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Transcrição de vídeo

Agora que nós temos a parametrização para a linha que delimita a nossa área aqui, Vamos pensar um pouco sobre o que a integral - e isto era a primeira parte do teorema de Stokes original- o que a integral da linha C de F, nosso vetor inicial campo F, dr vai ser. E agora, preste atenção, este r que estamos falando é em relação à linha C. Não o C1 que foi de onde conseguimos nos baseamos para chegar aqui. Assim, F ponto dr, vamos lembrar o que é F F estava cá em cima Seus fatores i, j e k são exatamente P, Q e R, o que é fácil de lembrar. Mas vamos pensar o que é que dr é igual a e vamos quebrar um pouco a nossa regra da cadeia. Assim, dr é o mesmo que dr dividido por dt multiplicado por dt Vamos entender o que é a derivada de R em relação a t E aqui vamos quebrar a regra da cadeia. -Vou escrever isso- dr dividido por dt será igual à derivada de x com relação a t vezes i mais a derivada de y com relação a t com relação a t vezes j. E, como z é função de x, que é função de t, e z também função de y que é função de t, nós vamos ter que quebrar a regra de cadeia. Se queremos achar a derivada de z com relação a t - eu vou fazer separado e depois eu coloco tudo junto. A derivada de z com relação a t, pela minha maneira de ver é, quais são todas as maneiras que z pode mudar se t mudar também? Z poderia mudar por causa de x que muda devido a uma mudança em t. Assim, z pode mudar por causa de x, delta z em relação a z, quando x muda em relação a t. Mas esta não é o único modo que z pode mudar Temos que levar em consideração a maneira que z muda em relação a y delta z em relação a y vezes a velocidade ou melhor ou à maneira que y muda em relação a t. E isto é somente a nossa regra de cadeia Então, isto é dz dividido por dt Eu vou escrever aqui o mesmo, mas um pouco diferente para ficar coerente com o que fizemos antes, e para deixar tudo mais claro. Então será o delta de z com relação a x, dx dividido por dt, mais -- na realidade, deixe-me escrever desta maneira-- mais o delta de z, com relação a y, dy dividido por dt e depois então nós vamos multiplicar tudo por k. Vamos multiplicar tudo por k. Assim, com isto fora, se nós quisermos dr dr será isto tudo multiplicado por dt Vamos lá. Agora nós podemos reescrever nossa integral aqui e agora nós vamos entrar no domínio de t. t vai ficar entre a e b e F ponto dr - lembre-se, os fatores de F são somente as funções P, Q e R. E cada uma dessas eram funções de x, y e z. e z é função de x e y, assim nós temos que pensar sobre isto daqui a pouco. Usar um pouco mais da nossa regra de cadeia. Se pegarmos os produtos escalares temos que pegar os fatores correspondentes e multiplicá-los. Isto vai ser - na verdade, deixe eu copiar e colar aqui. Deixe-me reescrever isto aqui. Nosso vetor F --e vou escrever aqui de uma maneira mais curta.-- Nosso vector F é P multiplicado por i mais Q vezes j mais R vezes k. Assim quando nós pegamos o produto escalar de F ponto dr, claro, estamos pegando o produto escalar destes dois. E nós temos que colocar dt no final. Assim, temos P multiplicado por dx sobre dt mais Q vezes dy sobre dt mais R vezes tudo isto aqui, que é a derivada de z com relação a x dx dt mais a derivada de z com relação a y dy dt. E aí temos que multiplicar tudo por dt. Não podemos esquecer desta parte aqui. Vamos multiplicar isto tudo por dt. Agora eu vou para por aqui neste vídeo por que eu quero cometer erros por falta de atenção. O que nós vamos fazer agora é re-arranjar isto tudo, de maneira a ver que isto aqui é igual a isto aqui. Isto aqui nos dá a forma que nós podemos aplicar o teorema de Green usando esta área aqui. E aí se nós fizermos um pouquinho de manipulação algébrica nós veremos que isto aqui simplifica até chegar a isto aqui e provar o teorema de Stokes para o nosso caso especial. Legendado por Celeste de Britto Revisado por Pilar Dib