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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 9: Demonstração do teorema de Stokes- Demonstração do teorema de Stokes parte 1
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 2
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 3
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 4
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 5
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 6
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Demonstração do teorema de Stokes - parte 5
Trabalhando com as integrais... Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - Olá, meu amigo ou minha amiga,
tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Nesse vídeo, vamos continuar conversando
sobre a prova do Teorema de Stokes. No último vídeo, nós fizemos
uma parametrização para a linha que delimita
a nossa área aqui. Agora vamos pensar
um pouco sobre a integral, que, na verdade, é a primeira parte
do Teorema de Stokes da linha c de f, que é o nosso vetor inicial. Aí colocamos aqui o dr.
Agora, preste atenção. Esse r que estamos falando
é em relação à linha c, não o C1, que foi de onde nos
baseamos para chegar aqui. Assim, "Fdr" é igual a:
o F está aqui em cima, seus fatores “i”, “j”, “k”
são exatamente “p”, “q” e “r”, o que é fácil de lembrar. Porém, também precisamos lembrar
o que é o dr. O dr é a mesma coisa que dr
dividido por dt multiplicado por dt. Sabendo disso, vamos compreender
o que é a derivada de r em relação a t. Para isso, vamos usar a regra da cadeia.
Eu vou escrever isso aqui: dr dividido por dt será igual
à derivada de x em relação a t vezes i “chapéu” mais a derivada de y
em relação a t vezes j “chapéu”. E como z é uma função de x,
que é uma função de t, e também é uma função de y,
que também é uma função de t, nós vamos ter que
usar a regra da cadeia. Se queremos achar a derivada de z
em relação a t, quais são todas as maneiras que z
pode mudar se t também mudar? Z pode se alterar por causa de x,
que muda devido a uma variação em t. Assim, você pode
mudar por causa de x. Então, colocamos aqui ∂z
em relação a x, quando x muda em relação a t. Mas esse não é o único modo
que z pode se alterar. Temos que levar em consideração
a forma que z muda em relação a y. Então colocamos aqui também ∂z
em relação a y vezes a velocidade. Ou melhor, a maneira que y muda
em relação a t. Isso que eu fiz aqui é apenas
uma aplicação da nossa regra da cadeia. Então isso é dz sobre dt. Eu vou escrever
aqui, mas um pouco diferente para ficar coerente com a forma
que fizemos antes e para deixar tudo mais claro. Então será a derivada parcial de z
em relação a x, dx sobre dt mais a derivada parcial de z
em relação a y, dy sobre dt. Depois, precisamos multiplicar tudo isso
por k “chapéu”. Agora, para encontrar o dr,
basta multiplicar tudo isso pelo dt. Sabendo disso, vamos fazer
a nossa integral aqui. Só que, agora, como vamos entrar
no domínio de t, vamos colocar aqui os limites de t. O t vai ficar entre “a” e “b”,
e isso de “Fdr”. Lembre-se, os fatores de f
são somente as funções “p”, “q”, e “r”, e cada uma dessas são funções
de “x”, “y” e “z”, em que z é uma função de x e y. A gente vai precisar pensar
sobre isso daqui a pouco, ok? E quem sabe até usar um pouco mais
da nossa regra da cadeia. É importante relembrar que quando queremos
calcular o produto escalar entre dois vetores, a gente precisa pegar
os fatores correspondentes e multiplicá-los. Assim, isso vai ser... Vamos reescrever isso aqui. Nosso vetor f é igual a p vezes i “chapéu”
mais q vezes j “chapéu” mais r vezes k “chapéu”. Sabendo disso, ao calcular
o produto escalar entre f e dr, claro, com um dt no final, é preciso multiplicar cada um
dos fatores correspondentes. Assim, teremos p vezes dx
sobre dt mais q vezes dy sobre dt mais r vezes tudo isso aqui, que é a
derivada de z em relação a x, dx, dt. Mais a derivada de z
em relação a y, dy, dt. Temos que multiplicar
tudo isso por dt. Neste vídeo, eu vou parar por aqui, mas, no próximo vídeo, nós vamos
rearranjar tudo isso que eu fiz de forma a ver que
isso é igual a isso aqui. Isso aqui vai nos dar a forma que nós podemos aplicar
ao teorema de Green utilizando essa área. E aí, se nós fizermos
um pouquinho de manipulação algébrica, nós veremos que isso tudo vai ser
simplificado para chegar a isso aqui. E, com isso, provar o Teorema de Stokes
para o nosso caso especial. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que conversamos até agora. E, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço, e até a próxima!