O teorema de Stokes e o teorema fundamental do cálculo

Conhecimentos prévios

• Teorema fundamental do cálculo (video)
• Teorema de Green
• Teorema de Stokes

O que estamos construindo

• Tanto o teorema de Green quanto o de Stokes, assim como vários outros resultados do cálculo multivariável, são apenas análogos ao teorema fundamental do cálculo com dimensões mais altas.

Revisão rápida do teorema fundamental do cálculo

Teorema de Green

• Em vez de calcular a derivada de uma função de uma variável $f$f, ele envolve o $\text{rotacional 2d}$start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text de uma função vetorial de duas variáveis $\blueE{\textbf{F}}(x, y)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
• Em vez de integrar sobre uma região $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket da reta numérica, calcule sua integral dupla sobre uma região $\redE{R}$start color #bc2612, R, end color #bc2612 do plano $xy$x, y.
• O limite da região unidimensional $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket é simplesmente o par de pontos $a$a e $b$b. Mas como $\redE{R}$start color #bc2612, R, end color #bc2612 é bidimensional, seu limite é uma curva $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612.
• Em vez de calcular $f$f em seus dois pontos limites $a$a e $b$b e calcular a diferença, calcule a integral de linha de $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao redor do limite $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 orientado no sentido anti-horário.

Teorema de Stokes

• Em vez de uma função de uma variável $f$f, ou um campo vetorial bidimensional, $\blueE{\textbf{F}}(x, y, z)$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é um campo vetorial tridimensional.
• Em vez de calcular a derivada $f'(x)$f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, ou o $\text{rotacional 2d}$start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, calcule todo o rotacional tridimensional de $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99.
• Em vez de calcular a integral simples sobre um intervalo $[a, b]$open bracket, a, comma, b, close bracket, ou uma integral dupla em uma região bidimensional, calcule a integral de superfície sobre $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612 em três dimensões. Calcular a integral de superfície de um campo vetorial envolve pontilhar esse campo vetorial com vetores normais unitários.
• No lado direito, em vez de escrever $f(b) - f(a)$f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis, o que envolve calcular $f$f nos limites do intervalo $[a,b]$open bracket, a, comma, b, close bracket e calcular a diferença, nós temos a integral de linha da nossa função $\blueE{\textbf{F}}$start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao redor do limite $\redE{C}$start color #bc2612, C, end color #bc2612 da superfície $\redE{S}$start color #bc2612, S, end color #bc2612, assim como tínhamos para o teorema de Green.

Mais generalizações

O teorema generalizado de Stokes