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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5

Lição 6: Teorema de Stokes (artigos)

O teorema de Stokes e o teorema fundamental do cálculo

Tanto o teorema de Green quanto o teorema de Stokes são versões em dimensões maiores do teorema fundamental do cálculo. Veja como!

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Tanto o teorema de Green quanto o de Stokes, assim como vários outros resultados do cálculo multivariável, são apenas análogos ao teorema fundamental do cálculo com dimensões mais altas.

Revisão rápida do teorema fundamental do cálculo

Você se lembra do teorema fundamental do cálculo?

Veja o que ele diz:

$\int_{a}^{b} f^{'} (x) = f (b) - f (a)$ ‍

Em outras palavras, integrar a derivada de uma função em uma região

[a, b]

da reta numérica é o mesmo que calcular a função em si na fronteira dessa região, ou seja, para os valores

a

b

, e calcular a diferença.

Teorema de Green

O teorema de Green pode ser visto como um completo análogo ao teorema fundamental do cálculo, mas para duas dimensões.

$\iint_{R} rotacional 2d F d A = \oint_{C} F \cdot d r$ ‍

Em vez de calcular a derivada de uma função de uma variável $f$ ‍, ele envolve o $rotacional 2d$ ‍ de uma função vetorial de duas variáveis $F (x, y)$ ‍.
Em vez de integrar sobre uma região $[a, b]$ ‍ da reta numérica, calcule sua integral dupla sobre uma região $R$ ‍ do plano $x y$ ‍.
O limite da região unidimensional $[a, b]$ ‍ é simplesmente o par de pontos $a$ ‍ e $b$ ‍. Mas como $R$ ‍ é bidimensional, seu limite é uma curva $C$ ‍.
Em vez de calcular $f$ ‍ em seus dois pontos limites $a$ ‍ e $b$ ‍ e calcular a diferença, calcule a integral de linha de $F$ ‍ ao redor do limite $C$ ‍ orientado no sentido anti-horário.

A ideia aqui é que quando você integra a "derivada" de algo sobre uma região, o valor depende apenas do valor desse algo nos limites da região. É só que, em duas dimensões, a noção relevante de uma derivada é um

rotacional 2d

, e os limites de uma região envolvem uma curva inteira em vez de um par de pontos.

Teorema de Stokes

O teorema de Stokes leva isso para três dimensões. Em vez de pensar apenas em uma região plana

R

no plano

x y

, você pensa em uma superfície

S

vivendo no espaço. Dessa vez,

C

representa os limites dessa superfície.

$\begin{array}{r} \iint_{S} rotacional F \cdot \hat{n} d Σ = \oint_{C} F \cdot d r \end{array}$ ‍

Em vez de uma função de uma variável $f$ ‍, ou um campo vetorial bidimensional, $F (x, y, z)$ ‍ é um campo vetorial tridimensional.
Em vez de calcular a derivada $f^{'} (x)$ ‍, ou o $rotacional 2d$ ‍, calcule todo o rotacional tridimensional de $F$ ‍.
Em vez de calcular a integral simples sobre um intervalo $[a, b]$ ‍, ou uma integral dupla em uma região bidimensional, calcule a integral de superfície sobre $S$ ‍ em três dimensões. Calcular a integral de superfície de um campo vetorial envolve pontilhar esse campo vetorial com vetores normais unitários.
No lado direito, em vez de escrever $f (b) - f (a)$ ‍, o que envolve calcular $f$ ‍ nos limites do intervalo $[a, b]$ ‍ e calcular a diferença, nós temos a integral de linha da nossa função $F$ ‍ ao redor do limite $C$ ‍ da superfície $S$ ‍, assim como tínhamos para o teorema de Green.

Mais generalizações

O teorema da divergência, que vai ser explicado daqui a pouco, é mais uma versão desse fenômeno. Ele relaciona a integral tripla da divergência de um campo vetorial tridimensional em um volume tridimensional com a integral de superfície daquele campo vetorial nos limites daquele volume.

O teorema fundamental das integrais de linha também entra nesse mesmo princípio, relacionando a integral de linha do gradiente de uma função com os valores daquela função nos limites da linha.

No geral, parece que o universo está tentando nos dizer que quando você integra a "derivada" de uma função dentro de uma região, onde o tipo de integração/derivação/região/função envolvida pode ser multidimensional, você consegue algo que depende apenas dos valores daquela função nos limites daquela região. Eu acho que isso é simplesmente uma das coisas mais bonitas na matemática.

O teorema generalizado de Stokes

Caso você esteja curioso(a), a matemática pura tem um teorema mais aprofundado que engloba todos esses teoremas (e outros mais) em uma fórmula bem compacta. Ele é chamado de teorema generalizado de Stokes. A linguagem para descrevê-lo é um pouco técnica e envolve as ideias de "formas diferenciais" e "variedades", então eu não vou entrar nisso. Mas, se você entendeu todos os exemplos acima, você já entende a beleza e o raciocínio por trás desse teorema unificador.

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