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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 5
Lição 6: Teorema de Stokes (artigos)O teorema de Stokes e o teorema fundamental do cálculo
Tanto o teorema de Green quanto o teorema de Stokes são versões em dimensões maiores do teorema fundamental do cálculo. Veja como!
Conhecimentos prévios
O que estamos construindo
- Tanto o teorema de Green quanto o de Stokes, assim como vários outros resultados do cálculo multivariável, são apenas análogos ao teorema fundamental do cálculo com dimensões mais altas.
Revisão rápida do teorema fundamental do cálculo
Você se lembra do teorema fundamental do cálculo?
Veja o que ele diz:
Em outras palavras, integrar a derivada de uma função em uma região open bracket, a, comma, b, close bracket da reta numérica é o mesmo que calcular a função em si na fronteira dessa região, ou seja, para os valores a e b, e calcular a diferença.
Teorema de Green
O teorema de Green pode ser visto como um completo análogo ao teorema fundamental do cálculo, mas para duas dimensões.
- Em vez de calcular a derivada de uma função de uma variável f, ele envolve o start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text de uma função vetorial de duas variáveis start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.
- Em vez de integrar sobre uma região open bracket, a, comma, b, close bracket da reta numérica, calcule sua integral dupla sobre uma região start color #bc2612, R, end color #bc2612 do plano x, y.
- O limite da região unidimensional open bracket, a, comma, b, close bracket é simplesmente o par de pontos a e b. Mas como start color #bc2612, R, end color #bc2612 é bidimensional, seu limite é uma curva start color #bc2612, C, end color #bc2612.
- Em vez de calcular f em seus dois pontos limites a e b e calcular a diferença, calcule a integral de linha de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao redor do limite start color #bc2612, C, end color #bc2612 orientado no sentido anti-horário.
A ideia aqui é que quando você integra a "derivada" de algo sobre uma região, o valor depende apenas do valor desse algo nos limites da região. É só que, em duas dimensões, a noção relevante de uma derivada é um start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, e os limites de uma região envolvem uma curva inteira em vez de um par de pontos.
Teorema de Stokes
O teorema de Stokes leva isso para três dimensões. Em vez de pensar apenas em uma região plana start color #bc2612, R, end color #bc2612 no plano x, y, você pensa em uma superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612 vivendo no espaço. Dessa vez, start color #bc2612, C, end color #bc2612 representa os limites dessa superfície.
- Em vez de uma função de uma variável f, ou um campo vetorial bidimensional, start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis é um campo vetorial tridimensional.
- Em vez de calcular a derivada f, prime, left parenthesis, x, right parenthesis, ou o start text, r, o, t, a, c, i, o, n, a, l, space, 2, d, end text, calcule todo o rotacional tridimensional de start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99.
- Em vez de calcular a integral simples sobre um intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket, ou uma integral dupla em uma região bidimensional, calcule a integral de superfície sobre start color #bc2612, S, end color #bc2612 em três dimensões. Calcular a integral de superfície de um campo vetorial envolve pontilhar esse campo vetorial com vetores normais unitários.
- No lado direito, em vez de escrever f, left parenthesis, b, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, a, right parenthesis, o que envolve calcular f nos limites do intervalo open bracket, a, comma, b, close bracket e calcular a diferença, nós temos a integral de linha da nossa função start color #0c7f99, start bold text, F, end bold text, end color #0c7f99 ao redor do limite start color #bc2612, C, end color #bc2612 da superfície start color #bc2612, S, end color #bc2612, assim como tínhamos para o teorema de Green.
Mais generalizações
O teorema da divergência, que vai ser explicado daqui a pouco, é mais uma versão desse fenômeno. Ele relaciona a integral tripla da divergência de um campo vetorial tridimensional em um volume tridimensional com a integral de superfície daquele campo vetorial nos limites daquele volume.
O teorema fundamental das integrais de linha também entra nesse mesmo princípio, relacionando a integral de linha do gradiente de uma função com os valores daquela função nos limites da linha.
No geral, parece que o universo está tentando nos dizer que quando você integra a "derivada" de uma função dentro de uma região, onde o tipo de integração/derivação/região/função envolvida pode ser multidimensional, você consegue algo que depende apenas dos valores daquela função nos limites daquela região. Eu acho que isso é simplesmente uma das coisas mais bonitas na matemática.
O teorema generalizado de Stokes
Caso você esteja curioso(a), a matemática pura tem um teorema mais aprofundado que engloba todos esses teoremas (e outros mais) em uma fórmula bem compacta. Ele é chamado de teorema generalizado de Stokes. A linguagem para descrevê-lo é um pouco técnica e envolve as ideias de "formas diferenciais" e "variedades", então eu não vou entrar nisso. Mas, se você entendeu todos os exemplos acima, você já entende a beleza e o raciocínio por trás desse teorema unificador.
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