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Transcrição de vídeo

Continuemos com a nossa prova do teorema de Stokes. E dessa vez nos concentraremos no outro lado do teorema. Tentaremos entender o que é a integral de linha sobre a fronteira C -- onde esse C logo aqui, a fronteira da nossa superfície de f ponto dr. E o que veremos é que obteremos o mesmo resultado que obtivemos logo aqui em cima. Antes de fazermos isso, tomemos um pequeno desvio para desenvolver isso. Coloquemos isso de lado por enquanto. Na verdade, deixe-me deletar isso agora. E o que farei, na realidade, é me concentrar nessa região logo aqui -- essa região no plano xy. Esse é caminho C, que é o limite da nossa superfície. Eu vou me concentrar no caminho que é a fronteira dessa região. Esse caminho que está no plano xy. Chamarei isso de caminho C1. E então, primeiro, nós podemos pensar em uma parametrização somente deste caminho no plano xy. Nós podemos dizer que C1 poderia ser parametrizado como x igual a x de t e y como outra função de t. E t é obviamente o nosso parâmetro. E isso pode ir de A a B. Talvez quando t for igual a A, ele esteja logo aqui. E então, quando t fica cada vez maior, e dá toda a volta. E eventualmente, quando t é igual a B, e chega ao mesmo ponto. Essa é a nossa parametrização logo aqui. E agora, só para fazer essa prova um pouco mais fácil de se entender, eu darei a vocês uma pequena de revisão. Imagine que você tem algum campo vetorial G. E G, no mínimo, é definido no plano xy. Poderia ser definido em outros lugares, mas digamos que G é igual a m de x, y, i mais N de x, y j. Agora, o que a integral de linha -- --e tudo isso é uma revisão. Nós vimos isso há muito tempo atrás. O que seria a integral de linha sobre o caminho C1? Não C, mas esse caminho que está no plano xy. Qual seria a integral de linha sobre o caminho C1? Eu gosto de escrever isso algumas vezes. E estou usando G para que não me confunda com F-- o nosso campo vetorial original -- de G, o nosso campo vetorial, ao longo deste caminho. G ponto dr. Bom, dr será igual a dxi mais dyj. Então, se usar o produto escalar desses dois aqui, você terá a integral de linha sobre o nosso caminho C1. Lembre-se, C1 é esse caminho aqui. Vou fazer isso na mesma cor para não mudar tanto de cores. A integral de linha sobre o nosso caminho C1. Quando calcula o produto escalar, você multiplica os componentes de x que os adiciona ao produto dos componentes de y. Você tem M vezes dx mais N vezes dy. Eu só calculei o produto escalar de G e dr. N vezes dy. E quando você avaliar isso, um jeito de pensar sobre isso é que dx é o mesmo que -- vou escrever isso em uma cor diferente -- dx é o mesmo que a derivada de x com respeito a t, dt. E a mesma lógica para y. dy é igual a derivada de y com respeito a t, dt. Uma maneira de pensar, esses dt's se cancelam. E você fica somente com dx. E é importante pensar nisso porque nos permite usar essa integral de linha no domínio do nosso parâmetro. E então, isso será igual à integral no domínio do nosso parâmetro. E agora estamos no domínio de t. E t irá variar entre a e b. Nós estamos no domínio de t entre a e b. Isso será igual a M vezes -- ao invés de escrever dx, vou escrever dx dividido por dt vezes dt. E será dx -- deixe-me escrevê-lo assim. dx -- a derivada de x com respeito a t -- dt -- essa é a primeira expressão -- mais N -- e então, a mesma coisa -- vezes dy dt. N vezes dy dt, dt. Estas afirmações são todas equivalentes. Agora, como tudo aquilo fora do caminho -- e tudo isso é realmente só um lembrete para que o resto dessa prova seja um pouco mais intuitiva. Como tudo aquilo fora do caminho, pensemos na parametrização deste caminho aqui, para C. Lembre-se nós somente analisamos C1 no plano xy. Agora analisaremos C que fica aqui e meio que se eleva sobre o plano xy. Bom, para C, as parametrizações de x e y ainda podem ser a mesma, porque os valores de x e y serão exatamente os mesmos. Os valores de x e y aqui são exatamente o mesmo que os valores de x e y ali. A única diferença é que agora temos uma componente z. Nós a definimos logo aqui. Nossa componente z será uma função de x e y. Isso nós diz o quão alto temos que ir. Podemos parametrizar C como -- escreverei isso como um vetor. Deixe-me parametrizar. Escreverei C como um vetor. Na verdade, não. Deixe-me escrever desta maneira. Deixe-me escrever C. Deixe-me escrever em roxo. C, podemos dizer x de t -- na realidade, deixe-me escrever isso como um vetor. E eu vou usar um vetor r, não se confunda com esse r logo aqui. Esses são dois r's diferentes, mas vou usar r porque ele tende a ser uma convenção. Então, em ordem de parametrizar C, será o vetor de posição r, que será uma função de t. E x ainda será somente x de ti mais y de tj. E agora teremos uma componente z. E z será somente uma função de x e y, que serão, por sua vez, funções de t. z é uma função de x -- que é uma função de t -- e uma função de y -- que é uma função de t, k -- que nos diz o quão alto temos ir para essencialmente ter cada um desses pontos. E então, mais uma vez sabemos que t está entre a e b, t é maior ou igual a 'a' e menor ou igual a b. Temos a parametrização logo aqui. E agora podemos começar a pensar na integral de linha de f ponto dr ao longo deste caminho. Antes usamos dr ao longo deste caminho. Agora vamos usar dr neste caminho logo aqui. Essa é a nossa parametrização r. Eu te deixarei aqui e nos vemos no próximo vídeo. Legendado por [Musa Morena Marcusso Manhães] e Revisado por [Raul Guimaraes]