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Transcrição de vídeo

Onde paramos, tínhamos representado nossa integral de linha sobre o limite da nossa superfície em termos de dt, no domínio dt. Nós representamos ao que o f ponto dr será igual. O que vou fazer neste vídeo será um pouco de manipulação algébrica, e então vamos aplicar o teorema de Green. E se tivermos ou não tempo neste vídeo vamos manipular isso para mostrar que é o mesmo que vimos na parte anterior, em que avaliamos a integral de superfície. Vamos fazer isso. Esta integral aqui é a mesma coisa que a integral de a até b. O que eu vou fazer é agrupar as coisas que estão sendo multiplicadas por dx dt. Se eu agrupá-las e fatorar dx dt, se eu pegar esta parte aqui e essa parte aqui, vou basicamente distribuir o R. Deixa eu esclarecer isso. Vou distribuir o R. Vou agrupar isto e isto bem ali, vou ficar com -- e vou fatorar o dt dx. Vou ficar com P mais R vezes a parcial de z em relação a x vezes dx dt. Vou fazer o mesmo para os dy dt. Então essa é a parte bem ali. E o R ficará distribuído nesta coisa bem aqui. Então isto será mais Q mais R-- o R vai ficar distribuído -- vezes o parcial dz em relação a y. E vou fatorar dy dt. Não podemos esquecer que tudo isso será multiplicado por dt. Agora, isto aqui é interessante, porque está começando a ficar muito parecido com o que temos aqui em cima, no nosso campo vetorial teórico. Deixa eu copiar e colar isso. Então, na verdade, não sei se estou na camada correta do meu trabalho aqui. Então deixa eu copiar e colar. Não, isso não funcionou. Deixa eu tentar mais uma vez. Se eu tentar copiar, vou para uma camada abaixo. Estou usando um programa de arte para isso. Copiar -- acho que isso vai funcionar -- e colar. Lá vamos nós. Este é um resultado que tivemos antes. Este é um tipo de modelo para observar. Mas o que está acontecendo aqui se apenas olharmos para este modelo? Nós vemos que estamos no domínio t. Estamos integrando sobre t bem aqui. Mas temos estas coisas. Temos uma função que é uma função de x e y vezes dx dt, e depois uma função, a função de x e y vezes dy dt, e estamos integrando em relação a dt. Isto é exatamente o que estamos fazendo aqui. Podemos distribuir o dt, e temos algo que se parece exatamente com isto aqui, em que M é análogo a este pedaço aqui. Deixa eu esclarecer. M, este pedaço aqui, se parece muito com M no nosso exemplo bem aqui. Ele está sendo multiplicado por dx dt, e então este dt, que você pode distribuir, e este pedaço aqui, se parece muito com N. Podemos dizer então que, bem, temos algo parecido com isso. Nós podemos reescrevê-lo assim e voltar para o --- como que desparametrizar isso. Então, isto será igual à integral de linha de C1. Estamos no plano xy. Começamos com a curva C, mas agora vamos para C1. Isto é completamente análogo. Estas são apenas as funções de x e de y. Tudo aqui é. Então, agora, esta será a integral de linha sobre C1-- e eu poderia até desenhá-la assim, se eu quiser -- de M dx, o que faz sentido. Porque se você multiplicar dt vezes dx dt, os dts cancelam, e você fica só com o dx. Então M vezes dx, deixa eu escrevê-lo dessa forma. Isto será P mais R vezes a parcial de z em relação a x, dx mais n. Deixa eu rolar para direita um pouco. Mais n, que é Q mais R vezes o parcial de z em relação a y, dy. Isso é realmente interessante, porque esse caminho com que estamos preocupados, é totalmente análogo. Não pense que estou fazendo vudu aqui. Esta proposição é idêntica a esta proposição, em que M poderia ser isto e N poderia ser isto. E assim, podemos revertê-lo para o caminho C1 que fica no plano xy. Não é a nossa fronteira C original mas estamos apenas lidando com uma fronteira no plano xy. Ela reverte para isso. Mas o que é poderoso em chegar a este ponto, é que agora podemos aplicar o teorema de Green nisto para basicamente transformar isto em uma integral dupla sobre a região que rodeia este caminho, sobre a região original, sobre esta região R. E quando mudamos como manipulamos isso, quando brincamos com isso, vemos que conseguimos o mesmo resultado dos vídeos anteriores. E vou deixar você aí e ver se posso fazer isto no próximo vídeo.