Demonstração do teorema de Stokes - parte 6

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos continuar provando o teorema de Stokes. Nós já até representamos a integral de linha sobre o limite da nossa superfície em termos de dt. Nós mostramos que F vezes dr é igual a isto aqui. O que vamos fazer neste vídeo é manipular isto algebricamente e depois aplicar o teorema de Green. E aí, nós colocamos aqui a integral de "a" até "b" disto aqui, que eu posso fatorar, ou seja, eu posso colocar algumas coisas em evidência. Note que tanto esta parte quanto esta têm um dx/dt. Eu posso até aplicar a distributiva aqui, e aí você vai ver que tanto esta parte quanto esta têm um dx/dt e que, se eu colocar em evidência, isso vai ser a mesma coisa que eu pegar P + R vezes a derivada de Z em relação a "x", vezes dx/dt. E eu posso fazer a mesma coisa para o dy/dt, ou seja, colocá-lo em evidência. Note que, aqui, eu tenho um dy/dt e, se eu fizer a distributiva aqui, eu também vou ficar com um dy/dt. Então, fatorando, colocando o dy/dt em evidência, nós vamos ficar com Q + R que multiplica a derivada de Z em relação a "y", vezes dy/dt. E claro, tudo isso está sendo multiplicado por um dt. E aqui está ficando um pouco interessante, porque esta expressão está começando a ficar parecida com o que vimos aqui no campo vetorial teórico. Eu posso até copiar esta parte e colocar aqui embaixo. Este é um modelo que podemos comparar. Aqui nós conseguimos ver que o nosso domínio é o "t". ou seja, estamos integrando em relação a "t". E note: temos uma função M aqui que multiplica dx/dt e aqui, uma outra função N que multiplica dy/dt. Integrando tudo isso em relação a "t", não é exatamente o que fazemos aqui? Se você quiser, pode até aplicar a distributiva aqui com o dt e aí a integral vai ficar exatamente assim. O M é esta parte aqui, porque é a função que está sendo multiplicada por dx/dt, e ainda tem este dt aqui, da distributiva. E esta parte aqui é a função N. E, já que estas duas integrais representam a mesma coisa, podemos reescrever desta forma, ou seja, podemos desparametrizar a função. Então, isto aqui é igual à integral de linha de c₁... E note que o M está sendo multiplicado apenas por dx. Como isso acontece? Simples: basta aplicarmos a distributiva aqui. Este dt vai se cancelar com este e vamos ficar somente com dx. Ou seja, aqui colocamos P + R vezes a derivada de Z em relação a "x", vezes dx. E somamos isso com N, que é igual a Q + R vezes a derivada de Z em relação a "y", vezes dy. E claro, estamos percorrendo o caminho c₁ e fizemos isso neste retorno aqui. Não é a nossa fronteira original "c", mas estamos lidando com outra fronteira no plano XY. Ela reverte para isto, mas sabe qual é o interessante de chegar nesta parte? É que agora podemos aplicar o teorema de Green aqui para transformar esta integral em uma integral dupla sobre a região que rodeia o caminho original. Ou seja, sobre esta região R. Eu espero que esta aula tenha te ajudado, e até a próxima, pessoal!