agora, adicionamos isso à mesma coisa N vezes (dy sobre dt) vezes dt. Essas afirmações são todas equivalentes. Agora, com tudo isso aqui fora do caminho, após fazer essa revisão, as coisas vão ficar um pouco mais intuitivas. Sendo assim, podemos pensar na parametrização desse caminho aqui, para c. Lembre-se: nós analisamos somente c₁ no plano xy. Agora vamos analisar c, que fica aqui, como se ele se elevasse sobre o plano xy. Bem, para c, as parametrizações x e y ainda podem ser as mesmas porque os valores de x e y são exatamente os mesmos. Os valores de x e y aqui são exatamente os mesmos que os valores de x e y que encontramos antes. A única diferença é que, agora, temos uma componente z e nós vamos defini-la aqui agora. Nossa componente z será uma função de x e y, e isso nos diz o quão alto temos que ir. Então, podemos parametrizar c como... Eu vou escrever isso aqui como um vetor, por isso vou usar um vetor r. Não se confunda com esse r aqui. Esse são dois "r" diferentes, mas eu vou usar r porque ele tende a ser uma convenção para representar esses vetores. Então, para parametrizar c, teremos o vetor de posição r, que será uma função de t. x ainda será somente x(t)î, mais y, que é a mesma coisa. Teremos aqui y(t)j^. Só que, agora, teremos uma componente z, e z será somente uma função de x e y, que são funções de t, ou seja, z é uma função de x, que é uma função de t, e uma função de y, que também é uma função de t. E então colocamos k^. Isso aqui nos diz o quão alto temos que ir para, essencialmente, ter cada um desses pontos. Mais uma vez, sabemos que t está entre “a” e “b”, ou seja, t é maior ou igual a “a” e menor ou igual a “b”. Pronto, temos a parametrização aqui. Agora, podemos começar a pensar na integral de linha de f escalar dr ao longo desse caminho. Antes, nós usamos o dr ao longo desse caminho, agora, vamos usar dr nesse caminho aqui. Enfim, essa é a nossa parametrização r. Eu vou parar por aqui, mas em outro vídeo vamos ver como podemos fazer essa integral de linha, ok? Então mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e dizer que nos encontramos na próxima!