Demonstração do teorema de Stokes - parte 5

RKA22JL - Olá, meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Nesse vídeo, vamos continuar conversando sobre a prova do Teorema de Stokes. No último vídeo, nós fizemos uma parametrização para a linha que delimita a nossa área aqui. Agora vamos pensar um pouco sobre a integral, que, na verdade, é a primeira parte do Teorema de Stokes da linha c de f, que é o nosso vetor inicial. Aí colocamos aqui o dr. Agora, preste atenção. Esse r que estamos falando é em relação à linha c, não o C1, que foi de onde nos baseamos para chegar aqui. Assim, "Fdr" é igual a: o F está aqui em cima, seus fatores “i”, “j”, “k” são exatamente “p”, “q” e “r”, o que é fácil de lembrar. Porém, também precisamos lembrar o que é o dr. O dr é a mesma coisa que dr dividido por dt multiplicado por dt. Sabendo disso, vamos compreender o que é a derivada de r em relação a t. Para isso, vamos usar a regra da cadeia. Eu vou escrever isso aqui: dr dividido por dt será igual à derivada de x em relação a t vezes i “chapéu” mais a derivada de y em relação a t vezes j “chapéu”. E como z é uma função de x, que é uma função de t, e também é uma função de y, que também é uma função de t, nós vamos ter que usar a regra da cadeia. Se queremos achar a derivada de z em relação a t, quais são todas as maneiras que z pode mudar se t também mudar? Z pode se alterar por causa de x, que muda devido a uma variação em t. Assim, você pode mudar por causa de x. Então, colocamos aqui ∂z em relação a x, quando x muda em relação a t. Mas esse não é o único modo que z pode se alterar. Temos que levar em consideração a forma que z muda em relação a y. Então colocamos aqui também ∂z em relação a y vezes a velocidade. Ou melhor, a maneira que y muda em relação a t. Isso que eu fiz aqui é apenas uma aplicação da nossa regra da cadeia. Então isso é dz sobre dt. Eu vou escrever aqui, mas um pouco diferente para ficar coerente com a forma que fizemos antes e para deixar tudo mais claro. Então será a derivada parcial de z em relação a x, dx sobre dt mais a derivada parcial de z em relação a y, dy sobre dt. Depois, precisamos multiplicar tudo isso por k “chapéu”. Agora, para encontrar o dr, basta multiplicar tudo isso pelo dt. Sabendo disso, vamos fazer a nossa integral aqui. Só que, agora, como vamos entrar no domínio de t, vamos colocar aqui os limites de t. O t vai ficar entre “a” e “b”, e isso de “Fdr”. Lembre-se, os fatores de f são somente as funções “p”, “q”, e “r”, e cada uma dessas são funções de “x”, “y” e “z”, em que z é uma função de x e y. A gente vai precisar pensar sobre isso daqui a pouco, ok? E quem sabe até usar um pouco mais da nossa regra da cadeia. É importante relembrar que quando queremos calcular o produto escalar entre dois vetores, a gente precisa pegar os fatores correspondentes e multiplicá-los. Assim, isso vai ser... Vamos reescrever isso aqui. Nosso vetor f é igual a p vezes i “chapéu” mais q vezes j “chapéu” mais r vezes k “chapéu”. Sabendo disso, ao calcular o produto escalar entre f e dr, claro, com um dt no final, é preciso multiplicar cada um dos fatores correspondentes. Assim, teremos p vezes dx sobre dt mais q vezes dy sobre dt mais r vezes tudo isso aqui, que é a derivada de z em relação a x, dx, dt. Mais a derivada de z em relação a y, dy, dt. Temos que multiplicar tudo isso por dt. Neste vídeo, eu vou parar por aqui, mas, no próximo vídeo, nós vamos rearranjar tudo isso que eu fiz de forma a ver que isso é igual a isso aqui. Isso aqui vai nos dar a forma que nós podemos aplicar ao teorema de Green utilizando essa área. E aí, se nós fizermos um pouquinho de manipulação algébrica, nós veremos que isso tudo vai ser simplificado para chegar a isso aqui. E, com isso, provar o Teorema de Stokes para o nosso caso especial. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos até agora. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!