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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 9: Demonstração do teorema de Stokes- Demonstração do teorema de Stokes parte 1
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 2
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 3
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 4
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 5
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 6
- Demonstração do teorema de Stokes - parte 7
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Demonstração do teorema de Stokes - parte 6
Mais manipulação de integrais... Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, vamos continuar provando
o teorema de Stokes. Nós já até representamos
a integral de linha sobre o limite da nossa superfície
em termos de dt. Nós mostramos que F vezes dr
é igual a isto aqui. O que vamos fazer neste vídeo
é manipular isto algebricamente e depois aplicar o teorema de Green. E aí, nós colocamos aqui a integral
de "a" até "b" disto aqui, que eu posso fatorar, ou seja, eu posso
colocar algumas coisas em evidência. Note que tanto esta parte
quanto esta têm um dx/dt. Eu posso até aplicar a distributiva aqui, e aí você vai ver que tanto esta parte
quanto esta têm um dx/dt e que, se eu colocar em evidência,
isso vai ser a mesma coisa que eu pegar P + R vezes a derivada de Z
em relação a "x", vezes dx/dt. E eu posso fazer a mesma coisa
para o dy/dt, ou seja, colocá-lo em evidência. Note que, aqui, eu tenho um dy/dt e, se eu fizer a distributiva aqui,
eu também vou ficar com um dy/dt. Então, fatorando,
colocando o dy/dt em evidência, nós vamos ficar com Q + R que multiplica a derivada de Z
em relação a "y", vezes dy/dt. E claro, tudo isso está sendo multiplicado
por um dt. E aqui está ficando um pouco interessante,
porque esta expressão está começando a ficar parecida com o que vimos aqui
no campo vetorial teórico. Eu posso até copiar esta parte
e colocar aqui embaixo. Este é um modelo que podemos comparar. Aqui nós conseguimos ver
que o nosso domínio é o "t". ou seja, estamos integrando
em relação a "t". E note: temos uma função M aqui
que multiplica dx/dt e aqui, uma outra função N
que multiplica dy/dt. Integrando tudo isso em relação a "t",
não é exatamente o que fazemos aqui? Se você quiser, pode até aplicar
a distributiva aqui com o dt e aí a integral vai ficar
exatamente assim. O M é esta parte aqui, porque é a função
que está sendo multiplicada por dx/dt, e ainda tem este dt aqui, da distributiva. E esta parte aqui é a função N. E, já que estas duas integrais
representam a mesma coisa, podemos reescrever desta forma,
ou seja, podemos desparametrizar a função. Então, isto aqui é igual à integral
de linha de c₁... E note que o M está sendo multiplicado
apenas por dx. Como isso acontece? Simples:
basta aplicarmos a distributiva aqui. Este dt vai se cancelar com este
e vamos ficar somente com dx. Ou seja, aqui colocamos P + R vezes a derivada de Z
em relação a "x", vezes dx. E somamos isso com N, que é igual a Q + R vezes a derivada de Z em relação a "y",
vezes dy. E claro, estamos percorrendo o caminho c₁
e fizemos isso neste retorno aqui. Não é a nossa fronteira original "c", mas estamos lidando com outra fronteira
no plano XY. Ela reverte para isto, mas sabe qual é
o interessante de chegar nesta parte? É que agora podemos aplicar
o teorema de Green aqui para transformar esta integral
em uma integral dupla sobre a região que rodeia
o caminho original. Ou seja, sobre esta região R. Eu espero que esta aula tenha
te ajudado, e até a próxima, pessoal!